第一章 特殊平行四边形拓展之最值篇（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

第一章 特殊平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D． 【融会贯通】 1．如图，菱形中，，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D．4 2．如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是 ． 3．如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为 ． 类型二、矩形对角线最值 【解惑】如图．在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为（    ） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为 ． 类型三、中位线最值 【解惑】如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E在上且，点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为（　　） A． B．10 C．20 D．8 2．如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 ． 3．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是 类型四、两动一定 【解惑】如图，若四边形是矩形，，，点是上的一个动点，点为上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 2．如图，在菱形中． P 是对角线上一动点，E 是边上一动点，连接 ，． 若，，则的最小值为 ． 3．如图，E是正方形中边上一点，连接，点P、Q分别是上的一动点，若， ，则的最小值是 ． 类型五、斜边定长最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接．下列关于结论①、②的判断正确的是（    ） ①的度数为； ②线段长度的最大值为 A．①、②都对 B．①错②对 C．①对②错 D．①、②都错 【融会贯通】 1．如图，，等边的边长为，点，分别在射线，上滑动，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为2，则线段的最大值是 ． 3．矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为 ． 类型六、两动一定长 【解惑】如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 【融会贯通】 1．如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A．2 B．2 C． D．4 2．如图，正方形边长为，，，在上，且．则四边形周长的最小值是 ． 3．如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 类型七、隐直线 【解惑】如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 2．如图，在矩形中，，点E在边上，将绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 3．如图，在菱形中，，．点E、F、G、H分别是边的中点，在直线上方有一动点P，且满足．则周长的最小值为 ． 类型八、折叠最值 【解惑】如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为10；③当P在运动过程中，的最小值；④当时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，．E为线段上的动点，将矩形沿折叠，使点B落在矩形内的点F处．长的最小值为 ． 类型九、费马距离 【解惑】如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【融会贯通】 1．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 3．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 类型十、其他最值 【解惑】如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（   ） A．25 B．50 C．75 D．100 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（  ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，，，点在上，点在外，，，是的中点，连接，，则的最小值是 ． 3．如图，正方形的边长为3．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点O，连接，，由四边形是菱形，可得，，可知垂直平分，所以，可得，即，由四边形是菱形，，可得，由四边形是菱形且周长为16，可得，结合，可得是等边三角形，由E是的中点，可得，所以，由，可得，在中，由直角三角形的性质，可求出，由勾股定理可得，可求出，所以的最小值为． 本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵菱形周长为16， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴．的最小值为． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，菱形中，，，点是的中点，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【分析】作点N关于直线的对称点，根据两点之间线段最短可得，再说明是等边三角形，结合等边三角形的性质得，然后根据根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，作点N关于直线的对称点， ∴， 即， 根据两点之间线段最短可得． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵点是的中点， ∴， 根据勾股定理，得， 所以的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，根据两点之间线段最短确定的最小值是解题的关键． 2．如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理．作点关于直线的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接，其与的交点即为点，再作交于点， ∵与关于对称， ∴，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点为对角线的交点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， 在中，， 即：的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合是关键． 如图所示，连接、，得出点关于的对称点是点，此时，点运动到点处，，的值最小，取得最小值是，如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是正方形形，设，利用的面积求出，由面积的计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，点关于的对称点是点，此时， ∵点是动点， ∴， ∴当三点共线时，即点运动到点处，的值最小， 在中，， ∴， ∴取得最小值是， 如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形形， 设， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 类型二、矩形对角线最值 【解惑】如图．在中，，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为（    ） A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，矩形性质的运用是解题的关键；连接，证明四边形是矩形，则，当时，最短，从而最小，利用面积关系求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当时，最短，从而最小； ∵，， ∴由勾股定理得； ∵当时，， ∴， 即的最小值为，从而的最小值为． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴.， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 2．如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 3．如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，于点M，于点N，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，连接，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短，得到时，最小，即最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵于点，于点，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，即最小， 此时，即：， ∴； ∴的最小值为； 故答案为：． 类型三、中位线最值 【解惑】如图，在菱形中，E，F分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵P，Q分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，根据垂线段最短，有最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ， ∵四边形是菱形，， ， ， ∴， 的最小值为， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练求解． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E在上且，点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为（　　） A． B．10 C．20 D．8 【答案】C 【分析】作A点关于的对称点，连接，交于点P，连接，此时的值最小，根据已知条件可得，进而可得，在中，由勾股定理可求的长，即可得出答案． 【详解】作A点关于的对称点，连接，交于点P，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴G是的中点， ∵F是的中点， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 故选C． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 ． 【答案】10 【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM =2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度． 【详解】 过点 P 作 PM∥FE交AD于M ， 如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为△APM的中位线， ∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ， 当EF取最小值时，即PM最短， 当PM⊥AD时，PM最短， 此时PM = AB =6 ， DM=8 ， 在Rt△PMD中，PD =10 ， 当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10． 故答案为：10· 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键． 3．如图，在菱形中，、分别是边、上的动点（点、均不与点重合），连接分别是的中点，连接．若，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，由三角形中位线定理可得，当时，最小，也最小，则，再求出 ，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，也最小，则， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 类型四、两动一定 【解惑】如图，若四边形是矩形，，，点是上的一个动点，点为上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点A关于的对称点F，连接交于M，过点F作于H．根据题意得出当P，E落在FH上时，的值最小，再由矩形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点F，连接交于M，过点F作于H． ∵， ∴， ∵， ∴当P，E落在FH上时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点F，使，连接，根据角平分计算，可得，得，得取得最小值为，当时，取得最小值，求出,即得，即得的最小值． 【详解】解：在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时， ，取得最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形的边长是6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理——最短路线问题．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，垂线段性质，根据题意作出辅助线，是解答此题的关键． 2．如图，在菱形中． P 是对角线上一动点，E 是边上一动点，连接 ，． 若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理；添加辅助线运用两点之间线段最短是解题的关键．如图，连接，，，过点C作，垂足为F，由菱形知，，互相垂直平分，得，由两点之间线段最短得，进而由垂线段最短得的最小值为垂线段的长；根据勾股定理得，由菱形的面积公式得，从而得最小值． 【详解】解：如图，连接，，，过点C作，垂足为F， ∵四边形是菱形， ∴，互相垂直平分． ∴． ∴ 当点C，P，E三点共线时， 而 ∴的最小值为垂线段的长． 中，　 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． ∴的最小值为； 故答案为：． 3．如图，E是正方形中边上一点，连接，点P、Q分别是上的一动点，若， ，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】作点C关于的对称点F，作与的交点为即为所求的P点， 证明出，是等腰直角三角形，设，则， ，再由勾股定理，得到，即可求出x的值，继而可求出，即可解答． 【详解】解：作点C关于的对称点F，作与的交点为，有 ，根据“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”，可知与的交点即为所求的点P，如图 有，四边形是正方形， ，， ∴，， ∴，， ，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形，且， 设，则 ， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查最短路线问题，解题中涉及正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边对等角，“两点之间，线段最短”与“垂线段最短”，正确作出辅助线是解题的关键． 类型五、斜边定长最值 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接．下列关于结论①、②的判断正确的是（    ） ①的度数为； ②线段长度的最大值为 A．①、②都对 B．①错②对 C．①对②错 D．①、②都错 【答案】B 【分析】①先证明和是等边三角形，即可求出的度数； ②取的中点E，连接，，，在中利用斜边中线性质求出，再求出的长，最后根据确定当三点共线时最大，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：①连接，由题意得， ∴和是等边三角形， ∴， ∴，故①不正确； ②取的中点E，连接，，，如图，取的中点E，连接，， ∵菱形的边长为4， ∴． ∵， ∴， ∵的中点E， ∴，， ∴， ∴， ∴当三点共线时最大，最大值为，故②正确． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三线合一，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，，等边的边长为，点，分别在射线，上滑动，则的最大值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，勾股定理，取的中点，连接，则，，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵，等边的边长为， ∴，， ∴ ∴ ∴ 当在上时，取的最大值为 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为2，则线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识． 如图，记的中点为，连接，则，由正方形，勾股定理得，，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴ ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 3．矩形在平面直角坐标系中如图放置，已知，，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系，矩形的性质，斜边中线的性质．取的中点，连接和，利用直角三角形的性质求得，利用勾股定理求得，得到，当共线时，有最大值，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接和， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 类型六、两动一定长 【解惑】如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等内容，将转化为是解题的关键．先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】如图，连接，作点关于点的对称点，连接 四边形是矩形 ， ∵ ， 的最小值为 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，菱形的边长是2，，为与点不重合的动点，以为边作菱形，且，连接，则的周长的最小值是（　　） A．2 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】连接、相交于H，连接，根据菱形的性质和直角 三角形的性质，由勾股定理求得，，再证明，得出，然后由三角形周长和两点之间线段最短得的周长，即可求解． 【详解】解：连接、相交于H，连接，如图， ∵菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ∴的周长的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，正方形边长为，，，在上，且．则四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，平行四边形，添加恰当的辅助线是解决几何最值问题的关键．在上取一点，使，作点关于的对称点，连接交于点，此时四边形的周长最短． 【详解】解：如图，在上取一点，使，作点关于的对称点，连接交于点，此时四边形的周长最短， 连接，，则， 由题意得，， 过点作于点， 在中，， 四边形的周长的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值是5． 故答案为：5 类型七、隐直线 【解惑】如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小． 【详解】解：如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴此时，，的值最小． 则的最小值， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 2．如图，在矩形中，，点E在边上，将绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．过点F作的延长线于点G，可证，得到，，设，则，即得，由勾股定理得，即得到当时，的值最小，最小值为，进而即可求解． 【详解】解：过点F作的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由旋转得，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 当时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在菱形中，，．点E、F、G、H分别是边的中点，在直线上方有一动点P，且满足．则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】证明出四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，说明点在上，作点A关于的对称点，连接，交于点，则为所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周长． 【详解】解：如图，连接、交于， 点、、、分别是边、、、中点， 、为、的中位线， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ，，， ， 四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为， ， 点在上， 作点A关于的对称点，连接，交于点， 由对称性质得，， ， 由两点之间线段最短得，此时最短，最短值为的长，则周长最小， ，， 为等边三角形， ， ， ， 点、分别是边、的中点，且， ∴，又， 为等边三角形， ， 到的距离为1， 点A到的距离为5， 点到的距离为5， ∴ ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称线段最短问题，涉及菱形性质、中点四边形性质、三角形中位线性质的应用、勾股定理、等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到点P的运动路线是本题的解题关键． 类型八、折叠最值 【解惑】如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点P为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为10；③当P在运动过程中，的最小值；④当时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由等腰三角形的判定及性质得，由矩形的判定方法得四边形是矩形，即可判断；②过作交于，由直角三角形的特征得， ，即可判断；③连接，由两点之间的距离得，当、、三点共线时，取得最小值，此时，即可判断； ④设，则有，，，由勾股定理得，即可判断． 【详解】解：①如图， 四边形是矩形， ， ， ， ， 由翻折得：， 四边形是矩形， 四边形是正方形， 故此项正确； ②如图，过作交于， ，， ，， 由翻折得：， ， ， ， ， 故此项不正确； ③如图，连接， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时， ， ， ， 由翻折得， ， 的最小值， 故此项正确； ④如图， 由②得， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故此项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间的距离等，掌握正方形的判定方法，找出线段取得最小值的条件，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理求出，可得结论．确定的最小值为是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴，即， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿直线折叠，使点落在长方形内部的点处， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 2．如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，点在以为圆心为半径的圆上运动，当共线时时，此时的值最小，根据折叠的性质得到，进一步得到，根据勾股定理求出，即可求解，灵活应用相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：如图所示，点在以为圆心为半径的圆上运动，当共线时时，此时的值最小， 根据折叠的性质，， ， ， ∵是边的中点，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，．E为线段上的动点，将矩形沿折叠，使点B落在矩形内的点F处．长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是关键．连接求出,在中，，当点F在线段上时，长有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：如图，连接 在矩形中，，． ∴, ∵将矩形沿折叠，使点B落在矩形内的点F处． 在中，，， ∴当点F在线段上时，长有最小值， ∴的最小值为 故答案为： 类型九、费马距离 【解惑】如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 【融会贯通】 1．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形， ∴PC=PF， ∵PB=EF， ∴PA+PB+PC=PA+PF+EF， ∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴， ∴AC=2AB， ∴∠ACB=30°，， ∵∠BCE=60°， ∴∠ACE=90°， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查利用旋转变换解决最短路径问题，两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】15.6 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，将求的最小值问题转化为求的最小值问题是解题的关键． 先根据题目条件，证明四边形是菱形，然后利用，推出， 再利用垂线段最短求的最小值，综合可得的最小值． 【详解】解：， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 于点O， 平行四边形是菱形， ， 连接PD，如图所示： ， ， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短，此时， 当点P与点O重合时，有最小值，最小值为． 故答案为：15.6． 3．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【答案】①④⑤ 【分析】 ①根据菱形的性质，运用“”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线对称，可知最小为长；③先假设，而后逆推即可判断；④连接，根据两点之间线段最短可得，当点M落在的中点时，的值最小；⑤根据图形特征得出当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，过E点作，交的延长线于F，在中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 即． 又∵， ∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，， ∴， ∴，故本答案错误； ③假设，且， ∴是的垂直平分线． 连接， 由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． ∴点A和点C关于直线对称， ∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F， 则，设菱形的边长为a， ∴，． 在中，， 解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键． 类型十、其他最值 【解惑】如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（   ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】过点F作交的延长线于点H，证明，得出，证明是等腰直角三角形，即可得，故当时，最小，即最小，此时根据勾股定理求出，即可确定最小值． 【详解】解：过点F作交的延长线于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，最小，即最小， 此时， ∴， ∴最小值． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是确定当时，最小，以及正确作出辅助线． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，则的最小值（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接，当时最小，根据题意可知，，再由勾股定理即可解答． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出辅助线． 【详解】解：依题意，可知四边形是平行四边形，延长至点P使得，过点G作垂线，垂足为点Q，连接， 当时最小， ∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 2．如图，在等腰中，，，点在上，点在外，，，是的中点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，证明是解题的关键． 在等腰中，求出，延长至，使，连接，，作于，于，证明，可得，从而得到的最小值为的长，即的最小值为，在中，利用直角三角形的性质可得 ，进而得到，再证明四边形是矩形，可得，，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∴， 延长至，使，连接，，作于，于． ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，即的最小值为， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为： 3．如图，正方形的边长为3．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理．连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$