3.2 平面直角坐标系 预习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第三章 位置与坐标 2. 平面直角坐标系 知识点预习 1. 平面直角坐标系的定义与构成 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成 平面直角坐标系。 构成要素：x轴（横轴），水平放置，正方向向右；y轴（纵轴），铅直放置，正方向向上；原点（O），两坐标轴的公共交点。 坐标平面：两轴分成的四个区域（象限）。 2. 点的坐标表示 坐标定义：过点 P 分别向x 轴、y轴作垂线，垂足对应的数 a（横坐标）、b（纵坐标）组成 有序实数对，称为点 P 的坐标。 书写规范：横坐标在前，纵坐标在后，用括号括起，逗号分隔。如 A(−2,0)。 3. 象限与坐标轴 象限划分（逆时针方向）： 象限 横坐标符号 纵坐标符号 示例 第一象限 + + (3,2) 第二象限 − + (−4,1) 第三象限 − − (−5,−3) 第四象限 + − (6,−2) 坐标轴上的点： x轴：纵坐标为 0，如 (−2,0)。 y轴：横坐标为 0，如 (0,3)。 原点：(0,0)。 注：坐标轴上的点 不属于任何象限。 4. 点与坐标的一一对应关系 核心性质：平面内任意一点 → 唯一有序实数对（坐标）；任意有序实数对 → 平面内唯一一点。 几何意义：坐标系建立 数（坐标）与形（点）的桥梁。 5. 总结 本节通过建立平面直角坐标系，将平面内的点与有序实数对一一对应，实现几何位置代数化。学生需掌握坐标系的三要素（轴、原点、方向），熟练进行点与坐标的互化，理解象限划分规则，并应用于实际定位问题（如地图景点）。这为后续学习函数图像、几何变换奠定基础。 基础题预 1、 选择题预习（30分） 1．下列各点中，在第二象限的是（　　） A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3 ） D．（1，3） 【解答】解：A、（﹣1，3）在第二象限，故本选项正确； B、（1，﹣3）在第四象限，故本选项错误； C、（﹣1，﹣3）在第三象限，故本选项错误； D、（1，3）在第一象限，故本选项错误． 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，点A（a2+11，+2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵a2+11＞0，2＞0， ∴点A在第一象限． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，5）到y轴的距离为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣5 D．5 【解答】解：点A（﹣4，5）到y轴的距离为|﹣4|＝4， 故选：A． 4．设点P（x，y）在第二象限，且|x|＝4，|y|＝3，则点P的坐标是（　　） A．（﹣4，3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4） 【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝3， ∴x＝4或x＝﹣4，y＝3或y＝﹣3． ∵点P（x，y）在第二象限， ∴x＝﹣4，y＝3， ∴点P的坐标为（﹣4，3）， 故选：A． 5．在平面直角坐标系中，点M（m+1，m+2n） 在x轴上，点N（m﹣2，n﹣m） 在y轴上，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【解答】解：∵点M（m+1，m+2n） 在x轴上，点N（m﹣2，n﹣m） 在y轴上， ∴， 由②得：m＝2， 把m＝2代入①得：n＝﹣1， ∴m+n＝2+（﹣1）＝1， 故选：A． 6．已知点A（a，﹣b）在第二象限，则点B（a﹣3，b﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由A（a，﹣b）在第二象限，得 a＜0，﹣b＞0． 由不等式的性质，得 a﹣3＜﹣3，b＜0． b﹣2＜﹣2， 点B（a﹣3，b﹣2）在第三象限， 故选：C． 7．如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为（1000，1500），则学校的位置坐标为（　　） A．（1500，1000） B．（1500，1500） C．（2000，1000） D．（2000，1500） 【解答】解：因为1000÷500＝2，1500÷500＝3， 则如图所示， 所以4×500＝2000，2×500＝1000， 则学校的坐标为（2000，1000）． 故选：C． 8．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3） 【解答】解：由条件可知点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 故选：B． 9．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　） A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5 【解答】解：∵AB∥x轴， ∴b＝5，a≠﹣1， 故选：C． 10．下列说法中，正确的是（　　） A．点P（3，2）到x轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）和点（﹣3，2）表示同一个点 C．若y＝0，则点M（x，y）在y轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 【解答】解：A．点P（3，2）到x轴距离是2，不符合题意； B．在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）和点（﹣3，2）不是同一个点，不符合题意； C．若y＝0，则点M（x，y）在x轴上，不符合题意； D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号，符合题意， 故选：D． 二、填空题有一些（24分） 11．已知点P（﹣2，y）在第二象限，写出一个y的值　1（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵点P（﹣2，y）在第二象限， ∴y＞0， ∴y的值可以是1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 12．在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（﹣a，﹣b）在第　四　 象限． 【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限， ∴a＜0，b＞0； ∴﹣a＞0，﹣b＜0， 即点B（﹣a，﹣b）在第四象限． 故答案为：四． 13．在平面直角坐标系中，点（a2+1，2025）一定在第　一　 象限． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点（a2+1，2025）一定在第一象限， 故答案为：一． 14．已知平面直角坐标系中，点A在y轴右侧，且到x，y轴距离都是6，那么点A的坐标是　（6，6）或（6，﹣6）　 ． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点A在y轴右侧，且到x，y轴距离都是6， ∴点A的横坐标为正，纵坐标可能为正数，也可能为负数， ∴点A的横坐标是6，纵坐标是6或﹣6， ∴点A的坐标是（6，6）或（6，﹣6）， 故答案为：（6，6）或（6，﹣6）． 15．若点A（m﹣1，﹣1），点B（3，m+1），且直线AB∥y轴，则m的值为　4　 ． 【解答】解：由题知， 因为点A（m﹣1，﹣1），点B（3，m+1），且直线AB∥y轴， 所以m﹣1＝3， 解得m＝4． 故答案为：4． 16．已知直线MN∥x轴，点M的坐标为（1，2），并且线段MN＝5，则点N的坐标为 　（﹣4，2）或（6，2）　 ． 【解答】解：由题知， 因为直线MN∥x轴，点M的坐标为（1，2）， 所以点N的纵坐标为2． 又因为MN＝5， 所以1﹣5＝﹣4，1+5＝6， 则点N的坐标为（﹣4，2）或（6，2）． 故答案为：（﹣4，2）或（6，2）． 三、解答题预习（46分） 17．在平面直角坐标系内，已知点M（4a﹣8，a+3）．若点M在x轴上，求点M的坐标． 【解答】解：∵点M在x轴上， ∴a+3＝0， ∴a＝﹣3， ∴4a﹣8＝﹣12﹣8＝﹣20， ∴点M的坐标为（﹣20，0）． 18．已知点P（2a﹣2，a+5），回答下列问题： （1）点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求a2025+2025的值． 【解答】解：（1）由题意得2a﹣2＝0，解得a＝1， ∴a+5＝1+5＝6， ∴P（0，6）， 答：点 P 的坐标是（0，6）； （2）由题意得（2a﹣2）+（a+5）＝0， 解得a＝﹣1， ∴a2025+2025＝（﹣1）2025+2025＝﹣1+2025＝2024， 答：a2025+2025 的值为2024． 19．已知点P（2m+4，m﹣1），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P的纵坐标为﹣2； （2）点P的纵坐标比横坐标大3． 【解答】解：（1）∵点P的纵坐标为﹣2， ∴m﹣1＝﹣2， 解得：m＝﹣1； ∴2m+4＝2×（﹣1）+4＝﹣2+4＝2， ∴P（2，﹣2）； （2）∵点P的纵坐标比横坐标大3， ∴m﹣1﹣（2m+4）＝3， 解得：m＝﹣8， ∴m﹣1＝﹣9， 2m+4＝2×（﹣8）+4＝﹣16+4＝﹣12， ∴P（﹣12，﹣9）． 20．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（mx+y，x+my），其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A（﹣1，3）的“4级关联点”点B的坐标为（﹣1×4+3，﹣1+4×3），即B（﹣1，11）． （1）点P（1，2）的“3级关联点”是　（5，7）　 ； （2）若点C（2，a）的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若存在点E，使得EC∥y轴，且EC＝5，求点E的坐标．（提示：先由（2）求出点C的坐标） 【解答】解：（1）点P（1，2）的“3级关联点”是（3×1+2，1+3×2），即（5，7）， 故答案为：（5，7）； （2）点C（2，a）的“2级关联点”点D的坐标为：（2×2+a，2+2a）， ∵点D在x轴上， ∴2+2a＝0， ∴a＝﹣1， ∴C（2，﹣1），点D（3，0）； （3）∵EC∥y轴， ∴点E的横坐标为2， 设点E的纵坐标为y， ∵EC＝5， ∴|y﹣（﹣1）|＝5， 解得：y＝4或﹣6， ∴点E的坐标为（2，4）或（2，﹣6）． 21．如图，有直角三角形AOB，A点，B点坐标分别为（﹣3，0），（0，4）．问在x轴上顺时针滚动10次后直角三角形直角顶点坐标？ 【解答】解：由条件可知AO＝3，OB＝4， ∴， 则AB+AO+BO＝5+3+4＝12， 观察滚动过程，得出当滚动三次，此时直角三角形直角顶点坐标为（12，0）， 当滚动四次时，直角三角形直角顶点坐标为（12，0）， 当滚动六次，12+12＝24， 此时直角三角形直角顶点坐标为（24，0）， 当滚动七次时，直角三角形直角顶点坐标为（24，0）， 当滚动九次，12+12+12＝36， 此时直角三角形直角顶点坐标为（36，0）， 当滚动十次时，直角三角形直角顶点坐标为（36，0）， 22．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为例如：点A（1，3），B（7，1），则线段AB的中点坐标为（4，2）．请利用以上结论解决问题： （1）若点A（2，2），B（﹣4，4），则以点A和点B为端点的线段的中点坐标为　（﹣1，3）　 ． （2）已知点C（1，1），D（2，3），若D为线段CE的中点，求点E的坐标． （3）已知点G和点M的坐标分别为（﹣1，6），（3，8），线段GH与x轴平行，且GH＝6．若线段GH的中点与线段MN的中点在第一象限重合，直接写出点N的坐标． 【解答】解：（1）∵（﹣1，3）A（2，2），B（﹣4，4）， ∴以点A和点B为端点的线段的中点坐标为，即（﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）； （2）设点E的坐标为（m，n）， 由题意得，， 解得m＝3，n＝5， ∴点E的坐标为（3，5）； （3）∵点G（﹣1，6），线段GH与x轴平行，且GH＝6，GH的中点在第一象限， ∴点H在第一象限，且纵坐标为6， ∵﹣1+6＝5， ∴点H的坐标为（5，6）， ∴线段GH的中点坐标为（2，6）， ∴线段MN的中点坐标为（2，6）， ∵点M的坐标为（3，8）， ∴点N的坐标为（1，4）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第三章 位置与坐标 2. 平面直角坐标系 知识点预习 1. 平面直角坐标系的定义与构成 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成 平面直角坐标系。 构成要素：x轴（横轴），水平放置，正方向向右；y轴（纵轴），铅直放置，正方向向上；原点（O），两坐标轴的公共交点。 坐标平面：两轴分成的四个区域（象限）。 2. 点的坐标表示 坐标定义：过点 P 分别向x 轴、y轴作垂线，垂足对应的数 a（横坐标）、b（纵坐标）组成 有序实数对，称为点 P 的坐标。 书写规范：横坐标在前，纵坐标在后，用括号括起，逗号分隔。如 A(−2,0)。 3. 象限与坐标轴 象限划分（逆时针方向）： 象限 横坐标符号 纵坐标符号 示例 第一象限 + + (3,2) 第二象限 − + (−4,1) 第三象限 − − (−5,−3) 第四象限 + − (6,−2) 坐标轴上的点： x轴：纵坐标为 0，如 (−2,0)。 y轴：横坐标为 0，如 (0,3)。 原点：(0,0)。 注：坐标轴上的点 不属于任何象限。 4. 点与坐标的一一对应关系 核心性质：平面内任意一点 → 唯一有序实数对（坐标）；任意有序实数对 → 平面内唯一一点。 几何意义：坐标系建立 数（坐标）与形（点）的桥梁。 5. 总结 本节通过建立平面直角坐标系，将平面内的点与有序实数对一一对应，实现几何位置代数化。学生需掌握坐标系的三要素（轴、原点、方向），熟练进行点与坐标的互化，理解象限划分规则，并应用于实际定位问题（如地图景点）。这为后续学习函数图像、几何变换奠定基础。 基础题预 1、 选择题预习（30分） 1．下列各点中，在第二象限的是（　　） A．（﹣1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3 ） D．（1，3） 2．在平面直角坐标系中，点A（a2+11，+2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，5）到y轴的距离为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣5 D．5 4．设点P（x，y）在第二象限，且|x|＝4，|y|＝3，则点P的坐标是（　　） A．（﹣4，3） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（﹣3，4） 5．在平面直角坐标系中，点M（m+1，m+2n） 在x轴上，点N（m﹣2，n﹣m） 在y轴上，则m+n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 6．已知点A（a，﹣b）在第二象限，则点B（a﹣3，b﹣2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为（1000，1500），则学校的位置坐标为（　　） A．（1500，1000） B．（1500，1500） C．（2000，1000） D．（2000，1500） 8．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3） 9．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　） A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5 10．下列说法中，正确的是（　　） A．点P（3，2）到x轴的距离是3 B．在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）和点（﹣3，2）表示同一个点 C．若y＝0，则点M（x，y）在y轴上 D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 二、填空题预习（24分） 11．已知点P（﹣2，y）在第二象限，写出一个y的值　 　 ． 12．在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（﹣a，﹣b）在第　 　 象限． 13．在平面直角坐标系中，点（a2+1，2025）一定在第　 　 象限． 14．已知平面直角坐标系中，点A在y轴右侧，且到x，y轴距离都是6，那么点A的坐标是　 　 ． 15．若点A（m﹣1，﹣1），点B（3，m+1），且直线AB∥y轴，则m的值为　 　 ． 16．已知直线MN∥x轴，点M的坐标为（1，2），并且线段MN＝5，则点N的坐标为 　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．在平面直角坐标系内，已知点M（4a﹣8，a+3）．若点M在x轴上，求点M的坐标． 18．已知点P（2a﹣2，a+5），回答下列问题： （1）点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求a2025+2025的值． 19．已知点P（2m+4，m﹣1），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P的纵坐标为﹣2； （2）点P的纵坐标比横坐标大3． 20．在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（mx+y，x+my），其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A（﹣1，3）的“4级关联点”点B的坐标为（﹣1×4+3，﹣1+4×3），即B（﹣1，11）． （1）点P（1，2）的“3级关联点”是　 　 ； （2）若点C（2，a）的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若存在点E，使得EC∥y轴，且EC＝5，求点E的坐标．（提示：先由（2）求出点C的坐标） 21．如图，有直角三角形AOB，A点，B点坐标分别为（﹣3，0），（0，4）．问在x轴上顺时针滚动10次后直角三角形直角顶点坐标？ 22．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为例如：点A（1，3），B（7，1），则线段AB的中点坐标为（4，2）．请利用以上结论解决问题： （1）若点A（2，2），B（﹣4，4），则以点A和点B为端点的线段的中点坐标为　 　 ． （2）已知点C（1，1），D（2，3），若D为线段CE的中点，求点E的坐标． （3）已知点G和点M的坐标分别为（﹣1，6），（3，8），线段GH与x轴平行，且GH＝6．若线段GH的中点与线段MN的中点在第一象限重合，直接写出点N的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$