第十六讲 全等三角形中的三种构造全等图形的方法（3个知识点3大典例）暑假预习讲义2025-2026学年八年级上册数学人教版

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第十六讲 全等三角形中的三种构造全等图形的方法（解析版） 知识点梳理 知识点1 倍长中线法 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的方法叫做倍长中线法. 知识点2 截长补短法 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 知识点3 构造角平分线性质法 构造角平分线的方法主要分为直尺圆规作图和折纸两种方式，其核心要点如下： 1、直尺圆规作图法 通过圆的性质确保构造的线段将原角平分，利用等弧对等弦定理实现。 2、折纸法 将角的顶点置于折痕上，分别折叠角的两边使其与折痕重合； 打开纸张，连接顶点与折痕交点，即为角平分线。 方法1 倍长中线法 例1-1．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； （2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）（1）解：①根据题意画出图形如下 ②；③ （2）解： 猜想，与的数量关系为：， 理由如下： 如图，延长，使得，连接， ∴AM=MN=AN， 由（1）中的原理可得：， ∴AD=NC，， ∵AD=AE， ∴AE=NC=AD， ， ， ， ， 在△ABE和△CAN中， ， ∴， ． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【解答】（1）②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：，AC=6， ， 在三角形ABE中， ， ，即， ， ， ． 故答案为：SAS；； 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②由线段中点的性质可得，结合已知条件用边角边可证△ADC≌△EDB； ③由②得△ADC≌△EDB，由全等三角形的对应边相等可得BE=AC，然后根据三角形的三边关系定理得""可求解； （2）猜想，与的数量关系为：；理由：延长，使得，则AM=MN=AN，连接，由（1）可得△ADM≌△NCM，由全等三角形的对应边相等可得，∠DAM=∠N；结合已知用边角边可证△ABE≌△CAN，由全等三角形的对应边相等可得AN=BE，于是猜想可求证． （1）解：①根据题意画出图形： ； ②解：是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ③解：， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，延长，使得，连接， 根据（1）中原理可得， ，， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 例1-2．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD．连接BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程； （2）【问题解决】 如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中： A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB 直接写出所有正确选项的序号是　 　． （3）【问题拓展】 如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝AC． 【答案】（1）解：如图①中，延长AD至点E，使ED＝AD． 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS） ∴AC＝BE＝3， ∵AB＝5， ∴5-3＜AE＜5+3， ∴2＜2AD＜＜8， ∴1＜AD＜4； （2）B、C （3）证明：如图③中，延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ． 同法可证△BEO≌△DEJ， ∴∠BOE＝∠J，OB＝DJ， ∴OB∥DJ， ∴∠ODJ+∠BOD＝180°， ∵∠AOB与∠COD互补， ∴∠BOD+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝∠ODJ， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴OA＝DJ， 在△AOC和△JDO中， ， ∴△AOC≌△JDO（SAS）， ∴AC＝OJ， ∴AC＝2OE． 【知识点】三角形三边关系；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：（2）∵CD是△ACB的中线， ∴BD=AD， 当AC=BC时∠ACD=∠BCD，故A错误； 延长CD，使DF=CD， ∴CF=2CD， 同理可证△ADC≌△BDF， ∴AC=BF=AB，∠A=∠ABF， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC， ∵CB是△ACE的中线， ∴BE=BF=AB， ∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠CBF=∠ABC+∠ABF， ∴∠CBE=∠CBF， 在△CBE和△CBF中， ∴△CBE≌△CBF（SAS） ∴CE=CF，∠BCD=∠BCE ∴CE=2CD，故B，C正确； ∴CD≠CB，故D错误； 故答案为：B，C 【分析】（1）延长AD至点E，使ED＝AD，利用SAS可证得△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可求出BE的长，利用三角形的三边关系定理，可求出AD的取值范围. （2）利用三角形的中线的定义可证得BD=AD，若∠ACD=∠BCD，则必须满足AC=BC，可对A作出判断；延长CD，使DF=CD，可得到CF=2CD；同理可证△ADC≌△BDF，利用全等三角形的性质可证得AC=BF=AB，∠A=∠ABF，利用等边对等角可得到∠ACB=∠ABC，利用三角形中线的定义可得到BE=BF=AB，利用三角形的外角的性质去证明∠CBE=∠CBF，利用SAS证明△CBE≌△CBF，利用全等三角形的性质可得到CE=CF，∠BCD=∠BCE，可对C作出判断；同时可证得CE=2CD，CD≠CB，可对B，D作出判断；综上所述可得到正确结论的序号. （3）延长OE到J，使得EJ＝OE，连接DJ，同理可证△BEO≌△DEJ，利用全等三角形的性质可证得∠BOE＝∠J，OB＝DJ，可推出OB∥DJ，利用平行线的性质可得到∠ODJ+∠BOD＝180°，再利用补角的性质可证得∠AOC＝∠ODJ，同时可证得OA=DJ；再利用SAS证明△AOC≌△JDO，利用全等三角形的性质可得到AC=OJ，由此可证得结论. 针对训练1 1．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. 图1 图2 图3 （1）如图1，是的中线，，，求的取值范围. 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：　 　； （2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； （3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明. 【答案】（1） （2）证明：如图，延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT， 同（1）可证△ADC≌△TDB， ∴AC＝BD，∠C＝∠EBD， ∴BT∥AC， ∴∠T＝∠DAC， ∵EA＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFT， ∴∠T＝∠BFT， ∴BF＝BD， ∴AC＝BF． （3）解：CD＝AD＋BC，理由如下： 如图，延长CE交DA的延长线于点G， ∵AD∥BC， ∴∠G＝∠ECB， ∵E是AB的中点， ∴AE＝EB， 在△AEG和△BEC中， ∴△AEG≌△BEC（AAS）， ∴AG＝BC，EC＝EG， ∵DE⊥CG， ∴CD＝GD， ∵DG＝AD＋AG＝AD＋BC， ∴CD＝AD＋BC． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；三角形的中线 【解析】【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△MDB 中， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴AC＝BM＝6， ∵AB＝8， ∴AB−BM＜AM＜AB＋BM， ∴2＜AM＜14， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7． 【分析】（1）先利用“SAS”证出△ADC≌△MDB，可得AC＝BM＝6，再利用三角形三边的关系可得AB−BM＜AM＜AB＋BM，再将数据代入求出1＜AD＜7即可； （2）延长AD到T，使得DF＝AD，连接BT，先证出AC＝BD，∠C＝∠EBD，再结合∠T＝∠BFT，可得BF＝BD，最后利用等量代换可得AC＝BF； （3）延长CE交DA的延长线于点G，先利用“AAS”证出△AEG≌△BEC，可得AG＝BC，EC＝EG，再利用线段的和差及等量代换可得CD＝AD＋BC． 2．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 同学们在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得． 以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题； 【初步感知】： （1）是的中线，若，，设，则的取值范围是 ； 【灵活运用】： （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【拓展延伸】： （3）如图3，是的中点，，，，三点共线，连结，若，当，时，求的长． 【答案】（1）； （2）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：延长至点，使得，连接，过点作于点，设， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；8字型相似模型；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线 【解析】【解答】解：（1）延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】 （1）延长至点，使得，连接，即可得到，进而得到，然后利用三角形三边的关系得到解题； （2）延长至点，使得，连接，可以得到，即可得到，，根据根据平行线和角平分线的定义得到，再根据等角对等边解题； （3）延长至点，使得，连接，过点作于点，设，利用全等三角形的判定得到，即可得到，求出，利用，求出，然后利用勾股定理求出CG长，即可求出求出长解题． 3．八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． （2）如图2，是的中线，且，求证：． 【答案】（1）解：如图1，延长至点，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图所示，延长到F，使得， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等边对等角求解。利用证明，得到，利用三角形三边的关系得到，则； （2）根据全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等边对等角，三角形外角的性质求证。延长到F，使得，先证明，得到，，进而推出，再证明，推出，即可得到． 4．（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】解：（1） （2），理由如下： 延长至点，使，连接、，如图②所示． 同（1）得： ， 在中，由三角形的三边关系得： ； （3），理由如下： 如图③，延长，交于点 在和中 是的平分线 ． 【知识点】三角形三边关系；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型 【解析】【解答】解：（1）如图①，延长到点，使，连接 是的中点 （对顶角相等） 在中， 故答案为：. 【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及角平分线的性质；解题关键是巧妙运用倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中，利用三角形的性质进行求解；在解决几何问题时，合理添加辅助线是关键，同时要善于利用已知条件中的中点、平行、角平分线等条件来寻找全等三角形，进而解决问题. 方法2 截长补短法 例2-1．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：． 李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能． 方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．” “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 【答案】方法一：；转化；；；；；； 方法二：；； 【知识点】等腰三角形的判定；数学思想；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】方法一：在AC上截取，连接DE，如图2 ∵AD平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，BD=DE， ∵， ∴ 而， ∴， ∴DE=CE， ∴AB+BD=AE+CE=AC， 故答案为：；转化；；；；；； 方法二：如图3，延长AB至点F，使， ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ， ∴， ∴AC=AF， ∴AC=AB+BF=AB+BD， 故答案为：；；． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质. 方法一：在AC上截取，根据AD平分，利用角平分线的定义可得：，再根据，AD=AD，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得：，BD=DE，利用角的运算，再根据等角对等边可得：CE=DE，利用线段的运算可推出 ； 方法二：延长AB至点F，使，根据等边对等角可得： ，利用角的运算可得： ，再根据，利用全等三角形的判定定理 AAS可证明，利用全等三角形的性质可得：AC=AF，利用线段的运算可推出 ． 例2-2．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC＋∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是　 　；（直接写出结果） （2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）DA=DC+DB （2） DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2）． 延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE． ∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠ABD＋∠ACD＝180°． ∵∠ACE＋∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE． 又∵AB＝AC，CE＝BD， ∴△ABD≌△ACE． ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE． ∴∠DAE＝∠BAC＝90°． ∴DA2＋AE2＝DE2． ∴2DA2＝(DB＋DC)2． ∴ DA＝DB＋DC 【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用 【解析】【解答】（1）解：如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB， 故答案为：DA=DC+DB； 【分析】（1）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，只需证DE=AD=DC+CE=DC+BD即可。由题意用边角边可证△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边和对应角相等可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，结合题意易证△ADE是等边三角形，所以DA=DE，则可得结论DA=DC+DB； （2） 延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE． 由同角的补角相等可得∠ABD＝∠ACE．于是用边角边可证△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边和对应角相等可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE． 所以∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD=∠BAC=∠DAE=90°，由勾股定理可得， DA2＋AE2＝DE2． 整理开方可得 DA＝DB＋DC 。 针对训练2 1．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． （1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 （2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； （3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分， 求证：． 【答案】（1）③ （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在△DEA和△DFC中， ， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】 （1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知. 故答案为：③； 【分析】（1）根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”即可求解； （2）DA=DC，理由如下：如图2中，作交延长线于点E，于点F，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF，由题意用角角边可证△DEA≌△DFC，再根据全等三角形的对应边相等即可求解； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形即可求解． （1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．已知，如图，在四边形中，，且平分，点是的中点． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）解：作于点，则， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分． （2）解：≌， ， ≌， ， ． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）由“平分”，则可考虑利用角平分线的性质来解答。故作于点，得到∠OEA=∠OEC=∠B=90°，先利用平分， 证明△AOE≌△AOB（AAS），得到OE=OB，再根据是的中点 ，推出OE=OB=OD，即可证明≌，推出，从而证明平分； （2）利用（1）中结论，≌，推出AE=AB，≌，推出CE=CD，即可证明。 3.【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【详解】解：（1），理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线，， 在和中，，， ，，， ，，， ，，； （2），理由：如图②，在上截取，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，，， ，，； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线，， 在和中，，， ，，，， ，， ，，，，． 方法3 角平分线法 例3-1．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定 【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故答案为：C. 【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可． 例3-2．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余 【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论； （2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论； （3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积. （1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 针对训练3 1．如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为　 　． 【答案】3 【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质 【解析】【解答】解：过O点作于H点，如图， 平分， ， ∵点E为射线上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为3． 故答案为：3． 【分析】过O点作于H点，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得的最小值为3． 2．的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 【答案】（1）证明：∵△ACD是等边三角形， ∴AC=CD，∠ACD=60°， 同理可得：BC=CE，∠BCE=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠ACB+∠BCE， 即∠DCB=∠ACE， 在△BCD和△ECA中， ， ∴△BCD≌△ECA（SAS）， ∴BD=AE. （2）解：如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， 由（1）可得：△BCD≌△ECA， ∴∠CDB=∠CAE，CP=CQ， ∴OC平分∠DOE， ∴∠DOC=∠COE=， ∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=∠ADC=60°， ∴∠DOE=∠ODA+∠OAD=（∠ADC-∠CDB）+（∠DAC+∠CAE）=120°， ∴∠DOC=∠COE=60°， ∴∠AOC=180°-∠COE=120°. （3）解：①和②均正确， 选①证明： 如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，， ∴∠ACD-∠MCF=∠OCM-∠MCF 即， 在△CMD和△COA中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 结论①是正确的； 选②证明： 如图3，在上取一点，使，连接， ， 为等边三角形， ，， ∴∠OCN-∠NCB=∠ECB-∠NCB 即， ， ， ， ， ∴结论②是正确的． 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，即可证得，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先作辅助线，过点分别作，垂直于，，由（1）可得：，再根据角平分线的判定∠DOC=∠COE=，然后利用等边三角形可证得，最后利用邻补角即可求得结论； （3）选①证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，得，即可得出结论；选②证明：在上取一点，使，连接，利用可证得，得，即可得出结论． （1）证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ， ， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ， ， 平分， ， ； （3）解：①和②均正确，理由如下： 选①证明： 如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 选②证明： 如图3，在上取一点，使，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 3．如图，已知的角平分线相交于点P，连接．是否平分?请说明理由． 【答案】解：平分；理由如下： 如图，过点P作、、，垂足分别为， ∵的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴平分． 【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定 【解析】【解答】解：平分；理由如下： 如图，过点P作、、，垂足分别为， ∵的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴平分． 【分析】根据角平分线的性质求出，，再求出，最后求解即可。 4．在中，平分交于． （1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； （2）如图2，若，，，，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：过点D作于G，如图1， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：过点D作于E，如图2， ，， ，， ， ， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， 同理可得：， 四边形AMDN的周长为． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（1）过点D作于G，得到和，即可得到，，进而得到结论； （2）过点D作于E，得到，即可得到，然后推理得到，，根据的直角三角形的性质求出，，，，然后解题即可． （1）证明：过点D作于G，如图1， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：过点D作于E，如图2， ，， ，， ， ， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， 同理可得：， 四边形AMDN的周长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第十六讲 全等三角形中的三种构造全等图形的方法 知识点梳理 知识点1 倍长中线法 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的方法叫做倍长中线法. 知识点2 截长补短法 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 知识点3 构造角平分线性质法 构造角平分线的方法主要分为直尺圆规作图和折纸两种方式，其核心要点如下： 1、直尺圆规作图法 通过圆的性质确保构造的线段将原角平分，利用等弧对等弦定理实现。 2、折纸法 将角的顶点置于折痕上，分别折叠角的两边使其与折痕重合； 打开纸张，连接顶点与折痕交点，即为角平分线。 方法1 倍长中线法 例1-1．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线. （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围； 同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①根据题意，补全图形； ②由已知和作图能得到，其依据是______（用字母表示）； ③由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； （2）如图②，在和中，，，，连接，，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 例1-2．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD．连接BE，可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到到△ABE中，进而求出AD的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程； （2）【问题解决】 如图②，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中： A．∠ACD＝∠BCD B．CE＝2CD C．∠BCD＝∠BCE D．CD＝CB 直接写出所有正确选项的序号是　 　． （3）【问题拓展】 如图③，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，求证：OE＝AC． 针对训练1 1．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法. 图1 图2 图3 （1）如图1，是的中线，，，求的取值范围. 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以.接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：　 　； （2）如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； （3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明. 2．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 同学们在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得． 以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题； 【初步感知】： （1）是的中线，若，，设，则的取值范围是 ； 【灵活运用】： （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【拓展延伸】： （3）如图3，是的中点，，，，三点共线，连结，若，当，时，求的长． 3．八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． （2）如图2，是的中线，且，求证：． 4．（1）方法呈现： 如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 方法2 截长补短法 例2-1．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，AD平分，．求证：． 李老师给出了如下简要分析：“要证就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取，连接DE，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题__________为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及_________，再证出_____________________，进而得出，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分，将沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能． 方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使．只要证即可．此时先证__________，再证出__________________，则结论成立．” “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 例2-2．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC＋∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题． 根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是　 　；（直接写出结果） （2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论． 针对训练2 1．我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． （1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形” 中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是______；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 （2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； （3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分， 求证：． 2．已知，如图，在四边形中，，且平分，点是的中点． （1）求证：平分； （2）求证：． 3.【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 方法3 角平分线法 例3-1．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 例3-2．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． （1）求证：平分． （2）求证：平分． （3）若，，，，求的面积． 针对训练3 1．如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为　 　． 2．的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）在点C运动过程中，下列结论①是定值；②是定值．请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由． 3．如图，已知的角平分线相交于点P，连接．是否平分?请说明理由． 4．在中，平分交于． （1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； （2）如图2，若，，，，，求四边形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$