专题01 解直角三角形的实际应用（专项训练）数学鲁教版五四制九年级上册

专题01 解直角三角形的实际应用（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、仰角俯角问题 1 题型二、方位角问题 11 题型三、坡度坡比问题 21 题型四、其他综合应用 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、仰角俯角问题 1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的水平高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 3．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 【答案】(1)28.7米 (2)10人 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点D，如图，，可得四边形为矩形，在中，（米），由此即可求解； （2）根据题意，在中，（米），在中，（米），则（米），结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米， 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米； （2）解：由题意，，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人． 5．（2025·河北邯郸·三模）太阳能光伏发电具有清洁、安全、高效的特点．嘉嘉为了解某太阳能板的相关数据，展开了测量活动．如图，为太阳能板，为支撑架，已知是的中点，垂直于水平地面．当太阳光线（视为平行光线）与水平地面的夹角为时，测得太阳能板在地面上的影长．在点处用高度为的测角仪测得点处的仰角为． (1)求太阳能板的顶端距离地面的高度； (2)测得，求太阳能板的宽度（的长）．（参考数据：，，） 【答案】(1)太阳能板的顶端距离地面的高度约为． (2)m 【分析】本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形解决相关问题是解决本题的关键；难点是构造直角三角形判断出CD的长度． （1）过点作，于点，过点作于点．则四边形是矩形，由题意知，设，则，得出，即，求解即可得出答案； （2）过点作于点，过点作，交于点，则四边形是矩形．得出，，再根据勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】（1）如图，过点作，于点，过点作于点．则四边形是矩形， ，． 由题意知， ． 设，则， 在中，． ，即． 解得 ． 答：太阳能板的顶端距离地面的高度约为． （2）如图，过点作于点，过点作，交于点，则四边形是矩形． ，． ，是的中点， 是的中点，， ， ， ， ． 答：太阳能板的宽度约为m． 6．在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． (1)求点到地面的距离． (2)求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2)古塔的高度为 【分析】本题考查解三角形的实际应用． （1）利用坡度比，设，，在中，由勾股定理列方程求解得到和，即可解答； （2）作于点，则四边形是矩形，在中，由三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得， 即，解得（负值已舍）， ，， 点到地面的距离为． （2）解：如图所示：作于点， 则四边形是矩形， ， ， 在中，，， 则，即， 解得， ， 答：古塔的高度为． 7．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 8．临沂的桥，一桥一景，千姿百态，瑰丽多彩．数学综合与实践活动课上，为测量临沂沂河某桥桥塔的高度（如图1），学习小组设计了如下方案：如图2，在D处，用测角仪测得桥塔顶部B的仰角为，桥塔底部A的俯角为，再向后退18米至点E处，在E处测得桥塔顶部B的仰角为，已知点，，，依次在同一直线上，且． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）（参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握此知识点是解此题的关键． （1）设，则，解直角三角形表示出，，求出的值，即可得解； （2）解直角三角形求出的长，即可得解． 【详解】（1）解：设， ， ， ， ， ，， ，， 解得 答：线段的长约为； （2）解：，， ． 答：桥塔的高度约为． 题型二、方位角问题 9．定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 10．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 【答案】(1)米 (2)小亮先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴小亮所花时间：（秒）， 小颖所花时间：（秒）， ∵， ∴小亮先到达展区． 11．（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 【答案】(1)231.8米 (2)D地址 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键； （1）过点B作于点E，如图，解直角三角形分别求出，即可解决问题； （2）设过点D的东西方向线与交于点F，解直角三角形求出，解直角三角形求出，解直角三角形求出，即可求出分别在A地址和D地址部署核心交换机的费用，再比较即可得出答案. 【详解】（1）解：过点B作于点E，如图， 由题意，， ∴， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴（米）， 答：学生公寓A到图书馆D的距离约为231.8米； （2）解：设过点D的东西方向线与交于点F， 由题意，知， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， 在直角三角形中，（米）， （米）， ∴在A地址部署核心交换机的费用（元）， 在D地址部署核心交换机的费用（元）， ∵， 应该选择在D地址部署核心交换机. 12．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东的方向上，千米，千米，，C在A的正东方向． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)求的长度．（参考数据：） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过点B作于F，则，进而可得，解可求出的长，再解求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，则四边形是矩形，千米，解求出的长，解求出的长；求出，解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接，过点B作于F， ∴， 由题意得， ∴， 在中，千米， 在中，千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴千米， 在中，千米， 在中，千米； ∵， ， ∴， ∴在中，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度为千米． 13．（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 【答案】(1)40米 (2)60米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据在中，，得出，即可求出； （2）过点A作于点E，先求出的长度，在中，得到，在中，，得到，再根据即可求出． 【详解】（1）解：依题意， ，， ， ∴B，C两点间的距离为40米． （2）解：作于点，则． 由题意知： ，，． 则． 所以在中，． 即． 所以． 在中，． 即． 所以． 所以． ∴的长为60米． 14．（2025·山东滨州·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，，，，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．作于，于，则四边形为矩形，构造矩形和直角三角形，根据锐角三角函数可得，，从而可知，在中，根据，可得：，所以可得养鱼场长度约为． 【详解】解：如下图所示， 作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，，， ，，， ，， ，， 在中，，， ， ， ， 即养鱼场长度约为． 题型三、坡度坡比问题 15．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 【答案】(1)； (2)闸门B没有打开，见解析． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再根据直角三角形中边、角关系解答即可． 根据、的长度即可求出斜坡的坡度； 过点作于点，设，则，利用勾股定理可以得到，根据，可得，解方程求出的值，即可得到：，如果车辆以的速度行驶即可通过，而识别系统需要，所以车辆以最高限速行驶到达点时，门没有打开． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 斜坡的坡度为； （2）解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点所用时间为： 秒， ， 闸门没有打开． 16．（2025·安徽合肥·二模）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】古树的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，过点作，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形，求出的长，根据，进行计算即可． 【详解】解：延长交于点，过点作，由题意，得：， 则四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵斜坡的坡度i为，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由题意，得：， ∴， ∴； 答：古树的高度为米． 17．（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】(1)斜坡的坡比为； (2)的长米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； （2）解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 18．（2025·山东青岛·一模）如图，要测量一垂直于水平面的建筑物的高度，小明从建筑物底端出发，沿水平方向向右走14米到达点，又经过一段坡角为，长为20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到达点（A，，，，均在同一平面内）．在处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】24米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡比问题、矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点作，垂足为，延长交于点，则，，米，在中解直角三角形可得（米）、（米），即米；进而得到，在中解直角三角形可得，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点，则， 由题意得：四边形是矩形， ∴，米， 在中，，米， （米），（米）， 米； 米， （米）， 在中，， （米）， （米）， 建筑物的高度约为24米． 19．（2025·湖南·一模）老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：×××  组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； (2)求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分的长度为米． (2)改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点H，构造直角三角形，再计算即可； （2）先计算，再计算体积即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点H， 在中，米， （米），（米）， 在中，， （米）, 米． 答：改造后斜面底部延伸出来的部分BE的长度为米； （2）解：平方米， 立方米． 答：改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 20．（2025·辽宁丹东·模拟预测）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） (2)求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1)一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； (2)日光灯C到一楼地面的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理． （1）过点B作于点E，设，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案； （2）过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H，根据矩形性质得四边形，是矩形，结合（1）的结论，根据三角函数的性质，得，从而完成求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E． 设， ∵的坡度为， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：（舍去）或， ∴一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度为； （2）解：如图，过点C作于点F，交于点G，过点D作于点J，交于点H， ∴四边形，是矩形， 根据题意，得：，， ∴，，， 由（1）可知，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴日光灯C到一楼地面的高度约为． 21．根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：） 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（） 问题解决： (1)确定斜坡坡度：如图1，求的值； (2)如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明． 【答案】(1)的值为 (2)闸门没有打开，理由详见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）直接根据坡度的定义求解即可； （2）过点作于，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达点的时间，从而得解． 【详解】（1）解： ，，长， 的值为：； （2）解：闸门没有打开，理由如下： 过点作于， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点的时间为： 秒，， 闸门没有打开． 22．（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【答案】2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握坡度是坡角的正切值． 延长交于点E，根据坡道的坡比，可得，即可求出米，进而得出米，再证明，则，设，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 题型四、其他综合应用 23．便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案． 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：为的中点 … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： 在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，设，则，在中，根据，求出x，即可求出结果． 【详解】解：如图： 根据题意知，，是的中点， ， ， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 此时水桶下降的高度为． 24．一扇推拉式窗户，打开一定角度后，其俯视图如图1所示，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点处，另一端点在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变，．窗户的旋转角的大小控制在一定范围内． (1)现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，如图1，求此时的长； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，直至第二次测得时停止，如图2，求点在此过程中滑动的长度．（结果均保留根号） 【答案】(1) (2)端点在此过程中滑动的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，利用解直角三角形求出，．等腰三角形的性质求出，即可解答． （2）过点作交的延长线于点，解直角三角形得出，，勾股定理求出，从而求出，进一步相减可得出结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 图1 在中，，， ，， 在中，， ，， ； （2）解：过点作交的延长线于点， 在中，，， ，， 根据（1）可得，， 在中，， ； ， 端点在此过程中滑动的长度为． 图2 25．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知，米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，测得米，求的长； (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)大于等于米且小于等于米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于E，由等边对等角和三角形内角和定理可得，由三线合一定理得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）过点D作，垂足为F，分别求出和时，的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过A作于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米） ∴的长为米； （2）解：过点D作，垂足为F， 当时， ∵， ∴， 由（2）知（米）， 在中，（米） 当时， ∵， ∴， 在中，（米）． ∴在安全使用范围下，桑梯顶端D到地面的距离范围为大于等于米且小于等于米． 26．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点，又在河的另一岸边取两个点，，测得，，量得的长为，求河的宽度．（参考数据：，，，，，．结果精确到） 【答案】河的宽度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接过点作于点，利用列方程，进而得出答案． 【详解】解：过点作于点， 设， ，，， 在中，，即， ． 在中，，即， ． ， ，即， 解得． ， 答：河的宽度为． 27．（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 【答案】(1)24.2m (2)48.2m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，证明四边形和四边形均为矩形，得到，，再结合解直角三角形得到，即可解题； （2）过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，证明四边形和四边形均为矩形，得到，再结合，达到最大角度，推出，结合解直角三角形得到，推出，结合解直角三角形得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点B作于点E，过点A作于点F，的延长线交于点H，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， ∵， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， ∴（m）． 答：此时的长为24.2m． （2）解：过点A作于点M，过点B作于点N，于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴m，，， 依题意得：当，达到最大角度时，则，， ∴， 在中，，m，， ∴m， ∴m， 在中， ，m， ∴， ∴， ∴m． 答：该消防车可救援的最大高度约为48.2m． 28．（2025·山东菏泽·三模）雨量监测站是一款以互联网为甚础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来的雨量情况，从而安排合理的农事作业．如图①，是雨量监测站的实物图，如图②，是该监测站的简化示意图，其中支杆与支架的夹角分别为，，支杆与太阳能供电板的夾角，且支杆端点的距离为14cm，支杆的端点到支架的水平距离为16cm．求支杆端点的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用. 过点作于点，过点分别作于点，作于点，则四边形是矩形，，根据三角函数求出，求出，则，，，最后根据即可求出的距离. 【详解】解：如图，过点作于点，过点分别作于点，作于点， ∴四边形是矩形，， 在中，，， ． ， ． ． 在中，， ，， ． ， ， 解得． 答：支杆端点的距离约为． 29．（2025·山东烟台·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为3米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1.2米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米，求此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3.6米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由． 【答案】任务1：的长度为4米；任务2：会被照射到，理由见解析 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可． 【详解】解：任务1：如图1，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ，， ， ． ， ， ， ，四边形为矩形， ，， ， ， 在中，（米）； 任务2：如图2，过点作交于点． 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ． 在中，， 在中，， 在中，当时，， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 30．（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成，如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果．悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，） 【答案】(1)的长度约为； (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为，证明出四边形是矩形，然后在中利用三角函数得到即可； （2）首先得到，四边形是矩形，然后在中利用三角形函数求出，然后利用三角形的外角求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为，    ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度约为； （2）解：过点D作于点E，过点作的垂线，垂足为， ∵摄像头点D到桌面l的距离为， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)度 (2)此时手绢端点与舞者距离在规定范围内，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 32．（2025·山东威海·二模）图1是太阳能路灯，图2是该路灯的简易平面图．点B为垂直于水平路面的灯杆AC上一支撑点，点D为灯管，在路面上的点E，F测得灯管D的仰角分别为，．已知点A，E，F在同一直线上，．求灯管D距路面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】灯管D距地面的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．过点D作，垂足为G，设，则．解直角三角形得出．，证明．得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为G． 设，则． 在中， ． 在中， ， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴灯管D距地面的高度约为． 33．（2025·山东潍坊·二模）小亮家购买了一台某品牌的冰箱（如图1），冰箱的外包装可看作长方体．记长方体的纵截面为矩形（如图2），，．运送过程中，为避免冰箱内部制冷液逆流，外包装的底面与地面的夹角（图中与直线的夹角）不能超过．已知小亮家入户门高度为，其它过道高度足够．当时，配送人员能否将冰箱送入小亮家中？（） 【答案】当时，配送人员能将冰箱送入小亮家中，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点、分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形， ∵矩形，，． ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 答：当时，配送人员能将冰箱送入小亮家中， 34．（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； (2)线段的长度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）求出、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G， ∵，， ，， 在中，，， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为； （2）解：如图，过点B分别作，，垂足分别为H、P，则四边形是矩形， 在中，，， ，， ， ∵， ， ， ∵，，， ， ， 答：线段的长度约为． 35．（2025·山东临沂·二模）如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似的看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图1、图2分别是小桌板收起时和展开时的实物，图3中的实线是小桌板展开后的示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时，，，求小桌板桌面的宽度．（参考数据，，） 【答案】小桌板桌面的宽度为 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角形的计算是关键． 如图所示，延长交于点，则与均为直角三角形，在中，根据锐角三角函数的计算得到，则，在中，根据锐角三角形值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴与均为直角三角形， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：小桌板桌面的宽度为． 36．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）过点作，设，求出的长，利用双勾股定理，列出方程求出的长，再利用余弦的定义，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； （2）过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 37．（2025·山东青岛·一模）如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，． (1)求旋转角的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1)； (2)的长度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）由旋转得，，再利用四边形内角和定理求解即可； （2）过点A作于点P，过点作于点H．在中，利用三角函数的定义求得，，证明，求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∵， ∴． ∵， ∴在四边形中，； （2）解：如图，过点A作于点P，过点作于点H． ∵， ∴． 在中， ∴． ∴． ∴． 由（1）知，，即， ∵， ∴， 由旋转，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴， ∴． 所以，的长度为． 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的应用． 由得，故在中使用=即可列出方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， 设为，， 在，== 即， 故选A． 2．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 3．（2025·宁夏吴忠·二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，以便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为45°时，则阴影的长为 米．（结果精确到0.1米；参考数据：，，） 【答案】2.2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 作，说明四边形是矩形，可得，再根据锐角三角函数求出，进而求出，可知米，然后说明，最后根据得出答案． 【详解】解：过点A作，于点F，G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴米． 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）． 故答案为：2.2． 4．（2025·山东济宁·三模）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．    (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）直接在中解直角三角形即可解答； （2）在中，由勾股定理得：，解求得，由题意得，故，最后求出的长度即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 答：的长． （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴，解得：， 由题意得，， ∴， ∴． 答：物体上升的高度约为． 5．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关长度与角度，计算物体的高度． 【实践工具】无人机、扫描仪、测角仪等测量工具． 【问题提出】今年春季，为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑（图1）所在地，在了解相关历史背景后，利用无人机搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 【数据采集】如图2，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处测得点A的仰角为，竖直上升至距离地面10米的点C处时，测得点A的仰角为． 【数据应用】已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【答案】纪念碑顶部点A到地面的距离的长是27米 【分析】本题考查了本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点作于点，由题意可知，，，米，先证明四边形是矩形，得到，，利用，从而表示出，，接着利用，算得，最后得到． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 由题意可知，，，米， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ，， 米， ， 米， 米， 答：纪念碑顶部点A到地面的距离的长是27米． 6．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 7．（2025·山东济宁·二模）如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米．（参考数据：，，） (1)求的距离（结果保留根号）； (2)小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米/小时，观光车的速度为千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，并说明理由． 【答案】(1)千米 (2)小明先到达点，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据计算即可得； （2）过点作，交延长线于点，交于点，过点作于点，先根据平行线的性质、三角形的内角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得，的长，然后根据两条路线的长度和速度计算时间，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 由题意得：，，千米， 在中，千米，千米， 在中，千米， 则千米， 答：的距离为千米； （2）解：如图，设交于点，过点作于点， 由题意得：，，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，千米，千米， 在中，千米，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴小聪选择路线一所需时间为（小时）， 小明选择路线二所需时间为（小时）， 因为， 所以小明先到达点． 8．（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)大于米 (2)约为米 【分析】（）连接，过点作交于点，可得，再解即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，即得，由坡度的定义得米，解得米，进而求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 9．（2025·山东·三模）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形，，．该沙发与地面的空隙为矩形，，．拖把杆为线段，长为，为的中点，与所成角的可变范围是，当大小固定时，若经过点，或点与点重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度． (1)如图1，当时，求沙发底部可拖最大深度的长．（结果保留根号） (2)如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？（，，） 【答案】(1) (2)不能达到，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给度数整理到直角三角形中是解决本题的关键． （1）设的延长线交于点N．易得的长度，根据的正切值可得的长度，再加上的长度即为的长度，也就是的长度； （2）根据的正切值可得的长度，再加上的长度即为的长度，也就是的长度，即可判断沙发底部可拖最大深度的长能否达到． 【详解】（1）解：设的延长线交于点． ∵四边形和四边形是矩形，，， ∴，，． ∴四边形是矩形． ∵． ∴，，． ∴，． ∵在中，，， ∴． ∵点是的中点， ． ． ． 答：沙发底部可拖最大深度的长为； （2）解：如图2， 由（1）得：，，． ∵在中，， ． ． ∵， ∴此时沙发底部可拖最大深度的长不能达到． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解直角三角形的实际应用（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、仰角俯角问题 1 题型二、方位角问题 5 题型三、坡度坡比问题 10 题型四、其他综合应用 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、仰角俯角问题 1．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的水平高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 3．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 5．（2025·河北邯郸·三模）太阳能光伏发电具有清洁、安全、高效的特点．嘉嘉为了解某太阳能板的相关数据，展开了测量活动．如图，为太阳能板，为支撑架，已知是的中点，垂直于水平地面．当太阳光线（视为平行光线）与水平地面的夹角为时，测得太阳能板在地面上的影长．在点处用高度为的测角仪测得点处的仰角为． (1)求太阳能板的顶端距离地面的高度； (2)测得，求太阳能板的宽度（的长）．（参考数据：，，） 6．在一次数学实践活动中，小刚同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内． (1)求点到地面的距离． (2)求古塔的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 7．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 8．临沂的桥，一桥一景，千姿百态，瑰丽多彩．数学综合与实践活动课上，为测量临沂沂河某桥桥塔的高度（如图1），学习小组设计了如下方案：如图2，在D处，用测角仪测得桥塔顶部B的仰角为，桥塔底部A的俯角为，再向后退18米至点E处，在E处测得桥塔顶部B的仰角为，已知点，，，依次在同一直线上，且． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）（参考数据：，）． 题型二、方位角问题 9．定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 10．（2025·山东潍坊·三模）如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． (1)求的长度； (2)已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 11．（2025·山东青岛·模拟预测）学校正推进“智慧校园”建设，如图，分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点在点的南偏东方向，点在点的西北方向，点，在点的正南方向，长为120米． (1)求学生公寓到图书馆的距离；（结果精确到0.1米） (2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在中选择一个地址部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤．已知在的南偏西方向，若在地址部署核心交换机，需铺设与两条路线的光纤并在地址再部署一台价值400元的微型交换机（防止之间出现拥堵）；若在地址部署核心交换机，需铺设这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机．已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用，参考数据：） 12．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关距离及角度，计算线段的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】某地新建设了一个五边形的物流中心，数学小组经过现场测量并画出如图的示意图，经过多次测量，得到如下数据：B在A北偏东的方向上，千米，千米，，C在A的正东方向． 【问题解决】 (1)求的长度； (2)求的长度．（参考数据：） 13．（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 14．（2025·山东滨州·一模）综合与实践 【活动主题】支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往某养鱼场开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算养鱼场长度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点测得，，，，在点测得． 【数据信息】用计算器算得如下参考数据：，，，，，． 【完成任务】请你根据以上数据信息，求养鱼场长度． 题型三、坡度坡比问题 15．（2025·广东揭阳·一模）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 图1是地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 为了便于管理，物业在图这个车库出入口处安装车牌识别设备，如图中设像头点位于点正上方，，，，三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭． 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速． (1)如图1，求斜坡的坡度； (2)如图2，当时，求的长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，问门是否已经打开，请通过计算说明．（参考数据：，） 16．（2025·安徽合肥·二模）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 17．（2025·上海崇明·二模）在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． (1)求斜坡的坡比； (2)如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 18．（2025·山东青岛·一模）如图，要测量一垂直于水平面的建筑物的高度，小明从建筑物底端出发，沿水平方向向右走14米到达点，又经过一段坡角为，长为20米的斜坡，然后再沿水平方向向右走了50米到达点（A，，，，均在同一平面内）．在处测得建筑物顶端A的仰角为，求建筑物的高度． （参考数据：，，，，，） 19．（2025·湖南·一模）老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：×××  组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． …… …… 请根据活动报告，解答下列问题： (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； (2)求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号） 20．（2025·辽宁丹东·模拟预测）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中B到一楼地面的高度．（结果保留根号） (2)求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 21．根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：） 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（） 问题解决： (1)确定斜坡坡度：如图1，求的值； (2)如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明． 22．（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 题型四、其他综合应用 23．便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案． 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度 方案设计 工具桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：为的中点 … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： 在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：，，） 24．一扇推拉式窗户，打开一定角度后，其俯视图如图1所示，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点处，另一端点在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变，．窗户的旋转角的大小控制在一定范围内． (1)现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，如图1，求此时的长； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，即绕点逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，直至第二次测得时停止，如图2，求点在此过程中滑动的长度．（结果均保留根号） 25．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知，米，为固定张角大小的绳索，设，为保证安全，的调整范围是． (1)当时，测得米，求的长； (2)在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，，，） 26．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点，又在河的另一岸边取两个点，，测得，，量得的长为，求河的宽度．（参考数据：，，，，，．结果精确到） 27．（2025·山东济宁·三模）学校消防宣传周对曲臂云梯消防车进行了科普，如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足：，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，，且m，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当，达到最大角度时，顶端C升到最高处，求该消防车可救援的最大高度．（参考数据：，，，，结果精确到0.1． 28．（2025·山东菏泽·三模）雨量监测站是一款以互联网为甚础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来的雨量情况，从而安排合理的农事作业．如图①，是雨量监测站的实物图，如图②，是该监测站的简化示意图，其中支杆与支架的夹角分别为，，支杆与太阳能供电板的夾角，且支杆端点的距离为14cm，支杆的端点到支架的水平距离为16cm．求支杆端点的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：）． 29．（2025·山东烟台·二模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为3米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1.2米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米，求此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3.6米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由． 30．（2025·山东·模拟预测）如图1，某款线上教学设备由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在D处的摄像头组成，如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角来提高拍摄效果．悬臂端点C到桌面l的距离约为． (1)的长度为多少？ (2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，） 31．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 32．（2025·山东威海·二模）图1是太阳能路灯，图2是该路灯的简易平面图．点B为垂直于水平路面的灯杆AC上一支撑点，点D为灯管，在路面上的点E，F测得灯管D的仰角分别为，．已知点A，E，F在同一直线上，．求灯管D距路面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 33．（2025·山东潍坊·二模）小亮家购买了一台某品牌的冰箱（如图1），冰箱的外包装可看作长方体．记长方体的纵截面为矩形（如图2），，．运送过程中，为避免冰箱内部制冷液逆流，外包装的底面与地面的夹角（图中与直线的夹角）不能超过．已知小亮家入户门高度为，其它过道高度足够．当时，配送人员能否将冰箱送入小亮家中？（） 34．（2025·山东临沂·二模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，，） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 35．（2025·山东临沂·二模）如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似的看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，其中图1、图2分别是小桌板收起时和展开时的实物，图3中的实线是小桌板展开后的示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时，，，求小桌板桌面的宽度．（参考数据，，） 36．（2025·江苏苏州·一模）如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离． (1)如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）； (2)如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求． 37．（2025·山东青岛·一模）如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点，的位置，且点在线段的延长线上，． (1)求旋转角的度数； (2)若，求的长度． 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（  ） A． B． C． D． 2．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 3．（2025·宁夏吴忠·二模）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，以便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为45°时，则阴影的长为 米．（结果精确到0.1米；参考数据：，，） 4．（2025·山东济宁·三模）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．    (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． （参考数据：） 5．（2025·山东聊城·三模）【实践课题】通过测量相关长度与角度，计算物体的高度． 【实践工具】无人机、扫描仪、测角仪等测量工具． 【问题提出】今年春季，为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑（图1）所在地，在了解相关历史背景后，利用无人机搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 【数据采集】如图2，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．无人机从纪念碑前水平地面的点M处测得点A的仰角为，竖直上升至距离地面10米的点C处时，测得点A的仰角为． 【数据应用】已知图中各点均在同一竖直平面内．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 6．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 7．（2025·山东济宁·二模）如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景．已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米．（参考数据：，，） (1)求的距离（结果保留根号）； (2)小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米/小时，观光车的速度为千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，并说明理由． 8．（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 9．（2025·山东·三模）用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形，，．该沙发与地面的空隙为矩形，，．拖把杆为线段，长为，为的中点，与所成角的可变范围是，当大小固定时，若经过点，或点与点重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度． (1)如图1，当时，求沙发底部可拖最大深度的长．（结果保留根号） (2)如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？（，，） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$