第九讲 全等三角形的判定一 暑假预习讲义（3个知识点4大典例）2025-2026学年八年级上册数学人教版

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第九讲 全等三角形的判定一 知识点梳理 知识点1 全等三角形的判定1：边角边（SAS） 三角形全等的判定1：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中，． 要点诠释： 条件要求 两个三角形中， 两边及其夹角对应相等 时，这两个三角形全等。需注意：  两边：任意两条边对应相等  夹角：这两条边的公共角（即两边的夹角）必须对应相等 知识点2 利用SAS进行推理证明 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 要点诠释： 与SSA的区别  两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等，即不存在反例。 证明步骤 首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等 通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明 知识点3 利用SAS解决实际问题 实际应用要点 1.条件识别与隐含条件利用 识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。 2.证明步骤规范 先列出已知条件，明确对应边和夹角； 通过作辅助线（如中线、角平分线）构造全等三角形；  最后得出结论时，需完整书写全等符号及依据。 要点诠释： 常见错误辨析 （1）混淆非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。 （2）忽略隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘 典例精讲 题型1 添加条件使两个三角形能利用SAS判定全等 例1．如图AC、BD相交于点O，，用“”证还需( )    A. B. C. D. 名师支招 识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。 针对训练1 1．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是( ) A. B. C. D. 2．如图,在和中,点B、D、C在同一直线上,已知,,添加以下条件后,仍不能判定的是( ) A. B. C. D. 3．如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是( ) A. B. C. D. 4．如图,已知：,要说明,需添加的条件不能是( ) A. B. C. D. 5．如图，已知，，添加条件( )能使. A. B. C. D. 题型2 利用SAS判定三角形全等 例2．如图,在的正方形网格中,( ) A. B. C. D. 名师支招 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 针对训练2 1．如图,,,.求证：. 2．如图，在和中，，，. 求证：. 3．如图，点E，F在上，. 求证：. 4．如图,点A,F,C,D在一条直线上,,,.求证：. 5．如图,,,.求证：. 题型3 构造图形利用SAS证明线段相等角相等 例3．如图，，，，，点M为BC的中点.试说明：. 名师支招 首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等 通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明 针对训练3 1.如图，四边形ABDC中，AB//CD，AB=CD，求证AC//BD，AC=BDC A B D A B C D 2．如图，在中，两边AB，AC上有两点M，N，D为外一点，且，，，. （1）猜想线段MN，BM，CN之间的数量关系并说明理由. （2）若，，求的周长. 3．如图，在正方形ABCD中，若点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且，请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明. 4．如图,在中,,,是边上的高,点E,F分别在,上,且,当的值最小时,的度数是______°. 题型4 利用SAS解决实际问题 例4．如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，要使钻头从墙壁对面的点处打出.已知墙壁厚，点与点的铅直距离长在点处作一直线平行于地面，在直线上截取，过作的垂线，在垂线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从点处打出，为什么？ 名师支招 （1）正确区分非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。 （2）寻找隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘 针对训练4 1．如图,小聪利用最近学习的全等三角形识,在测量妹妹保温杯的壁厚时,用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量,其中,,测得,,则保温杯的壁厚为______. 2．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A正北方.海岛C，D在观测点A，B所在海岸的同一侧. 如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗? 请说明理由：______. 3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度.此方案依据的数学定理或基本事实是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.全等三角形的对应角相等 4．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是( ) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 5．综合实践 某学校综合实践活动小组要测池塘两端A,B的距离,小华同学设计出如下方案： 由如图,先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使,连接并延长到点E,使,连接,量出的长即为A,B的距离.你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由. 6．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在E，M，F处各有一个小石凳，且，M为BC的中点，连接EM，MF. （1）请问石凳M到石凳E，F的距离ME，MF是否相等.说出理由. （2）E，F，M三点是否共线？请说明理由. 易错易混诠释 1.混淆“夹角”概念 1．如图,的边AB与的边ED相交于点F,连接CF.已知,,. (1)求证：； (2)求证：FC平分. 2．如图，点D在上，，，.求证：. 2.误用“边边角”（SSA） 1．如图，在和中，延长交于F，与互补，，.求证：. 2．如图,在和中,点B,F,C,E在同一直线上,,,,求证：. 3.书写格式不规范  正确格式：需明确写出对应边和角的关系，常见错误：未标明“夹角”或对应关系混乱。 1．如图,点E,F在上,,,,求证：. 2．如图,点D是的边延长线上一点,,,.求证：. 创新拓展能力提升 1．（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，请猜想图中线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想. （2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离. 2．如图中，，D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE. (1)如图1，若点D在线段BC上，且，的度数为_________； (2)设，. ①如图2当点D在线段BC上移动时，求证：； ②当点D在BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？说明理由； ③当点D在CB的延长线上时，直接写出，之间的数量关系：_________. 3．如图，四边形ABCD中，，，，M、N分别为AB、AD上的动点，且.求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点4大典例） 第九讲 全等三角形的判定一（解析版） 知识点梳理 知识点1 全等三角形的判定1：边角边（SAS） 三角形全等的判定1：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中，． 要点诠释： 条件要求 两个三角形中， 两边及其夹角对应相等 时，这两个三角形全等。需注意：  两边：任意两条边对应相等  夹角：这两条边的公共角（即两边的夹角）必须对应相等 知识点2 利用SAS进行推理证明 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 要点诠释： 与SSA的区别  两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等，即不存在反例。 证明步骤 首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等 通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明 知识点3 利用SAS解决实际问题 实际应用要点 1.条件识别与隐含条件利用 识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。 2.证明步骤规范 先列出已知条件，明确对应边和夹角； 通过作辅助线（如中线、角平分线）构造全等三角形；  最后得出结论时，需完整书写全等符号及依据。 要点诠释： 常见错误辨析 （1）混淆非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。 （2）忽略隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘 典例精讲 题型1 添加条件使两个三角形能利用SAS判定全等 例1．如图AC、BD相交于点O，，用“”证还需( )    A. B. C. D. 名师支招 识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。 答案：C 解析：，， ∴当时，可利用“”判断. 故选：C. 针对训练1 1．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：A.添加，可得，能证明，故A选项不符合题意； B.添加，能证明，故B选项不符合题意. C.添加与原条件，不能证明，故C选项符合题意. D.添加，能证明，故D选项不符合题意. 故选：C. 2．如图,在和中,点B、D、C在同一直线上,已知,,添加以下条件后,仍不能判定的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：A、,,,由“”能判定,不符合题意； B、,则,再结合,,由“”能判定,不符合题意； C、,,,由“”能判定,不符合题意； D、,,,由“”不能判定,符合题意； 故选：D. 3．如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：在和中， ， ， 故B正确. 故选：B. 4．如图,已知：,要说明,需添加的条件不能是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：∵,, ∴补充,可利用得到：,故A不符合题意； 补充,可利用得到：,故B不符合题意； 补充,可利用得到：,故C不符合题意； 补充,不能判定,故D符合题意； 故选D. 5．如图，已知，，添加条件( )能使. A. B. C. D. 答案：D 解析：添加条件：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴. 故选：D. 题型2 利用SAS判定三角形全等 例2．如图,在的正方形网格中,( ) A. B. C. D. 名师支招 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 答案：D 解析：如图, 由题意知,在和中, , , , , , 故选：D. 针对训练2 1．如图,,,.求证：. 答案：见解析 解析：证明：, , 即. 在和中, . 2．如图，在和中，，，. 求证：. 答案：见解析 解析：证明：， ，即， 在和中， ， . 3．如图，点E，F在上，. 求证：. 答案：详见解析 解析：因为， 所以，， 即， 在和中， 所以，. 4．如图,点A,F,C,D在一条直线上,,,.求证：. 答案：见解析 解析：证明：, , 即, 在和中, , ； 5．如图,,,.求证：. 答案：见解析 解析：∵, ∴, ∴, 在与中 ∴. 题型3 构造图形利用SAS证明线段相等角相等 例3．如图，，，，，点M为BC的中点.试说明：. 名师支招 首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等 通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明 答案：见解析 解析：如图，延长AM至点N，使，连接BN. 因为点M为BC的中点，所以. 在和中， 所以， 所以，， 所以. 因为，所以. 在和中， 所以，所以， 所以. 针对训练3 1.如图，四边形ABDC中，AB//CD，AB=CD，求证AC//BD，AC=BDC A B D A B C D 答案：见解析 解析：连接AD，∵AB//CD，∴∠BAD=∠CDA 在△ABD和△DCA中， ∴△ABD≌△DCA（SAS） ∴AC=BD ∠ADB =∠DAC ∴AC//BD 2．如图，在中，两边AB，AC上有两点M，N，D为外一点，且，，，. （1）猜想线段MN，BM，CN之间的数量关系并说明理由. （2）若，，求的周长. 答案：（1）.理由见解析 （2）15 解析：（1）.理由如下： 延长AB，在AB的延长线上取，连接DE，如图. 因为，， 所以. 又因为，所以. 因为，，， 所以， 所以，. 因为， 所以， 所以. 因为，，， 所以，所以. 因为， 所以. （2）因为，，， 所以的周长为 . 3．如图，在正方形ABCD中，若点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且，请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明. 答案： 解析：. 证明：如图，将绕点A顺时针旋转得到. 由旋转可知，，，. ， ， ， . ，， ， . 4．如图,在中,,,是边上的高,点E,F分别在,上,且,当的值最小时,的度数是______°. 答案：70 解析：如图所示,过A作,使得,连接GE, ,, , 又,, , , , 当G,E,C三点共线时,的最小值等于CG的长, 此时,,,即是等腰直角三角形, , 又中, 故答案为:70°. 题型4 利用SAS解决实际问题 例4．如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，要使钻头从墙壁对面的点处打出.已知墙壁厚，点与点的铅直距离长在点处作一直线平行于地面，在直线上截取，过作的垂线，在垂线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从点处打出，为什么？ 名师支招 （1）正确区分非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。 （2）寻找隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘 答案：见解析 解析：在和中， ， ， ，， 即三点共线，则钻头正好从点处打出. 针对训练4 1．如图,小聪利用最近学习的全等三角形识,在测量妹妹保温杯的壁厚时,用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量,其中,,测得,,则保温杯的壁厚为______. 答案：1 解析：在和中, ∴. ∴, ∵, ∴保温杯的壁厚. 故答案为：1. 2．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A正北方.海岛C，D在观测点A，B所在海岸的同一侧. 如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗? 请说明理由：______. 答案：证明得出，即海岛D在观测点B的正北方 解析：由题意得：，， 海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等， ， 在和中， ， ， ， 海岛D在观测点B的正北方， 故答案为：证明得出，即海岛D在观测点B的正北方. 3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度.此方案依据的数学定理或基本事实是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.全等三角形的对应角相等 答案：A 解析：∵，的中点都是， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A. 4．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是( ) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 答案：A 解析：O是AB、CD的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 所以，依据是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等 故选：A. 5．综合实践 某学校综合实践活动小组要测池塘两端A,B的距离,小华同学设计出如下方案： 由如图,先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使,连接并延长到点E,使,连接,量出的长即为A,B的距离.你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由. 答案：小华同学的方案可行,理由见解析 解析：小华同学的方案可行. 证明：在和中, 小华同学的方案可行. 6．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在E，M，F处各有一个小石凳，且，M为BC的中点，连接EM，MF. （1）请问石凳M到石凳E，F的距离ME，MF是否相等.说出理由. （2）E，F，M三点是否共线？请说明理由. 答案：（1）相等.理由见解析 （2）三点共线.理由见解析 解析：（1）石凳M到石凳E，F的距离ME，MF相等.理由如下： ，. 又M为BC的中点，. 在和中， ，. 即石凳M到石凳E，F的距离ME，MF相等. （2）E，F，M三点共线.理由如下： ，. 又， ，E，M，F在一条直线上. 易错易混诠释 1.混淆“夹角”概念 1．如图,的边AB与的边ED相交于点F,连接CF.已知,,. (1)求证：； (2)求证：FC平分. 答案：(1)见解析 (2)见解析 解析：(1)∵, ∴, 即, 在与中 , ∴, ∴； (2)过点C作,,垂足分别为G,H, ∵, ∴, ∵,, ∴, 在与中 , ∴, ∴, ∴FC平分. 2．如图，点D在上，，，.求证：. 答案：见解析 解析：， ， ， 在和中 ， ， . 2.误用“边边角”（SSA） 1．如图，在和中，延长交于F，与互补，，.求证：. 答案：见解析 解析：与互补， ∴由四边形内和，得与互补. 与互补， . 在和中 ， . . 2．如图,在和中,点B,F,C,E在同一直线上,,,,求证：. 答案：证明见解析 解析：证明：∵, ∴, 即, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴. 3.书写格式不规范  正确格式：需明确写出对应边和角的关系，常见错误：未标明“夹角”或对应关系混乱。 1．如图,点E,F在上,,,,求证：. 答案：见解析； 解析：证明：∵, ∴,即, 在和中, , ∴ ∴. 2．如图,点D是的边延长线上一点,,,.求证：. 答案：见解析 解析：证明：∵, ∴, ∵,, ∴, ∴. 创新拓展能力提升 1．（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，请猜想图中线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想. （2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离. 答案：（1）见解析 （2）25米 解析：（1）猜想：， 证明：如图1，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， . （2）如图2，延长至H，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 米，米， （米）. 2．如图中，，D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE. (1)如图1，若点D在线段BC上，且，的度数为_________； (2)设，. ①如图2当点D在线段BC上移动时，求证：； ②当点D在BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？说明理由； ③当点D在CB的延长线上时，直接写出，之间的数量关系：_________. 答案：(1)； (2)①见解析； ②成立，理由见解析； ③； 解析：(1)， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； (2)①证明：， ， 在和中 ， ， ，.， ； ②结论仍然成立，如图， ， ， 在和中 ， ， ，， ； ③如图，由①同理得， ， ， ， 故答案为：. 3．如图，四边形ABCD中，，，，M、N分别为AB、AD上的动点，且.求证：. 答案：见解析 解析：证明：延长AB至点E，使得，连接CE， 四边形ABCD中，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$