1.1.2 空间向量的数量积运算(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．1．2　空间向量的数量积运算 [对应学生用书P4] 学习目标 1．掌握空间向量的数量积的概念，理解空间向量投影的概念及投影向量的意义． 2．理解空间向量的数量积的交换律和分配律，并可以与数的乘法相联系． 3．可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题． 知识点一　空间向量的夹角及数量积概念 我们知道，对于平面向量a，b，它们的数量积a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为a，b的夹角．你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？ 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 图示 范围 规定：0≤〈a，b〉≤π； 当〈a，b〉＝时，a⊥b 2．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)特别提醒：①a·b中的“·”不能省略；②零向量与任意向量的数量积为0． [例1] 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；(2)·； (3)·；(4)·. 解：(1)·＝·＝||||·cos 〈，〉＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||||·cos 〈，〉＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－)＝·－·＝||·||cos 〈，〉－||||·cos 〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 空间向量数量积的求法 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算． (2)如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算． [练1] (2025·房山区高二期中)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，·＝(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 D　解析：如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BC1， 易知||＝2，||＝2. 因为＝，与的夹角为， 所以AA1与BC1的夹角为，所以 ·＝||||cos ＝2×2×＝4. 知识点二　空间向量数量积的运算性质及 运算律 “若a·b＝a·c ，则b＝c”，你认为这种说法正确吗？ 当非零向量垂直时，即a·b＝0，有人说“a＝显然是没有意义的”，你怎么看？ 性质 当a≠0，b≠0时，可以得到：a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2 运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； a·b＝b·a(交换律)； (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) 1．a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c. 2．一般情况下(a·b)c≠a(b·c). [例2] 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求||； (2)求与夹角的余弦值． 解：(1)记＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为. (2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos 〈，〉＝＝， 即与夹角的余弦值为. 1．求两个向量的夹角的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围； (2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝求cos 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 2．求两点间的距离或线段长度的方法 [练2] 如图，已知平面α与平面β的夹角为60°，在平面α与平面β的交线m上有两点A，B，线段AC，BD分别在平面α与平面β内，且都垂直于直线m.若AC＝3，BD＝4，CD＝，则线段AB的长度为 ． 答案：6　解析：＝＋＋，两边平方得， 2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·. 因为AC＝3，BD＝4，CD＝，线段AC，BD都垂直于直线m，平面α与平面β的夹角为60°， 所以73＝32＋||2＋42＋2×3×4cos 60°，即||＝6. 知识点三　投影向量 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？ 投影向量 向量a向直线l投影 向量a向向量b投影 先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉＝·，向量c称为向量a在向量b上的投影向量 向量a向平面β投影 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量 [例3] 如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，AD＝2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，点E为棱C1D1的中点，则||＝ ；在上的投影向量是 ． 答案：　　解析：由题图可知＝AA1＋＋， 所以||＝|AA1＋＋|＝ ＝， ·＝·＋·＋2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14. 故在上的投影向量的模长是＝＝， 在上的投影向量是·＝. 投影向量的求法 (1)a在b上的投影向量：用公式|a|cos 〈a，b〉来求． (2)a在直线或平面上的投影向量转化为向量a在另一向量上的投影向量． [练3] (多选)(2025·沈阳高二期中)已知几何体ABCD­A1B1C1D1为长方体，则(　　) A．在上的投影向量为 B．在上的投影向量为 C．在上的投影向量为 D．在上的投影向量为 AC　解析：如图， 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1B，所以在上的投影向量为，即A正确； 因为在Rt△A1BC中，∠A1BC＝90°，所以BC与A1C不垂直，所以在上的投影向量不是，即B错误； 因为B1B⊥BC，D1C⊥BC，所以在上的投影向量为，即C正确； 虽然B1B⊥B1D1，但CD1与B1D1不垂直，所以在上的投影向量不是，即D错误．故选AC． 1．知识清单 (1)空间向量的夹角、空间向量的数量积． (2)空间向量的性质及运算律． (3)空间向量的投影向量． 2．方法归纳：化归转化． 3．常见误区 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定． (2)空间向量数量积运算不满足结合律． (3)注意投影向量与投影的区别． ◎随堂演练 1．已知空间向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝3，|c|＝且a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B． 60° C．120° D．150° C　解析：由题设c＝－(a＋b)，因为c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2×3×cos 〈a，b〉＋9＝7，所以cos 〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，即〈a，b〉＝120°.故选C． 2．已知空间向量|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为(　　) A．－b B． b C．b D．－b D　解析：因为|a|＝，|b|＝5，a与b夹角的余弦值为－，所以a在b上的投影向量为·＝·＝－·＝－b. 3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝ ． 答案：0　解析：原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)＝·＋·＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$