1.1.1 空间向量及其线性运算(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．1　空间向量及其运算 1．1．1　空间向量及其线性运算 [对应学生用书P1] 学习目标 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 3．掌握共线向量定理、共面向量定理的应用． 知识点一　空间向量的有关概念 小明从学校回家，需要先从学校门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶800 m，最后乘电梯上升10 m到4楼的住处．在这个过程中，小明从学校门口回到家所发生的位移就是三个位移的合成． (1)以上三个位移是同一个平面内的向量吗？ (2)如何刻画小明同学这种位移？ 1．空间向量 (1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 2．空间向量的表示 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示． (2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 3．几类特殊向量 特殊向量 定义 零向量 长度为0的向量，记为0 单位向量 模为1的向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，记为－a 共线向量 或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合． 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 方向相同且模相等的向量 [例1] (多选)下列命题中正确的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在三棱柱ABC­A′B′C′中，与是相反向量 C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c BC　解析：A错误，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B正确，与的方向相反，模相等，故与是相反向量；C正确，向量的相等满足传递性；D错误，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． [练1] (2025·日照高二月考)下列命题中为真命题的是(　　) A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 A　解析：选项A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B，将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误．故选A． 知识点二　空间向量的线性运算 在学习完平面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb [例2] 已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋(－). 解：(1)＋＋＝＋＋＝. (2)－＋＝－(－)＝－＝. (3)＋＋(－)＝＋(＋)＝＋. 设点M是线段CB′的中点，则＋＋(－)＝＋＝，向量，，如图所示． 运用法则进行向量的线性运算的关键 (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”； (2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”； (3)平行四边形法则：“起点重合，指向对角线终点”； (4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”． [练2] (2025·厦门高二段考)如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′的中心，求下列各式中x，y的值： (1)＝x(＋＋)； (2)＝＋x＋y； (3)＝＋x＋y. 解：如图所示，连接A′C′，C′D. (1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，＝＋＋，所以x＝1. (2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋， 所以x＝，y＝. (3)＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋， 所以x＝，y＝. 知识点三　共线向量 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．直线的方向向量 (1)如图，点O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． (2)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上． [例3] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c. ∵＝2ED1，＝， ∴A1E＝＝b，A1F＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c. ∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c). 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， ∴＝，且有公共点E，∴E，F，B三点共线． 1．判定向量a，b共线的两种方法 (1)定义法，即证明a，b所在直线平行或重合． (2)利用“a＝λb⇒a∥b”判定． 2．证明A，B，C三点共线的方法 只需证明存在实数λ(或μ)，使＝λ(或＝μ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)，t∈R”来证明． [练3] 如图所示，已知四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 解：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋. 又＝＋＋＋＝－＋－－， 以上两式相加，得＝2，所以∥，即与共线． 知识点四　共面向量 空间任意两个向量是共面向量，空间任意三个向量是否共面？ 空间向量共面的充要条件 (1)平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． [例4] 如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a. ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a. ∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋， ∴，，为共面向量． ∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面． 证明空间三个向量或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． [练4] 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点．若＝(＋＋)，试判断向量，，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内． 解：向量，，共面且点P在平面ABC内．理由如下： 因为＋＋＝3，所以－＝(－)＋(－)＝＋.即＝＋＝－－.所以向量，，共面． 因为，，有共同的起点P，且A，B，C三点不共线， 所以P，A，B，C共面，即点P在平面ABC内． 1．知识清单 (1)空间向量的概念． (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)空间向量的线性运算的运算律． (4)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量． (5)空间向量共面的充要条件． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化化归思想． 3．常见误区 (1)对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． (2)混淆向量共线与线段共线、点共线的概念． ◎随堂演练 1．已知，是空间两个不共线的向量，＝5－3，那么必有(　　) A．，共线 B．，共线 C．，，共面 D．，，不共面 C　解析：若，共线，则＝λ(λ∈R)，因为＝5－3，λ＝5－3，可得＝，所以，共线，与条件相矛盾，故A错误；同理若，共线，则＝λ(λ∈R)，因为＝5－3，λ＝5－3，可得＝，所以，共线，与条件相矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理可知，，共面，即C正确，D错误．故选C． 2．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B． A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　解析：由题意可得＝＋＝2a＋4b，则＝2，则A，B，D三点共线；＝＋＝－4a＋8b，不存在实数λ满足＝λ，则A，B，C三点不共线；不存在实数λ满足＝λ，则B，C，D三点不共线；不存在实数λ满足＝λ，则A，C，D三点不共线． 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段可以表示同一向量 BD　解析：对于A，零向量的方向是任意的，A错误；对于B，空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确；对于C，D，大小相等、方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为不同向量，C错误；D符合定义，正确．故选BD． 4．化简：2＋2＋3＋3＋＝ ． 答案：0　解析：2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$