第一章 特殊平行四边形（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

第一章 特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、正方形的重叠部分面积 【解惑】将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，证明，可得，从而得到第一个阴影部分的面积为，再由两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和，即可求解． 【详解】解：如图，设第一个正方形为，连接，第一个正方形与第二正方形的两边分别交于点E，F，则，    ∵点是正方形的中心， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第一个阴影部分的面积为， 同理其它的阴影部分的面积为， 根据题意得：两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和， ∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使A的对应点，满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．由正方形边长为3，可求，则，由平移可得重叠部分是正方形，设重叠部分正方形的边长为，利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得重叠部分是正方形， 设重叠部分正方形的边长为，则， 解得：（负值舍去）， ∴重叠部分的正方形的边长为， ∴重叠部分的面积是． 故选：A． 2．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，， 两个正方形的周长和为， ， ， ，， 矩形的周长为， ， ， ， ， ， 阴影部分的周长． 故答案为：． 3．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点．若把这样的5个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，根据条件求出一个阴影的面积，进而得到共有n-1个阴影是解题关键．连接，证明，进而证明四边形面积为1，同理另一阴影面积，则三个边长均为2的正方形重叠在一起，共得到个阴影四边形，阴影部分的面积为：，据此可得到5个小正方形按如图摆放，共得到个阴影四边形，面积为． 【详解】解：如图，连接，由题意得三个正方形的边长相等， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴四边形面积， 同理：另一阴影面积， 总阴影面积为：， 则三个边长均为2的正方形重叠在一起，共得到个阴影四边形，阴影部分的面积为：， 依次类推，可知n个边长均为2的正方形重叠在一起，共得到个阴影四边形，阴影部分的面积为：， 则五个小正方形按如图摆放，共得到个阴影四边形，面积为 故答案为：4 类型二、特殊平行四边形与函数图像结合 【解惑】如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象，当时，，确定正方形的边长；根据正方形的性质，得点与点关于直线对称，连接，交于点，当点与点重合时，取得最小值，，设此时点关于直线的对称点为，根据题意，，、、三点共线，根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为， 利用面积解答即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设， ， ，， 根据图象，当时，， ， 解得：， ，，， 正方形， 点与点关于直线对称， 连接，交于点， 当点与点重合时，取得最小值， ， 设此时点关于直线的对称点为， 根据题意，，、、三点共线， 根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为， ， ， 解得：， 故图②中函数图象的最低点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称原理，勾股定理，函数图象信息的处理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，读懂函数图象是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图1，在正方形中，为边的中点．动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为y，y与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点的位置时，的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．结合两个图先求出，此时，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，当动点P从点B出发运动到点C处时，运动路程为， 则正方形的边长为6， ， 当点P运动到中点时，M为边的中点， ， 此时， 故选：B． 2．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图像、菱形的性质、勾股定理等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键．首先根据函数图像可知，当时，，当点运动到点时，，再由菱形的性质可得，然后由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， 当点运动到点时，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故答案为：． 3．如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．先证明四边形是菱形，根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ， 为等边三角形， 设，由图可知，当两点重合时，的面积为， ∴的面积， 解得：(负值已舍)， 故答案为：． 类型三、特殊平行四边形的平移 【解惑】如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平移的性质，由平移的性质得出，， 即可得出四边形是平行四边形，再加上即可判定平行四边形是菱形． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是菱形， 其他选项均无法得出平行四边形是菱形. 故选：C 2．如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位得到直线，点是射线上的一动点，点的坐标是，以为边向右作正方形，连接，，其中，点的坐标为 （用，的式子表示）． 【答案】或 【分析】由设，则，，连接，，可证，得；分两种情况讨论：（i）若点在第一象限，求证，得，，则，进而得，则，（ii）若点在第四象限，可证，得，，，则，进而求得 【详解】解：由，设，则，过作轴的平行线交于，交轴于，过作交的延长线于， ∵直线向上平移个单位得到直线，， ∴， ∵，，    ∴， ∴，， 连接，， ∵点的坐标是， ∴， 而， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， （i）若点在第一象限，    ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 则 又，则， 则 （ii）若点在第四象限， ∵ ∴ 又， ∴，    ∴，，， ∴ 又，则， ∴． 综上， 点的坐标为 或． 故答案为：或 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，分式的运算，勾股定理的应用，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离d就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，B，C是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则______． 【知识应用】 （2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点D的坐标分别是，以点O为圆心，长为半径画圆交x轴正半轴于点E，平面内存在一点F，使得以点D，O，E，F为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点F的坐标：______． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）或或 【分析】（1）利用平移的距离的应用求得的长度即可； （2）在 的方向上以点C为顶点作出等腰直角三角形即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①四边形为平行四边形，过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形，利用点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，平行四边形和矩形的性质求得线段，即可得出结论；②四边形为平行四边形，过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，利用点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质求得线段，即可得出结论；③四边形为平行四边形，利用点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，平行四边形和矩形的性质求得线段，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵B，C是线段的三等分点，， ∴， ∵将线段沿方向平移一定距离后得到线段， ∴点A与点C，点B与点D为对应点， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）1．延长至点D，使， 2．过点D作， 3．在上截取， 4．连接，则为沿方向平移距离为2的一个图形．如图， （3）分以下三种情况讨论： ①如图，四边形为平行四边形， 过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，四边形为平行四边形， 过点D作轴于点G，过点F作轴于点H， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ③如图，四边形为平行四边形， 过点D作轴于点G，过点F作轴于点H，则四边形为矩形， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 综上，点F的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标的特征，直角三角形的性质，圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，正确利用线段的长度表示出相应点的坐标是解题的关键． 类型四、特殊平行四边形的折叠 【解惑】如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、全等三角形的判定与性质．先根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，由折叠得四边形是菱形，证明，从而可知阴影部分面积等于菱形面积一半，即可求解． 【详解】解：由折叠得，垂直平分，设相交于点O，，， ∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴阴影部分面积等于的面积，即菱形面积一半， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∴阴影部分面积， 故选：A． 2．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．现有如下3个结论：①；②；③五边形的周长是44，其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题考查正方形的性质和折叠的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质和折叠的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据正方形的性质和折叠的性质可得，，根据“”判定，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到，，从而且得出，可判断①；，可判断②；再由，，由此可得五边形的周长，可判断③． 【详解】解：由折叠可知，，，， ， 在和 中， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 由折叠可得，， ， 故②正确； 正方形边长是12， ， 设， 则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ，，， 五边形的周长是， 故③正确． 故答案为：①②③． 3．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕，再把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、． 根据以上操作，得______． 【探究证明】 如图⑤，连接，过点作的垂线，分别交于点、，当时，试判断的形状并证明； 【深入研究】如图⑥，当正方形边长为4时，点在上移动的过程中，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，证明你的结论并求出的长，若不存在，说明理由． 【答案】[操作判断]；[探究证明]是等腰直角三角形，证明见解析；[深入研究] 存在，的长为． 【分析】[操作判断]根据折叠和正方形的性质求解即可； [探究证明]由折叠的性质可知，，根据正方形的性质，得到，进而推出，得到，从而得出，即可得出结论； [深入研究] 设，则，由折叠的性质可知，，，利用菱形的性质，推出是等腰直角三角形，得出，，从而得出，根据的长列方程求解即可． 【详解】解：[操作判断]如图，由折叠的性质可知，，， 正方形纸片， ， ， ， 故答案为：； [探究证明] 是等腰直角三角形，证明如下： 由折叠的性质可知，， 正方形纸片， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； [深入研究] 正方形边长为4 ，，， 设，则， 由折叠的性质可知，，， 四边形是菱形， ，即， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 解得：（负值舍去）， 的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握正方形和折叠的性质是解题关键． 类型五、特殊平行四边形的旋转 【解惑】如图，在正方形中，点在边上，绕点按顺时针方向旋转得到，点在边上，且，若要求出图中的面积，只需知道（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点Q，由正方形的性质得，则，由旋转得，因为，所以，可证明，则，即可得到问题的答案． 【详解】解：延长交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D、点B到直线的距离相等， ∴， ∴若要求出的面积，只需知道， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，顶点均在坐标轴上，且，以为边构造等边三角形．将和菱形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点的对应点记为，第二次旋转结束时记为，……，依次类推，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转性质，勾股定理，规律型：点的坐标．根据旋转知，每4次旋转一个循环，而，即点的坐标与点的坐标相同；利用菱形的性质及等边三角形的性质可求得点的坐标，利用全等三角形的判定与性质可求得的坐标从而求得结果． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点， ∵在菱形中， ， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∴； 由旋转知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵点在第一象限，且是顺时针旋转， ∴点在第四象限， ∴， 由题意，当旋转到时，则与关于原点对称， 旋转到时，与关于原点对称，旋转到， ∴点的位置，每4次旋转一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同为 故选：B． 2．共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当点E在上方时，过点A作于T， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在下方时，过点A作于T， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为7或17； 故答案为：7或17． 3．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法，体验数学的无穷魅力． 已知矩形，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． (1)操作发现： 如图1，当时，______，如图2，当时，______； (2)初步探究： 如图3，当边经过点时，求的长； (3)拓展延伸： 如图4，若，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积和的长．（结果用含的式子表示） 【答案】(1)， (2) (3)四边形的面积为；的长为 【分析】（1）根据矩形，旋转的性质，当时，是等边三角形，当时，点共线，运用勾股定理即可求解； （2）根据旋转得到，，由勾股定理得到，则，在中由勾股定理即可求解； （3）根据题意可证，，结合面积的计算得到四边形的面积为；由勾股定理得到，由等面积法得到，根据，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 将矩形绕点按逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴点共线， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵旋转， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，； （3）解：如图所示，连接， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∵点落在的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 如图所示，连接交于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，四边形的面积为；的长为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握矩形，旋转的性质，数形结合分析是关键． 类型六、特殊平行四边形动点求t 【解惑】如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动．设移动时间为t秒，当四边形为菱形时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理．根据矩形的性质可得，，从而得到，然后根据菱形的性质，可得，再在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即当四边形为菱形时，t的值为4． 故选：A 2．如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质。全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分情况求解t的值是解题的关键．若点P在上，则，证明，可得，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案． 【详解】解：若点P在上， 当是等腰三角形时，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或． 故答案为：或或． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)_____；_____（用含的代数式表示）； (2)当四边形为菱形时，求的值； (3)是否存在四边形为正方形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当四边形为菱形时，求的值为； (3)不存在四边形为正方形，理由见解析． 【分析】（1）由运动过程可得线段长度，根据线段之间的关系，即可求解； （2）由运动过程可知四边形为平行四边形，当四边形为菱形时，只需邻边相等，解方程即可得的值； （3）假设存在，根据正方形的性质结合运动过程可得的度数，与已知对比，判断假设是否成立即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵于点， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴ 答：当四边形为菱形时，求的值为． （3）解：不存在四边形为正方形， 理由： 假设四边形为正方形，则，， ∴， ∵， ∴， ∴与已知条件“”矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在四边形为正方形， 答：不存在四边形为正方形． 【点睛】本题考查含角的直角三角形，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形，解题的关键是正确理解点运动过程中图形的变化． 类型七、特殊平行四边形的新定义——几何 【解惑】综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了以下的数学活动． (1)如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形 “垂美四边形”填“是”或“不是” (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与相交于点判断四边形是否是“垂美四边形”，并请说明理由． (3)在（2）的条件下，正方形的边长为，正方形的边长为，求的长． 【答案】(1)是 (2)四边形是“垂美四边形”，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，通过勾股定理得出“垂美四边形”四边的关系是本题解题的关键． （1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可得出结论； （2）根据四边形和四边形为正方形，推出和全等，再根据三角形内角和定理得出为直角即可判断； （3）根据勾股定理求出，，，在四边形中，对四个直角三角形列出勾股定理等式，通过变形即可得到的长． 【详解】（1），， 为的垂直平分线， ， 四边形是“垂美四边形”； 故答案为：是； （2）四边形是“垂美四边形”，理由如下： 以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是“垂美四边形”； （3），， ，，， 由勾股定理可得：，，，， ， 【融会贯通】 1．综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形． (1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____． (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积． 【答案】(1)3；6； (2)13； (3)周长为．面积是． 【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ，点是中点， ， 如图，过点作于，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；6； （2）解：由折叠可知：，，，， ，矩形的面积为：， ， 矩形的周长； （3）解：由折叠可知：点、分别是、的中点， ，， 如图，连接， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ∵，， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及新定义几何图形问题、菱形性质、正方形性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．理解题中“对垂”四边形定义，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 3．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形． (1)下列四边形一定是至善四边形的有______． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数． (3)迁移应用：如图3，正方形中，D为中点，在右边作等边，F为中点，连接AE交于点C，交于点G，指出图中至善四边形，直接写出的度数． 【答案】(1)④ (2)的长为3，的度数为 (3)四边形是至善四边形， 【分析】（1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可； （2）如图，延长至点，使，根据至善四边形的定义推出，证明，得，，证明为等边三角形，即可得出答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，得，，推出是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不是至善四边形； ②矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不是至善四边形； ③菱形对角相等邻角互补，四边相等，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，故菱形不是至善四边形； ④正方形四个内角是直角，四边相等，它的对角互补且有一组邻边相等，故正方形是至善四边形； 故答案为：④； （2）如图，延长至点，使， ∴， ∵四边形为至善四边形，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的长为，的度数为； （3）延长至点，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，即，， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了新定义，特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．正确理解新定义、通过作辅助线构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 类型八、特殊平行四边形的新定义——函数 【解惑】在平面直角坐标系中，对于直线和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． (1)如图1，矩形的其中三个顶点的坐标为． ①若，在一次函数，，中， 是矩形的“独立关联直线”； ②若点A，B不与原点重合，一次函数的图象是矩形的“独立关联直线”，求k的值（用含t的式子表示）； (2)平面直角坐标系中，点，，，，顺次连接的图形称为图形M，若直线是图形M的“独立关联直线”，请求出a的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或时，直线是图形M的“独立关联直线” 【分析】（1）①根据新定义，将点代入函数，判断与矩形交点个数即可求解；②根据题意得出，确定经过定点，结合图形，求解即可； （2）画出草图，结合图形，找出一次函数经过图形的临界点即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， 当时，， ∴一次函数经过第一、三、四象限，且过点A， ∴一次函数不是矩形的“独立关联直线”； 当时，， ∴一次函数经过第一、二、四象限，且过点A，与矩形只有一个交点， ∴一次函数是矩形的“独立关联直线”； 当时，， ∴一次函数经过第一、二、三象限，与矩形没有交点， ∴一次函数不是矩形的“独立关联直线”； 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴经过定点， 如图，当经过点 时，   ， ； 当经过点 时，   ， ； 综上可得：或 （2）如图所示： ∵点，，，，直线是图形M的“独立关联直线”， ∴当直线经过点F时， 将点F坐标代入，得， 故； 当直线经过点E时， 将点E坐标代入，得， 故； 当直线经过点H时， 将点H坐标代入，得， 故， ∴当或时，直线是图形M的“独立关联直线”． 【点睛】此题考查了一次函数与几何图形，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数与几何图形的关系是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线． 如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． (1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号） 等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形． (2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗?如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由． (3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)正确，证明见解析； (3)，． 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“对等四边形”概念即可求解； （）过作于，过作于，由四边形是对等四边形，则，从而可得，然后证明即可； （）求出直线解析式为，然后分若为对等对角线，则，若为对等对角线，则，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：根据定义可知，一定是对等四边形的是平行四边形，矩形，菱形， 故选：； （2）解：正确，理由， 过作于，过作于， ∴， ∵四边形是对等四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， ∴，解得 ∴直线解析式为， 若为对等对角线，则， 设 ∴ 解得：， 此时； 若为对等对角线，则， 设， ∴， 解得：， 此时， 综上：，． 2．对于平面直角坐标系中的点和图形W，给出如下定义：若图形W中的任意一点满足且，则称点P为图形W的一个覆盖特征点．已知，，则点为线段的一个覆盖特征点． (1)已知点 ． ①在，，中，是三角形的覆盖特征点的为__________； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形的覆盖特征点组成的图形． (2)点N 是坐标轴上的动点．若点是三角形的覆盖特征点，且的最小值为6，则点N的坐标为________． (3)以点为对角线交点，为边长作正方形，并且正方形的两条对角线分别与坐标轴平行，若经过点，的直线上存在正方形的覆盖特征点，直接写出m和b满足的关系是________． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查新定义，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最小值与纵坐标的最小值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键． （1）①根据覆盖特征点的定义得到，，然后逐一判断解答即可 ②根据，画出阴影区域即可； （2）分为点N在y轴上和点N在x轴上两种情况，根据覆盖特征点的定义解答即可； （3）先得到正方形的四个顶点坐标，然后根据覆盖特征点的定义得到，，再求出过，直线解析式为，即，然后代入计算解答即可． 【详解】（1）解：①根据覆盖特征点的定义可得：，， ∴符合的点的坐标可以为，， 故答案为：，； ②根据，，则覆盖特征点的图形如图中阴影部分； （2）解：当点N在y轴上时，设点N的坐标为， 则，，， 根据最小是，最小为， 解得， ∴点N的坐标为； 当点N在x轴上时，设点N的坐标为， 则，，， 根据最小是，最小为 解得， ∴点N的坐标为； 故答案为：或； （3）解：∵正方形的对角线交点坐标，为边长作正方形， 即顶点坐标分别是点向左、右，上、下移动个单位长度， 即顶点坐标为，，，， ∴覆盖特征点需满足，， 设经过点，的直线解析式为， 则， 解得， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． (1)如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； (2)若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； (3)如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或或 (3)或或 【分析】（1）①和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，从图象中即可判断出答案；②取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，可证，那么，，此时点与点重合，点落在线段上，然后利用勾股定理可求得的长度，得到点坐标； （2）当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于，那么或．同理讨论出那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于，那么．当“美好点”在线段时，；当“美好点”在线段时，那么或，从而得出答案． （3）由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和；同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，， ，，， 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合，从而求得答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，和所在的线段为，的中点为点，此时与重合，连接，，将，沿着射线方向平移2个单位得到，，然后将，绕点顺时针和逆时针旋转分别得到、、、，连接、，如图所示： 从上图可知，线段上的点都在该正方形的内部，那么在是正方形的“美好点”； 故答案为：； ②已知正方形的顶点坐标分别为，，，． ， 取的中点为，那么，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作于点，如图所示： 在线段上，不妨设， 点纵坐标为2， 不妨设，那么， ， ， ，，， ， ， 点在第一象限， 点在第一象限， ，， ， ，， 点与点重合，点落在线段上，如图所示： 将沿着射线的方向平移2个单位，得到， ， ， ，， ， ， ， （舍去负值）， ； 故答案为：； （2）解：直线上存在正方形的“美好点”， 点为直线与正方形的交点， 当“美好点”在线段时，由（1）②可知，当点坐标为时，点点落在线段上，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往右移动，那么将代入，得到， ， ， 如图所示： 同理可求得当落在线段上，可求得，将代入，得到，可求得，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往左移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 根据正方形的对称性，可知，当“美好点”在线段时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的横坐标要大于等于小于等于． 当“美好点”在线段或者时，可知点在，连接，将沿着射线的方向平移2个单位，得到，将绕点顺时针和逆时针旋转分别得到和，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 当落在线段上，点在第二象限，由（1）②可知，，， ， ， ， ， 不妨设，那么，， ， ， （舍去负值）， ， 为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往上移动； 同理可求得当落在线段上，，为保证一定在正方形的内部或边上，那么点不能再继续往下移动，如图所示： 那么当“美好点”在线段或时，为保证一定在正方形的内部或边上，点的纵坐标要大于等于小于等于． 综上，可知正方形的美好点需要在、、、上移动，其中，，和，，，和，如图所示： 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 综上，当正方形的美好点在、上移动时，或； 当正方形的美好点在、上移动时， 当直线过时，将代入，得到，解得，那么， 将代入，得到，可知也过直线； 当直线过时，将代入，得到，解得，那么，将代入，得到，可知也过直线； 那么当正方形的美好点在、上移动时，； 或或； （3）解：与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上，如图所示： 由题意可知，， 已知正方形的顶点坐标分别为，，，， ， ，，，， 由（2）可知，正方形的美好点需要在、、、上移动， 其中，，和，，，和； 同理可求得正方形的美好点需要在、、、上移动，其中 ，，，，， ，，，即如图所示： 设直线为，代入和， 有， 解得， 那么直线为； 同理可求得直线为：； 直线为：； 直线为：， 直线为：， 直线为： 因为直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，那么直线可以在直线和之间移动，也可以在和之间移动，也可以与直线、直线重合， 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 当与直线重合时，那么有； 那么当直线在直线和之间移动，； 直线在和之间移动，； 综上，或或． 【点睛】本题考查了“美好点”，旋转的性质，一次函数与几何综合，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能读懂“美好点”的含义是解题的关键． 类型九、半角模型 【解惑】（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．      【答案】（1）证明见解析（2），理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）由正方形性质可得，可证得，，即可证得结论； （2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【融会贯通】 1．综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）沿着小李的思路，先证，再证，即可得出结论； （2）设，则，然后计算周长即可； （3）在上截取，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）， 理由如下： 沿着小李的思路进行证明， 在正方形中，有，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）设，则， ∴ 的周长为：， 故答案为：8； （3），理由如下： 如下图中，在上截取，使，连接，    ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴． 2．【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（） 【分析】（）延长至点，使，连接，可证明，得， ，再证明，进而证明，得，由 可得，即可求证； （）延长到点，使，连 接，同理（）证明即可； （）延长到点，使，连接， 同理（）可证，得到，即得，即得到，即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （）仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）中的结论仍然成立； （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 的周长为， 故答案为：． 3．在菱形中，，点E，F分别为边上一点． (1)如图，当，时，直接写出线段和之间的等量关系； (2)当时． ①如图，若，且，求的长； ②如图，若E为边中点，G为边上一点，交于点O且，，，求的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）延长至点G，使得，利用正方形的性质和三角形全等的判定，依次证明，，可得，再进行等量代换即可； （2）①连接，过点D作于G，由菱形的性质和推出，均为等边三角形，再证明，推出，利用勾股定理求的值，再证明为等边三角形，可得； ②过点D作交于M，过点E作交延长线于N，同①的证法可得，推出，利用勾股定理求得，证明四边形为平行四边形，可得，然后在中利用勾股定理求出，可得的值． 【详解】（1）如图1，延长至点G，使得， 四边形为菱形，且， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 又， ． （2）①如图2，连接，过点D作于G， 四边形是菱形，， ， ，均为等边三角形， ，， 又， ， 又 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ，， 由勾股定理得，，， ， 即，解得， ， 为等边三角形， ． ②如图3，过点D作交于M，过点E作交延长线于N， ， ， 同①的证法可得， ， 四边形是菱形， ，， 又E为边中点， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ，， ，， ， ． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中以为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形； (2)在图②中以为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形； (3)在图③中以为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作等腰梯形即可； （2）作平行四边形即可； （3）作菱形即可； 【详解】（1）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求； 证明：由图可知，， ∴四边形是等腰梯形， ∵等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形， ∴四边形即为所求； （2）解：如图，线段向右移动两个格点得到线段，连接四边形，四边形即为所求； 证明：由图可知， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， ∴四边形即为所求； （3）解：如图，取格点C、D，连接四边形，四边形即为所求； 证明：由图可知， ∴四边形是菱形， ∵菱形是轴对称图形和中心对称图形， ∴四边形即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，等腰梯形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【融会贯通】 1．在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图中，画等腰直角三角形，使其面积为； (2)在图中，画矩形，使其面积为； (3)在图中，画平行四边形，使其面积为（不包括正方形）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了网格与勾股定理，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）先算出，结合面积为条件得，且，即可作答； （）结合网格特征，得， ，， 则矩形的面积为； （）根据网格特征，得四边形是平行四边形，运用面积法得出平行四边形的面积为，即可作答． 【详解】（1）解：如图，等腰直角三角形，如图所示， 理由：由网格可知，，， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形即为所求； （2）解：如图，矩形即为所求， 理由：结合网格特征，得，，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴矩形即为所求； （3）解：如图，平行四边形即为所求， 理由：根据网格特征，得四边形是平行四边形， ∴四边形面积为， ∴四边形即为所求． 2．在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________． (2)如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，若连接，则由勾股定理逆定理可证明，则正方形即为所求；可得，故菱形即为所求； （2）取格点，连接并延长交即为点，可得，则，可得，再根据全等三角形对应角相等以及互余关系可证明； 取格点，连接并延长与交点即为点，可得平行四边形，则，得到，由为中点得到，而，则，故是的垂直平分线，则． 【详解】（1）解：如图，正方形，菱形即为所求； ∵， ， ． （2）解：如图，点，即为所求： 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及正方形和菱形的判定，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于找准格点． 3．如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）连接正方形和矩形的对角线交于，作直线交于点，点即为所求； （2）延长交于点，则四边形是矩形，连接正方形和矩形的对角线，交于，作直线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图点为所作中点 （2）解：如图点为所作中点 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、正方形的重叠部分面积 【解惑】将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（   ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使A的对应点，满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ． 3．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点．若把这样的5个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为 ． 类型二、特殊平行四边形与函数图像结合 【解惑】如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图1，在正方形中，为边的中点．动点从点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为y，y与的函数图象如图2所示，则当点运动到中点的位置时，的长为（   ） A． B． C． D．6 2．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，菱形的边长为 ． 3．如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为 ． 类型三、特殊平行四边形的平移 【解惑】如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形．这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位得到直线，点是射线上的一动点，点的坐标是，以为边向右作正方形，连接，，其中，点的坐标为 （用，的式子表示）． 3．阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离d就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，B，C是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则______． 【知识应用】 （2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点D的坐标分别是，以点O为圆心，长为半径画圆交x轴正半轴于点E，平面内存在一点F，使得以点D，O，E，F为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点F的坐标：______． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 类型四、特殊平行四边形的折叠 【解惑】如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，将菱形折叠，使得点B的对应点P落在对角线B上，折痕分别与，交于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．现有如下3个结论：①；②；③五边形的周长是44，其中正确的是 3．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕，再把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、． 根据以上操作，得______． 【探究证明】 如图⑤，连接，过点作的垂线，分别交于点、，当时，试判断的形状并证明； 【深入研究】如图⑥，当正方形边长为4时，点在上移动的过程中，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，证明你的结论并求出的长，若不存在，说明理由． 类型五、特殊平行四边形的旋转 【解惑】如图，在正方形中，点在边上，绕点按顺时针方向旋转得到，点在边上，且，若要求出图中的面积，只需知道（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，顶点均在坐标轴上，且，以为边构造等边三角形．将和菱形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，第一次旋转结束时点的对应点记为，第二次旋转结束时记为，……，依次类推，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时 ． 3．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法，体验数学的无穷魅力． 已知矩形，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． (1)操作发现： 如图1，当时，______，如图2，当时，______； (2)初步探究： 如图3，当边经过点时，求的长； (3)拓展延伸： 如图4，若，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积和的长．（结果用含的式子表示） 类型六、特殊平行四边形动点求t 【解惑】如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，都以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动．设移动时间为t秒，当四边形为菱形时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 2．如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为 ． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)_____；_____（用含的代数式表示）； (2)当四边形为菱形时，求的值； (3)是否存在四边形为正方形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 类型七、特殊平行四边形的新定义——几何 【解惑】综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了以下的数学活动． (1)如图1构造一个四边形，使得，，那么四边形 “垂美四边形”填“是”或“不是” (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与相交于点判断四边形是否是“垂美四边形”，并请说明理由． (3)在（2）的条件下，正方形的边长为，正方形的边长为，求的长． 【融会贯通】 1．综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形． (1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____． (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积． 2．定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 3．我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形． (1)下列四边形一定是至善四边形的有______． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数． (3)迁移应用：如图3，正方形中，D为中点，在右边作等边，F为中点，连接AE交于点C，交于点G，指出图中至善四边形，直接写出的度数． 类型八、特殊平行四边形的新定义——函数 【解惑】在平面直角坐标系中，对于直线和图形W给出如下定义：若直线l与图形W有且只有一个交点，则称直线l是图形W的“独立关联直线”． (1)如图1，矩形的其中三个顶点的坐标为． ①若，在一次函数，，中， 是矩形的“独立关联直线”； ②若点A，B不与原点重合，一次函数的图象是矩形的“独立关联直线”，求k的值（用含t的式子表示）； (2)平面直角坐标系中，点，，，，顺次连接的图形称为图形M，若直线是图形M的“独立关联直线”，请求出a的取值范围． 【融会贯通】 1．定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线． 如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． (1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号） 等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形． (2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗?如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由． (3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标． 2．对于平面直角坐标系中的点和图形W，给出如下定义：若图形W中的任意一点满足且，则称点P为图形W的一个覆盖特征点．已知，，则点为线段的一个覆盖特征点． (1)已知点 ． ①在，，中，是三角形的覆盖特征点的为__________； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形的覆盖特征点组成的图形． (2)点N 是坐标轴上的动点．若点是三角形的覆盖特征点，且的最小值为6，则点N的坐标为________． (3)以点为对角线交点，为边长作正方形，并且正方形的两条对角线分别与坐标轴平行，若经过点，的直线上存在正方形的覆盖特征点，直接写出m和b满足的关系是________． 3．在平面直角坐标系中，对于对角线交点为原点的正方形和它的边上任意一点，给出如下定义：记点所在边的中点为，线段OM的长度为．将线段沿射线的方向平移个单位长度得到线段，以点为顶角顶点，分别作顶角都为的等腰三角形和等腰三角形，连接．若线段上的点都在该正方形的内部或边上，则称点为该正方形的“美好点”． 已知正方形的顶点坐标分别为，，，． (1)如图1，点在边上， ①在点，中，点 是正方形的“美好点”； ②若点E，F的横坐标满足，当时，点的坐标为 ； (2)若直线上存在正方形的“美好点”，则的取值范围是 ； (3)如图2，与正方形大小相同的正方形的顶点在坐标轴上．若直线上既存在正方形的“美好点”又存在正方形的“美好点”，请直接写出的取值范围． 类型九、半角模型 【解惑】（1）如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，且，延长到点G，使，连接．求证：． （2）如图②，当点E，F分别在线段和的延长线上，连接，，，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．      【融会贯通】 1．综合与实践： 【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程； 【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ； 【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明． 2．【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 3．在菱形中，，点E，F分别为边上一点． (1)如图，当，时，直接写出线段和之间的等量关系； (2)当时． ①如图，若，且，求的长； ②如图，若E为边中点，G为边上一点，交于点O且，，，求的值． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中以为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形； (2)在图②中以为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形； (3)在图③中以为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形； 【融会贯通】 1．在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图中，画等腰直角三角形，使其面积为； (2)在图中，画矩形，使其面积为； (3)在图中，画平行四边形，使其面积为（不包括正方形）． 2．在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中先画出一个以为边的正方形，再画出一个以为边的菱形（菱形不是正方形），并直接写出__________． (2)如图2，点M在格点上，先过点A作交于点G，再在上画点H，使． 3．如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$