精品解析：湖南省岳阳市汨罗市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

湖南省岳阳市汨罗市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 2. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 矩形的对角线相等 4. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线与轴的交点为 B. 直线经过第二、三、四象限 C. 随的增大而增大 D. 点在直线l上 5. 如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值，也没有满分），图中从左至右前四组的频数占总人数的百分比分别为，，，，且第五组的频数是8，下列结论不正确的是（ ） A. 第五组的频率为 B. 该班有50名同学参赛 C. 分的同学有22名 D. 80分以上的同学记为优秀，则这个班的优秀率为 7. 为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知轴，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，已知菱形的周长为40，对角线，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 192 10. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 若点向下平移3个单位，则它的像坐标为____． 12. 如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为________． 13. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点C的坐标为___________． 14. 已知一次函数，如果，则值是________． 15. 若一次函数的图象过点，则______． 16. 将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为______． 17. 如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为_______． 18. 如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为________． 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？ 20. 如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 21. 为了解某校全体学生在校午餐所用时间，调查了若干名学生在校午餐所用时间（用x表示，单位：分钟），将数据进行统计后得到如下不完整的频数分布表和如图1，图2所示两幅不完整的统计图，已知D，E两组人数相同． 组别 A B C D E 午餐所用时间 人数（频数） 4 8 （1）此次调查的样本容量为______； （2）补全频数分布表和频数分布直方图； （3）求“D”对应的扇形圆心角的度数； （4）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂尽量缩短供餐时间的情况下，你认为多少分钟作为午餐时间为宜？请说明理由． 22. 如图，一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； 23. 据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． （1）填空：无人机上升时的速度是________，________； （2）求段的函数表达式； （3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 24. 一文具店购进甲、乙两种品牌书包共80个，其进价与售价情况如下表所示： 甲品牌 乙品牌 进价（元/件） 60 56 售价（元/件） 80 72 设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元． （1）求与的函数关系式； （2）该文具店是否会获得利润1406元？说明理由； （3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． （2）应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 26. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用三角板拼出如图所示4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______．（填写序号） （2）如图⑤，已知矩形，延长至点E，使，过点E作交延长线于点F．请你判断四边形是否为邻等对补四边形，并说明理由． （3）如图⑥，在中，，，，，N为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市汨罗市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分．在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形即在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形即把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选B 2. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故选：D． 3. 下列命题错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 矩形的对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形、平行四边形的性质和判定的应用． 根据平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定即可判断． 【详解】解：A、平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项不符合题意； B、平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意； D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项不符合题意； 故选：C． 4. 关于直线，下列说法正确的是（　　） A. 直线与轴的交点为 B. 直线经过第二、三、四象限 C. 随的增大而增大 D. 点在直线l上 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线l与y轴的交点为，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，，是边的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．由，是边的中点，得出，则可得，再利用三角形外角的性质即可得． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组不包括最小值，包括最大值，也没有满分），图中从左至右前四组的频数占总人数的百分比分别为，，，，且第五组的频数是8，下列结论不正确的是（ ） A. 第五组的频率为 B. 该班有50名同学参赛 C. 分的同学有22名 D. 80分以上的同学记为优秀，则这个班的优秀率为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图的知识，理解直方图的含义，掌握频数的计算方法是解题的关键．共有五个组，已知其中四个组的百分比，即可求出第五组的百分比；根据频数除以总数乘以百分之百得到该频数的百分比，即可求出该组的人数；根据百分比的大小即可求出该组的人数，进而确定是否是最多的；根据直方图的信息可知分以上的是第四组、第五组的和，由此即可求出答案． 【详解】解：的百分比是，的百分比是，的百分比是，的百分比是， ∴的百分比是， 的频数是，百分比是， ∴名，B选项正确，不符合题意； ，即第五组的频率为，A选项正确，不符合题意； 的百分比是，总人数是名， ∴占比最多，人数也最多，有名，C选项不正确，符合题意； 分以上的学生有名名，则这个班的优秀率为，D选项正确，不符号题意． 故选：C． 7. 为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 8. 已知轴，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，理解题意，分情况分析是解题关键．根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为点，平行x轴， 所以点的纵坐标为． 又因为， 所以，， 则点的坐标为或． 故选：D． 9. 如图，已知菱形的周长为40，对角线，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理等知识，根据题意得出的长是解题关键，进而得其对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形的周长为40，对角线， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 10. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（ ） A. 10 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分） 11. 若点向下平移3个单位，则它的像坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．利用点平移的坐标规律，把点的纵坐标减3即可得到点的坐标． 【详解】解：点向下平移3个单位，则它的像坐标为，即． 故答案为：． 12. 如图是某公园的一滑梯侧面图，已知，滑梯架的高为，则滑梯长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握含角的直角三角形的性质解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质可得，由此即可求解含角的直角三角形的性质， 【详解】解：根据题意，， ∴在中，， ∴， 故答案为：6 ． 13. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点C的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．根据，两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故答案为：． 14. 已知一次函数，如果，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数自变量的值，根据题意把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若一次函数的图象过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点特征，把代入得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴把代入得到， ∴， 故答案为：． 16. 将一次函数（b为常数）的图象向下平移3个单位后，经过点，则b的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案． 【详解】解：根据直线的平移规律：平移后的直线为， 再将点代入， 得， 解得， 故答案为：5． 17. 如图，正方形的边长为12，点E，F分别在边，上，且，连接，和，与相交于点O，点H为的中点，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考点涉及正方形的性质、三角形全等的证明、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识点，难度适中，熟练掌握相关性质定理是解题关键．利用正方形的性质证出，所以，进而证得是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质，证明，设点，从而得到，再将点和代入一次函数解析式，求出、的值，进而得到的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点， ，， ，， ， 一次函数的图象经过正方形的顶点和， ，解得：， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8道小题，满分66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，求：这个多边形是几边形？ 【答案】这个多边形是九边形 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形的外角和定理是解题的关键．设这个多边形的边数为，由题意可得：，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， 答：这个多边形是九边形． 20. 如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 21. 为了解某校全体学生在校午餐所用时间，调查了若干名学生在校午餐所用时间（用x表示，单位：分钟），将数据进行统计后得到如下不完整的频数分布表和如图1，图2所示两幅不完整的统计图，已知D，E两组人数相同． 组别 A B C D E 午餐所用时间 人数（频数） 4 8 （1）此次调查的样本容量为______； （2）补全频数分布表和频数分布直方图； （3）求“D”对应的扇形圆心角的度数； （4）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂尽量缩短供餐时间的情况下，你认为多少分钟作为午餐时间为宜？请说明理由． 【答案】（1）40 （2）见解析 （3） （4）20分钟合适，见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布图，扇形统计图，熟练掌握频数（率）分布表，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提． （1）根据B组的人数和百分比即可求出调查的学生总人数； （2）分别求出C、D、E组的频数，进而补全频数分布直方图； （3）用乘以D组的百分比即可求出D组所对应扇形圆心角度数； （4）分析每组数据的频数即可得出答案． 【小问1详解】 样本容量为； 【小问2详解】 C组的人数为（人） ∴D组和E组的人数和为（人） ∵D，E两组人数相同 ∴D组和E组的人数都是2人 ∴补全频数分布表如下： 组别 A B C D E 午餐所用时间 人数（频数） 4 8 24 2 2 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 “D”对应的扇形圆心角的度数为； 【小问4详解】 20分钟合适；（答案和理由合理即可） 理由：样本中有36人能在20分钟内完成用餐，占比，可以鼓励20分钟没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂缩短供餐时间． 22. 如图，一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； 【答案】（1）（1，−3） （2）9 【解析】 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）分别求出B、C两点坐标，然后可得△ABC的面积． 【小问1详解】 解：联立两函数解析式得， 解得：， ∴点A的坐标为（1，−3）； 【小问2详解】 当y1＝0时，即−x−2＝0，解得：x＝−2， ∴B（−2，0）， 当y2＝0时，即x−4＝0，解得：x＝4， ∴C（4，0）， ∴CB＝6， ∴△ABC的面积为：×6×3＝9． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象交点的求法，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 23. 据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示． （1）填空：无人机上升时速度是________，________； （2）求段的函数表达式； （3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？ 【答案】（1）8；17 （2） （3）20.2 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息，待定系数法求一次函数的表达式，正确理解题意，从图中获取信息是解答本题的关键． （1）根据题意，结合图像即可得出答案； （2）用待定系数法，将点，代入求解即可； （3）令（2）中所求表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：无人机上升时的速度是_，， 故答案为：8；17； 【小问2详解】 解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； 【小问3详解】 解：令，即， ． 答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2． 24. 一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示： 甲品牌 乙品牌 进价（元/件） 60 56 售价（元/件） 80 72 设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元． （1）求与的函数关系式； （2）该文具店是否会获得利润1406元？说明理由； （3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该文具店不会获得利润1406元 （3）当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． （1）根据总利润与单件利润之间的关系，可得y与x的函数关系式； （2）当时，得到关于x的一元一次方程，求出x的值判断即可； （3）根据购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，可得不等式求出x的取值范围，然后利用一次函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：该文具店不会获得利润1406元．理由如下： 当时，得， 解得． 为整数， 该文具店不会获得利润1406元． 【小问3详解】 解：该文具店购进甲品牌书包数量不超过乙品牌书包数量的一半， ． ． 在中，随的增大而增大， 为整数， 当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元． 25. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． （2）应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）， （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可；②首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可；③设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：由等面积法知： ∴， ∴，得证． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； ②连接， ∵圆柱的底面半径为， ∴， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：； ③∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得． 解得：． 答：绳索的长为． 26. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______．（填写序号） （2）如图⑤，已知矩形，延长至点E，使，过点E作交延长线于点F．请你判断四边形是否为邻等对补四边形，并说明理由． （3）如图⑥，在中，，，，，N为上一点，且四边形是邻等对补四边形，连接，则的长为______． 【答案】（1）②④ （2）是邻等对补四边形，见解析 （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据三角板的特征和邻等对补四边形的定义逐个判断即可； 对于（2），先根据矩形的性质得到，再根据垂直定义和同角的补角相等得到，进而根据“角边角”证明，可得，然后根据邻等对补四边形的定义解答； 对于（3），先根据直角三角形的性质和勾股定理求出，，再结合题意求出，然后根据邻等对补四边形定义可得，并求出，接下来根据勾股定理求出，再作，分别根据含直角三角形的性质和勾股定理求出解． 【小问1详解】 解：观察可知，图①和图③不存在对角互补，所以不符合题意；图②和图④存在对角互补且邻边相等，所以②和④是邻等对补四边形； 故答案：②④； 【小问2详解】 解：四边形是邻等对补四边形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是邻等对补四边形； 【小问3详解】 解：如图，在中，, ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是邻等对补四边形，则， ∴， ∴． 过点N作， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，新定义的理解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $