26.1.2 反比例函数的图象和性质（第2课时 k的几何意义）（教学设计）数学人教版九年级下册

本文聚焦反比例函数的几何意义展开，承接平面直角坐标系及一次、二次函数知识背景，为后续处理函数、方程等关系奠基。通过复习旧知、探究应用等环节，培养学生抽象能力、几何直观等数学核心素养，渗透于观察归纳、典例讲解等过程。 该设计创新点在于以多样题型强化知识理解，采用讲练结合教法。从学生层面看，提升解决问题能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破教学难点。

26.1.2 反比例函数的图象和性质（第2课时 的几何意义） 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册第二十六章 反比例函数 26.1.2反比例函数的图象和性质 第2课时，内容包括：反比例函数的几何意义. 2.内容解析 反比例函数是在继平面直角坐标系，一次函数和二次函数的基础上，再次进入函数范畴学习的又一类新的函数，所以本节课也是数学思想和方法的一个总结和提升。反比例函数是初中阶段三大函数之一，是最基本、最初步的函数。在此之前，学生已经学习了反比例关系和分式的知识，为本节课的学习打下良好的基础。以反比例函数为背景的图形面积题型问题在教材中没有系统呈现，但它的掌握又直接影响到后续知识的学习，为以后处理函数、方程、不等式间的关系奠定了基础。. 基于以上分析，本节课的教学重点是: 理解和掌握反比例函数(k≠0）中k的值与相应矩形及三角形面积之间的关系. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解和掌握反比例函数(k≠0）中k的值与相应矩形及三角形面积之间的关系; （2）逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数中比例系数“k"的几何意义，培养学生类比、转化及数形结合的数学思想方法;能灵活运用函数图象和性质解决一些综合的问题; （3）通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力，语言组织能力和分析问题及解决问题的能力，深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 2.目标解析 （1）由问题引入，并引导学生通过观察、比较、归纳等方法，发展学生的数学建模能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣. （2）培养学生对图象的理解和运用能力，体会利用反比例函数图形面积的不变性，并能利用反比例图象的性质解决问题. （3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础. 三、教学问题诊断分析 通过八、九年级函数知识学习，学生已经具有了函数概念的知识积累和掌握了反比例函数的概念及其图象与性质。然而反比例函数的图象与几何图形往往结合严密，如何识别图象中的信息来解决数学问题对初学反比例函数的九年级学生来说是一大难点，特别是利用函数知识解决图形问题，所以在学习反比例函数的图象和性质后，安排一节《反比例函数的图象和性质—k值的几何意义》，让学生体会数形结合思想解决图形面积问题. 基于以上分析，本节课的教学难点为: 逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数中比例系数“k"的几何意义，培养学生类比、转化及数形结合的数学思想方法;能灵活运用函数图象和性质解决一些综合的问题，提高学生的数学思维能力. 四、教学过程设计 （一）复习旧知 1.点在反比例函数图象上，则= . 2.反比例函数的图像在第一、三象限，则点()在第__四___象限． 3.如图，△ABC的三个顶点分别为(1，2)，(4，2)，(4，4).若反比例函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则的取值范围是_____ 【设计意图】通过复习旧知引入，激发学生学习兴趣，让学生明白新旧知识的联系. （二）新知探究 求图中矩形的面积 归纳总结：过反比例函数图象上任意一点P分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。 结论： 【设计意图】从特殊点出发，让学生通过观察，归纳得到反比例函数的的几何意义，从而理解反比例函数的面积不变性，知识生成自然. 鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础. （三）新知应用 1.如图，反比例函数的图象经过点，那么矩形的面积为 6 ； 2.如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积___4____ 3.如图，A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点作轴、轴的垂线段． ， ， 分别表示图中三个矩形的面积，若，且，则值为__3.5_____ 4.如图所示，直线与双曲线交于A,B两点,P是AB上的点,△AOC的面积、△BOD的面积、 △POE的面积的大小关系为 . 【设计意图】通过对这基础题的解答，让学生进一步熟悉与掌握反比例函数的几何意义 （四）典例讲解 例1.(1)如图点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点，点E为轴上一点，,求的值为___-10____ (2).在(1)的条件下，点C、D在轴上，且，求S四边形ABCD的面积=_10____ (3) 在(1)的条件下，如图所示，点H为反比例图像上一点，为轴上一点，,求__10_____ 方法点拨：当遇到复杂图形，可把图形通过等面积 (同底等高，同高等底等)进行转化，从而与矩形或直角三角形建立联系. 同底等高（同高等底） 例2.(1)如图，已知矩形，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，求的值． 解：如图所示：点分别在反比例函数，的图象上， 由反比例函数的几何意义可知，，， = + =3+1=4， (2)如图，点A在双曲线上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，求它的面积. 解：如图所示：点分别在反比例函数，的图象上， 由反比例函数的几何意义可知，，， = - =3-1=2， (3)如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，求的面积. 解：如图所示：点分别在反比例函数，的图象上， 由反比例函数的几何意义可知，，， =， (4)如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，求的面积 解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上,点B在上， ∴， ∴； 归纳总结 例3.(1)如图A,B是函数图像上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴，求△ABC的面积 解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上， ∴，∴， ∵轴， ∴， ∴． (2)如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，求的面积． 解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上， ∴，∴， ∵轴， ∴， ∴． 归纳总结 例4.如图，是双曲线上的两点，点坐标为().若点的横坐标为，求△的面积. 解：分别过点作轴的平行线与轴相交于点，点作轴的平行线与轴相交于点 ∵是双曲线上的两点，点坐标为(). ∴,点的坐标为() ∵ ∴ ∴ 解：分别过点作轴，垂足为；与相交于点, 轴，垂足为 ∵是双曲线上的两点，点坐标为(). ∴,点的坐标为() ∴ ∵ ; ∴ ∵ ∵ 【设计意图】通过典例讲解培养学生对图形的理解和运用能力，体会理解反比例函数的几何意义，并能利用此解决问题. （五）针对训练 1.如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 2.如图，D是反比例函数的图象上一点，轴，图中平行四边形的面积为12,则的值为 12 ． 3.如图，为等边三角形，点B在x轴正半轴上．若反比例函数的图象的一支经过点A，则的面积为_ _____ 4.如图，双曲线经过的对角线交点，已知边在轴上，且于点，若的面积是，则的值为__ _____ 5.如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴，轴作垂线，若阴影部分的面积为，则 18 ． 6.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若轴，是轴上一点，的面积为，则的值为 ． 7.如图,点在双曲线上,点在双曲线上，连接，轴，作轴于点,连接，若，则的值是 6 ． 8.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点．且，则的值为 ． 9.如图，函数与函数的图象相交于 两点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则四边形ACBD的面积为___8____ 10.如图所示，是函数的图象上关于原点对称的任意两点，平行于轴，平行于轴，则△的面积为,则的值为___2_____ 11.如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，求的面积 解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， . 【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和综合解决问题的能力从而培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性. （七）拓展探究 1.如图所示：反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别于交于点， (1)若矩形的面积为，则的值为__4___ (2)若四边形的面积为，则的值为__2___ 2.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，求平行四边形的面积 解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，则 ∵平行四边形，∴ ∴，∴， ∴与的面积相等， 又∵顶点C在反比例函数上， ∴的面积的面积相等， 同理可得：的面积的面积相等， ∴平行四边形的面积， 3.如图，已知轴，垂足为分别交反比例函数的图像于点、．若是的中点，求的面积． 解：设，则， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， 则 【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和综合解决问题的能力从而培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性. （八）当堂巩固 1.如图，在函数()的图像上有三点，过这三点分别向轴、轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与轴、 轴围成的矩形的面积分别为， ， ，则 ( C ) . . . . 2.如图所示，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，的面积为，则的值为___4___ 3.如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为 6 ． 4.如图，分别在反比例函数和反比例函数的图象上，点在轴上，则=___3____. 5.如图是反比例函数，在轴上方的图象，平行四边形的面积是，若点在轴上，点在的图象上，点在的图象上，则的值为 ． 6.如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为 7 ． 7.如图，已知矩形的面积为16，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，则的值为 4 ． 8.双曲线和的图象如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点，点，与交于点，若的面积为，则的值为 ． 9.如图，的顶点、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称，点在轴上，轴于点，点在点右侧，若，求的面积 解：根据反比例函数的性质可得： 的面积为，即， ∵， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵、均在反比例函数的图象上，且关于原点对称， ∴与的面积相等，即的面积为． 10.如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上,若点的坐标为,求实数的值． 解：∵轴，点的坐标为， 设点， ∵， 解得：， ∴，． 11.如图，矩形对角线交于坐标原点，且顶点均在反比例函数的图象上，设，求矩形的面积． 解：在反比例函数的图象上， ∴，即则 由对称性得 设，由对称性得， 在矩形中，， ， （此时为A点，舍去）， ， 作轴于点E，作轴于点F， ∵ 又∵ ， ∴ 矩形对角线交于坐标原点， ， 【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题. （九）课堂小结 【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握． （十）布置作业 如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是 ． 与的面积相等； 四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为； 与始终相等； 当点是的中点时，点一定是的中点． 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$