第十八章 相似形（知识清单）数学北京版九年级上册

第十八章 相似形 知识点一、比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是相似形. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比. 1.相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点、相似三角形的实际应用 掌握相似三角形的判定和性质，能灵活运用其解决与三角形相似有关的几何证明、计算问题，如证明线段成比例、角相等，计算线段长度、图形面积等。 学会建立相似三角形模型解决实际问题，如测量物体的高度、宽度、距离等，体会数学与生活的密切联系，培养数学应用意识和实践能力。 通过用相似三角形解决问题的过程，进一步培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和创新思维能力，提升学生的数学素养。 1、 比例线段 错误：比例线段的运算、比的顺序和结果有问题 注意：“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 线段的比，最终要化成最简整数比； 例．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 二、黄金分割 错误：黄金分割的边比比错、忘记黄金分割数 注意：黄金分割是以线段的比例中项来定义的； ，0.618又被称为黄金分割数； 例．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的应用，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.． 设雷锋人体雕像下部的设计高度为，则雕像上部的高度为．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵， ∴． 故选：C． 三、平行线分线段成比例 错误：平行线的对应边弄混淆，需要作平行线找到平行关系 注意：对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 例．如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 四、相似多边形 1.相似图形 错误：相似图形识别错误 注意：（1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； （2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 例．下列图形中，不一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形 D．两个圆 【答案】C 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形，对选项一一进行判断即可． 【详解】解：A、∵等边三角形的三个内角都是， ∴任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故该选项不符合题意； B、∵等腰直角三角形的三个内角分别为、、， ∴任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故该选项不符合题意； C、∵任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等， ∴任意两个长方形不一定相似，故该选项符合题意； D、∵任意两个圆中，其中一个圆放大或缩小后能够与另一个圆重合， ∴任意两个圆一定相似，故该选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了相似图形的判定，涉及等腰三角形、等腰直角三角形、长方形、圆等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关图形的性质． 2.相似多边形 错误：相似多边形的对应边、对应角出错 注意：（1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； （2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； （3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 例．报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，由对折后的报纸形状与对折前的形状相似，，然后求出，关系即可，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和， ∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似， ∴原矩形与新矩形的边比相等，， ， ， ∴， 即矩形较短边与长边的比应是， 故选：． 四、相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的概念 错误：相似三角形的基本概念混淆 注意：【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 例．下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵第二个等腰三角形的顶角也等于， ∴两个三角形的夹角相等，夹边对应成比例，是一对相似三角形，符合题意； 、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵两个等腰三角形的顶角不相等， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、由勾股定理得，第二个直角三角形的另一条直角边长为， ∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 故选：． 2.相似三角形的判定 错误：相似三角形的判定混淆概念 注意：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 例．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 3.相似三角形的性质 错误：找错相似三角形的对应边 注意：己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短” 例．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）根据平行可得，再结合即可证明； （2）根据设，，先证明，得到，，，再证明得到，最后求的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25九年级上·北京通州·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易证，然后问题可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 4．（19-20九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，和相交于点，若，则的长度为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先证是的中位线，推出，，再证，根据对应边成比例可得，结合即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 5．（2023·山东济南·一模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（    ）    A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为9，12，15，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点P作，垂足为G、H，    由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 6．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，在矩形中，已知，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形以及勾股定理，根据勾股定理求得，再利用三角形相似得到比例求得即可． 【详解】矩形， 即： 解得： 故答案为：． 7．（24-25九年级上·北京顺义·期末）物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，设与交于点，过作于点，延长，交于点，由题意得，，，，则，，然后由相似三角形的性质即可求解，解题的关键掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】解：如图，设与交于点，过作于点，延长，交于点， 由题意得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴小孔到火焰的像的距离为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，与，分别交于点，．计算的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形中位线，过点F作于点H，分别交、于点P、Q，则，结合为边的中点， 可知，，因此可求出，，的值，设，，由可得，， ，据此可求出x，y的值，根据即可得出答案． 【详解】解：过点F作于点H，分别交、于点P、Q，则， 四边形是正方形， ， ，分别为边，的中点， ， ， ∵，为边的中点， ∴，， ，， ，，， 设，， ， ∴，， ， ， ，， 解得，， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】此题重点考查全等三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由全等三角形的性质得，，而，则，所以，则，可判断①正确；由，且，得，可判断②正确；证明，得，则，所以，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ，且， ， 故②正确； ，， ， ， ，， ∴， ， ， ， 故③正确， 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 10．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质和折叠变换的性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）根据两个角相等可证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式可得的长，再根据勾股定理列方程可得的值，从而可得答案 【详解】（1）证明：四边形是矩形 ， 沿直线将翻折，使得落在AD边上， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 即， 解得． 四边形是矩形， ， 沿直线将翻折，使得点落在边上， ， ， ， ， 即， 解得， 11．（22-23九年级上·四川内江·期中）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 12．（2024·北京·模拟预测）利用图形的构造可以有效解决代数问题，对于如下的函数可以转化为这样的一个几何图形，其中 (1) (2)直接写出的最小值，和此时的值 【答案】(1) (2)y的最小值为13，此时 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定： （1）根据勾股定理得到，再根据已知条件可得，据此可得答案； （2）过点A作交延长线于H，连接交于T，可得，，则，故当A、C、E三点共线时，有最小值，此时，再证明，利用相似三角形的性质求出，则，解得． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交延长线于H，连接交于T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、C、E三点共线时，有最小值，此时， ∴y的最小值为13． 同理可得， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，点是边上的动点点不与，重合，过点作于，过点作，交于点，连接，设的长度为． (1)求证：； (2)若存在一点，使得四边形为平行四边形，求出此时的值； (3)若四边形的面积为，请用的表达式表示． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）由可得，根据平行线的性质得，由相似三角形的判定可得结论； （2）由勾股定理可求的长，由得，根据相似三角形的性质可求得，由知，可得，根据平行四边形的性质得，则，即可得的值； （3）求出，由知，根据勾股定理得，根据四边形的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， ； （2）解：在中，，，， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：； （3）解：， ， ，， ， ， 由（2）知， ， 四边形的面积为 ． 【点睛】本题是相似三角形的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理得出线段之间的等量关系是本题的关键． 14．（2024·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 【答案】(1)，，； (2)①2.2；②见解析； (3)1.9． 【分析】（1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数； （2）①如图，当时，而，， ∴是的中点， ∴， 此时重合， 过作交于，交于，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②描点画图如下：    （3）由函数图象可得：当时，； 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 15．（2024·北京西城·一模）在 中， ，于点是射线上的动点 (不与点 A， B重合)， 点 E 在射线上且满足． ，过点D 作直线的垂线交直线于点F， 垂足为点 G， 直线交射线于点P．      (1)如图1， 若点D在线段上， 当 时，求 的大小； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系， 并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得，然后由余角性质得出，即可求解． （2）作交于点 Q，利用相似三角形的性质求得，证明，得到，由勾股定理得，即可由，得出结论． 【详解】（1）解∶如图4．    ∵在中，， ∴，，． ∵于点 M， ∵， ∵于点 G， ∴， ∴． （2）解：补全图形，如图5．    证明∶ 如图4， 作交于点 Q． ∵， ∴ ∴， ∵BM=CM， AM⊥BC， ∴， 于点 G， ∴   即． ∴ 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 相似形 知识点一、比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条 . （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的 是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有 ； （3）线段的比，最终要化成 . 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 . 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的 . 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B ，点B为线段AC的 ，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是 . 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的 、 无关，与 和 也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的 ，称为 . 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做 . 1.相似多边形的三个条件：① ；② ；③ ； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是 ； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形 等于相似比； 2.相似多边形 等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于 . 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于 ； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于 . 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点、相似三角形的实际应用 掌握相似三角形的判定和性质，能灵活运用其解决与三角形相似有关的几何证明、计算问题，如证明线段成比例、角相等，计算线段长度、图形面积等。 学会建立相似三角形模型解决实际问题，如测量物体的高度、宽度、距离等，体会数学与生活的密切联系，培养数学应用意识和实践能力。 通过用相似三角形解决问题的过程，进一步培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和创新思维能力，提升学生的数学素养。 1、 比例线段 错误：比例线段的运算、比的顺序和结果有问题 注意：“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 线段的比，最终要化成最简整数比； 例．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 二、黄金分割 错误：黄金分割的边比比错、忘记黄金分割数 注意：黄金分割是以线段的比例中项来定义的； ，0.618又被称为黄金分割数； 例．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 三、平行线分线段成比例 错误：平行线的对应边弄混淆，需要作平行线找到平行关系 注意：对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 例．如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 四、相似多边形 1.相似图形 错误：相似图形识别错误 注意：（1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； （2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 例．下列图形中，不一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形 D．两个圆 2.相似多边形 错误：相似多边形的对应边、对应角出错 注意：（1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； （2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； （3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 例．报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（    ） A． B． C． D． 四、相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的概念 错误：相似三角形的基本概念混淆 注意：【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 例．下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 2.相似三角形的判定 错误：相似三角形的判定混淆概念 注意：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 例．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 3.相似三角形的性质 错误：找错相似三角形的对应边 注意：己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短” 例．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 1．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，D是边上一点，交于点E，如果，那么的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京通州·期中）五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成，如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在菱形中，点E在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．（19-20九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，和相交于点，若，则的长度为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2023·山东济南·一模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（    ）    A．22 B．20 C．18 D．16 6．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，在矩形中，已知，若，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·北京顺义·期末）物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为 ． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，与，分别交于点，．计算的长为 ． 9．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，在四边形中，，点E在上，，连接并延长交的延长线于点F，连接，．给出下面三个结论： ①是等腰直角三角形；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 10．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 11．（22-23九年级上·四川内江·期中）如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2024·北京·模拟预测）利用图形的构造可以有效解决代数问题，对于如下的函数可以转化为这样的一个几何图形，其中 (1) (2)直接写出的最小值，和此时的值 13．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，点是边上的动点点不与，重合，过点作于，过点作，交于点，连接，设的长度为． (1)求证：； (2)若存在一点，使得四边形为平行四边形，求出此时的值； (3)若四边形的面积为，请用的表达式表示． 14．（2024·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 15．（2024·北京西城·一模）在 中， ，于点是射线上的动点 (不与点 A， B重合)， 点 E 在射线上且满足． ，过点D 作直线的垂线交直线于点F， 垂足为点 G， 直线交射线于点P．      (1)如图1， 若点D在线段上， 当 时，求 的大小； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系， 并证明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$