第5章 二次函数单元测试卷 2024—2025学年苏科版九年级数学下册

第5章 二次函数单元测试卷 （考试时间为100分钟，满分为120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。） 1.下列函数中，是二次函数的有(    ) ；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.已知点、、在函数上，则、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 3.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 4.抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知二次函数、、为常数，且的图象顶点为，经过点有以下结论：；；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数(    ) A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 7.已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示： 点、在函数的图象上，则当，时， 与的大小关系正确的是(    ) A. B. C. D. 8.已知二次函数，下列结论不正确的是(    ) A. 图象开口向上 B. 图象经过点 C. 对称轴是直线 D. 与轴有两个交点 9.如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是(    ) A. B. C. D. 10.抛物线的图象如图，，则(    ) A. B. C. D. 以上都不是 二、填空题：本题共8小题，共28分。 11.某一型号飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行时间单位：之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行 ________才能停下来． 12.已知函数，若使成立的值恰好有三个，则的值为______． 13.二次函数、的图象如图所示，则______填“”或“”． 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为；当最短时，则抛物线顶点纵坐标为______． 第10题 第13题 第14题 15.抛物线与轴的交点坐标是______． 16.已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ______． 17.若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为          ． 18.将抛物线绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为______． 三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知二次函数的图象经过点，． 求，的值； 在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； 如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离． 20.本小题分 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线； 乙：与轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为． 请你确定满足上述全部特点的一个二次函数解析式． 21.本小题分 已知抛物线是常数与直线：． 若抛物线的对称轴为，直接写出该抛物线的顶点坐标为______； 若抛物线的顶点为，求证：点在直线上； 问将抛物线向上平移多少个单位后与直线有唯一公共点？ 22.本小题分 某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另三边用总长为米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇米宽的门．设边的长为米，矩形花圃的面积为平方米． 求与之间的函数关系式． 若墙长米，求的最大值． 23.本小题分 大鹏童装店销售某款童装每件售价为元，每星期可卖件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价元，每星期可多卖出件，已知该款童装每件成本元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． 求与之间的函数关系式； 若商店按每件售价不超过元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 24.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； 抛物线：与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式； 点和都在中抛物线上，且，两点不重合，求代数式的值． 25.本小题0分 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． 如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； 如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象直接写出的取值范围______． 26.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线顶点为，、两点关于抛物线的对称轴对称，直线恰好经过、两点． 求抛物线和直线的函数解析式； 设点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为． 用含的代数式表示线段的长； 当的面积为时，求点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 5页 第 5章 二次函数单元测试卷 （考试时间为 100 分钟，满分为 120 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的。） 1.下列函数中，是二次函数的有( ) ①� = 1 − 3�2；②� = 1�2；③� = �(1 + �)；④� = (1 − 2�)(1 + 2�) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2.已知点�(1, �1)、�( − 2, �2)、�( − 2, �3)在函数� = 2(� + 1)2 − 1 2上，则�1、�2、�3的大小关系是( ) A. �1 > �2 > �3 B. �1 > �3 > �2 C. �3 > �1 > �2 D. �2 > �1 > �3 3.抛物线� = (� − 1)2 − 3 的顶点坐标是( ) A. ( − 1, − 3) B. ( − 1,3) C. (1, − 3) D. (1,3) 4.抛物线� = 3�2向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是( ) A. � = 3(� − 1)2 − 2 B. � = 3(� + 1)2 − 2 C. � = 3(� + 1)2 + 2 D. � = 3(� − 1)2 + 2 5.如图，已知二次函数� = ��2 + �� + �(�、�、�为常数，且� ≠ 0)的图象顶点为�(1,�)，经过点�(2,1).有 以下结论：①� < 0；②��� > 0；③4� + 2� + � = 1；④� > 1 时，�随�的增大而减小；⑤对于任意实数�， 总有��2 + �� ≤ � + �，其中正确的有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 6.若一次函数� = (� + 1)� + �的图象过第一、三、四象限，则函数� = ��2 −��( ) A.有最大值�4 B.有最大值− � 4 C.有最小值 � 4 D.有最小值− � 4 7.已知二次函数� = ��2 + �� + �中，其函数�与自变量�之间的部分对应值如下表所示： � … 0 1 2 3 4… �… 4 1 0 1 4… 点�(�1, �1)、�(�2, �2)在函数的图象上，则当 1 < �1 < 2，3 < �2 < 4 时，�1 与�2的大小关系正确的是( ) A. �1 > �2 B. �1 < �2 C. �1 ≥ �2 D. �1 ≤ �2 8.已知二次函数� = �2 − 4� + 3，下列结论不正确的是( ) 第 2页，共 5页 A.图象开口向上 B.图象经过点(0,3) C.对称轴是直线� = 1 D.与�轴有两个交点 9.如图，函数� = ��2 − 2� + 1 和� = �� − �(�是常数，且� ≠ 0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) A. B. C. D. 10.抛物线� = ��2 + �� + �的图象如图，�� = ��，则( ) A. �� + 1 = � B. �� + 1 = � C. �� + 1 = � D.以上都不是 二、填空题：本题共 8 小题，共 28 分。 11.某一型号飞机着陆后滑行的距离�(单位：�)与滑行时间�(单位：�)之间的函数关系式是� = 60� − 1.5�2， 该型号飞机着陆后滑行 ________�才能停下来． 12.已知函数� = (� − 1)2 − 1 (� ≤ 3) (� − 5)2 − 1 (� > 3) ，若使� = �成立的�值恰好有三个，则�的值为______． 13.二次函数�1 = ��2、�2 = ��2的图象如图所示，则�______�(填“>”或“<”)． 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线� = ��2 − 4�� + 3�(� < 0)与�轴交于�、�两点，与�轴交于点�， 点�的坐标为(2, − 4)；当��最短时，则抛物线顶点纵坐标为______． 第 10 题 第 13 题 第 14 题 15.抛物线� = �2 − 3� + 2 与�轴的交点坐标是______． 16.已知二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的顶点坐标( − 2, − 3.2)，则关于�的一元二次方程��2 + �� + � = 0 的两个根分别是�1 = 1.3 和�2 = ______． 17.若函数� = (� − 1)�2 − 4� + 2�的图象与�轴有且只有一个交点，则�的值为 ． 18.将抛物线� = 2(� + 1)2 + 7 绕顶点旋转 180°后得到的抛物线的解析式为______． 三、解答题：本题共 8 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分) 已知二次函数� = �2 + �� + �的图象经过点(4,3)，(3,0)． (1)求�，�的值； 第 3页，共 5页 (2)在所给平面直角坐标系中画出二次函数� = �2 + �� + �的图象； (3)如果此抛物线上下平移后过点( − 2,2)，试确定平移的方向和平移的距离． 20.(本小题 8 分) 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线� = 4； 乙：与�轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与�轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 24． 请你确定满足上述全部特点的一个二次函数解析式． 21.(本小题 8 分) 已知抛物线� = �2 − 2�� +�2 +�− 1(�是常数)与直线�：� = � − 1． (1)若抛物线的对称轴为� = 1，直接写出该抛物线的顶点坐标为______； (2)若抛物线的顶点为�，求证：点�在直线�上； (3)问将抛物线向上平移多少个单位后与直线�有唯一公共点？ 第 4页，共 5页 22.(本小题 8 分) 某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为�的墙，另三边用总长为 79 米的篱笆围成，围成的花圃 是如图所示的矩形����，并在��边上留有一扇 1 米宽的门．设��边的长为�米，矩形花圃的面积为�平方 米． (1)求�与�之间的函数关系式． (2)若墙长� = 30 米，求�的最大值． 23.(本小题 10 分) 大鹏童装店销售某款童装每件售价为 60 元，每星期可卖 100 件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调 查反应：每降价 1 元，每星期可多卖出 10 件，已知该款童装每件成本 30 元，设该款童装每件售价�元每 星期销售量为�件． (1)求�与�之间的函数关系式； (2)若商店按每件售价不超过 45 元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润 是多少？ (3)若该店每星期想要获得不低于 3910 元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 24.(本小题 12 分) 已知关于�的一元二次方程 2�2 + (� + 4)� + � = 0． (1)求证：无论�为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)抛物线�1：� = 2�2 + (� + 4)� + �与�轴的一个交点的横坐标为 � 2，其中� ≠ 0，将抛物线�1向右平移 1 4个 单位，再向上平移 1 8个单位，得到抛物线�2，求抛物线�2的解析式； (3)点�(�, �)和�(�,�)都在(2)中抛物线�2上，且�，�两点不重合，求代数式�+ �的值． 第 5页，共 5页 25.(本小题 10 分) 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距��为 6 米，到地面的 距离��和��均为 0.9 米，身高为 1.4 米的小丽站在距点�的水平距离为 1 米的点�处，绳子甩到最高处时刚 好通过她的头顶点�.以点�为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为� = ��2 + �� + 0.9． (1)如果小华站在��之间，且离点�的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华 的身高； (2)如果身高为 1.4 米的小丽站在��之间，且离点�的距离为�米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合 图象直接写出�的取值范围______． 26.(本小题 12 分) 如图，在平面直角坐标系���中，已知抛物线� = ��2 + �� + 3 与�轴交于�( − 1,0)，�(3,0)两点，与�轴交 于点�，抛物线顶点为�，�、�两点关于抛物线的对称轴对称，直线� = �� + �恰好经过�、�两点． (1)求抛物线和直线��的函数解析式； (2)设点�是直线��上方抛物线上的一动点，过点�作�轴的平行线交��于点�，设点�的横坐标为�． ①用含�的代数式表示线段��的长； ②当△ ���的面积为54时，求点�的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，是二次函数； ，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ，整理后是二次函数； ，整理后是二次函数； 故选：． 2.【答案】  【解析】解： 由函数可知， 该函数的抛物线开口向上，且对称轴为． 、、在函数上的三个点， 且三点的横坐标距离对称轴的远近为： 、、， ． 故先． ． 3.【答案】  【解析】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】解：由抛物线的开口方向向下， 则，故正确； 抛物线的顶点为， ，， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故错误； 抛物线经过点， ，即，故正确； 抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，即正确； ， ， ，则正确 综上，正确的共有个． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 即， 函数有最大值， 最大值为． 故选B． 7.【答案】  【解析】解：当时，函数值小于，当时，函数值大于， ． 故选B． 8.【答案】  【解析】解：、二次函数，， 则图象开口向上，本选项结论正确，不符合题意； B、当时，， 则图象经过点，本选项结论正确，不符合题意； C、对称轴是直线，本选项结论错误，符合题意； D、， 与轴有两个交点，本选项结论正确，不符合题意； 故选：． 9.【答案】  【解析】解：、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误． 故选B． 10.【答案】  【解析】解：， 点、的坐标为，， 把点的坐标代入得， ， ， ， ． 故选A． 11.【答案】  【解答】 解：， 函数有最大值． ， 即飞机着陆后滑行米才能停止． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：函数的图象如图： 根据图象知道当时，对应成立的有恰好有三个， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小， 故， 故答案为． 14.【答案】  【解析】解：根题意知，当轴时，线段最短． 点的坐标为， 点的坐标为． 将其代入，得， 解得． 该抛物线解析式是：． ． 该抛物线的顶点坐标是 抛物线顶点纵坐标为． 故答案是：． 15.【答案】和  【解析】解：把代入，得：， 解得：或， 所以抛物线与轴的交点坐标为或． 故答案为：和． 16.【答案】  【解析】解：已知二次函数的顶点坐标， 对称轴是直线， 与关于对称， ， 解得． 故答案为：． 17.【答案】或或  【解析】解：函数的图象与轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，， 解得：，， 当函数为一次函数时，，解得：． 故答案为：或或． 18.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 由于抛物线绕其顶点旋转后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反， 则所得抛物线解析式为， 故答案为 19.【答案】解：将，代入，得， 解得：， 二次函数，顶点坐标为，对称轴是直线，如图所示； 把代入得， 点向下平移个单位得到点， 所以需将抛物线向下平移个单位．  20.【答案】解：这是一道开放性题，答案不唯一设二次函数的图象与轴的交点坐标为，，解析式为 由甲可知，由乙可知，都是整数，不妨设，， ； 令，则， 与轴的交点为； 由丙可知， ， ， ， ．  21.【答案】解：； 证明：， 点的坐标为， 当时，， 点在直线上； 设将抛物线向上平移个单位后与直线有唯一公共点， 则平移后的抛物线解析式为， 与直线：联立，得， 消去，并整理得，， 由， 解得，， 将抛物线向上平移个单位后与直线有唯一公共点．  22.【答案】解：设边的长为米，则边长为米， 根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 由知，， ，， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 墙长米，的最大值为平方米．  23.【答案】解：； 设每星期利润为元， ， 当时，随的增大而增大， 时，最大值， 当每件售价为元时，每星期的销售利润最大，最大利润元； 由题意：， 解得：或， 当每件童装售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润． 由题意：， 解得：， ． ， 每星期至少要销售该款童装件．  24.【答案】证明：， ， 无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 将代入得， 解得舍或， 抛物线的解析式为， 将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后抛物线顶点坐标为， 抛物线解析式为． 点和都在抛物线上， ，， ， ， ，不重合， ， ， ．  25.【答案】由题意可得，抛物线经过点，顶点的横坐标为， 则， 解得，，， 抛物线的解析式为， 当时，， 即小华的身高是米； ．  26.【答案】把，两点分别代数入得： ，， 解得：，， 抛物线解析式为：， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，顶点， 、两点关于抛物线的对称轴对称， 点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 直线的表达式为， 点的横坐标为则点，的坐标分别为 ，， ； 的面积 ， ， 解得：或不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$