第一章 特殊平行四边形（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

第一章 特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、添加条件证菱形、矩形、正方形 【解惑】如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，故C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， 故不能判定平行四边形为菱形，故D符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定． 根据证明平行四边形是矩形的条件作答即可． 【详解】A：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； B：是平行四边形固有性质，不能判定为矩形； C：不是矩形固有性质，不能判定为矩形； D：，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形； 故选：D． 2．如图，平行四边形中，，请你添加一个条件： ，使得该四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定． 根据题意得到平行四边形是菱形，根据正方形的判定方法进行解答即可． 【详解】∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形． 当时， 菱形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是矩形，再由正方形的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴需添加的一个条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 类型二、菱形的性质求解 【解惑】如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形边的长为（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，则，进而根据勾股定理，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在边长为2的菱形中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在菱形中，点，分别在，上，，连接，，．若菱形面积为，，四边形的面积是面积的3.5倍，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，于点，过点作，交延长线于点，连接，根据菱形性质求出，根据和等底等高得，进而得，再根据面积公式得，由此得，，在中，由勾股定理求出得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作于点，于点，过点作，交的延长线于点，连接，如图所示： 四边形是菱形，， ，， 菱形面积为， ， ， ， 同理：， ， 和等底等高， ， 四边形的面积是面积的3.5倍， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 根据平行线间的距离处处相等得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，理解菱形的性质，三角形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 3．方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形面积公式． 根据菱形的性质和勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， 为的中点， ， 菱形的面积， 故答案为：． 类型三、矩形的性质求解 【解惑】如图，点E在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用，先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在长方形纸片中，，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，先根据矩形的性质和折叠可得，，，然后根据列方程求出长即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， 由折叠性得，，， ∵， ∴ 解得， 故答案为：． 3．如图，矩形中，与交于点O，，F是的中点，．则线段OF＝ ． 【答案】2.5 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，根据矩形的性质证明是的中位线，得，，然后证明，设，根据勾股定理得到，代入列方程求出x的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2.5． 类型四、正方形的性质求解 【解惑】如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确得出的长是解决此题的关键． 根据正方形的性质以及中点的性质可证明，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（   ） A．36 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行运算是解决问题的关键．过点作于点，于点，先求出，，证明四边形是正方形得，，，再证明，得到，则，据此即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示： ∵正方形的边长为6， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， 解得（负值舍去）， ∴正方形的面积为：， ∴． 故选：C． 2．如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的外角性质，根据正方形的性质求出，然后利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型五、一次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，然后根据中点坐标公式即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴对角线交点的坐标为． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第 次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，图形的旋转和菱形的性质，根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是菱形，根据点可解决问题，通过旋转角度找到旋转规律是解题的关键． 【详解】∵， ∴每旋转八次，点的坐标重复出现， ∴， ∴秒旋转结束时点的位置，与第秒旋转结束时点的位置相同， ∵四边形是菱形，关于对称， 又， ∴第秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称即点， ∴此时点的坐标为， 即第秒旋转结束时，点的坐标为， 故选：A． 2．如图，菱形中，对角线在轴的正半轴上，且，直线过点，则 ． 【答案】 【分析】设，对角线的交点为M，根据题意，点B与点C关于y轴对称，得到，根据，结合解析式，菱形的性质解答即可． 本题考查了菱形的性质，对称，解析式的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：设，对角线的交点为M， 由菱形， 故，轴， 根据题意，得点B与点C关于y轴对称，得到， 根据，得， 故， 故， 根据菱形的性质，得, 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点 (1)求直线的解析式和线段，的长． (2)在线段上有一动点不与点，重合，过点作轴于点，于点，以，为邻边作 ①求的周长． ②当为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；， (2)①；② 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①连接，利用等积法求出； ②由①可得，则是的中位线，求出，设，再由，求出的值即可求点坐标． 【详解】（1）解：将点代入， ， ， 直线的解析式为； 直线与轴的交点为， ∴ ， 直线与轴的交点为， ； （2）①连接， ， ， ， 的周长； ②四边形是菱形， ， ， ， 将代入得 ， ， 设， ， 解得， ， 类型六、一次函数中的矩形 【解惑】如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由等腰直角三角形的性质得出，，由等腰直角三角形求出点的坐标，根据折叠的性质得出的坐标，代入直线求出即可． 【详解】解：过点C作于D，如图， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴， ∴， 直线，当时，， ， ， ， ， ∵关于轴对称的， ∴， 把点代入直线得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，关于轴、轴对称的点的坐标特征，求得点的坐标是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质等知识．先求出矩形的对称中心为，根据过矩形对称中心的直线平分矩形的周长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上． ∴矩形的对称中心为， 设直线的解析式为，把和代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 故答案为： 3．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，直线经过点B． (1)如图1，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．试求直线的解析式； (2)如图2，点D是中点，点E在上，求取得最小值时E点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，设，则，证明，结合根据勾股定理得： ，再求解直线的解析式为：； （2）过点作与点关于点对称，连接，与交于点，则点为所求的点，可得，设直线的解析式为：，可得直线的解析式为：，可得点的坐标为：． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， 又直线经过点，将代入， 得：， ， ， 设，则， 又， ， 又折叠， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： 解得：， 点的坐标是， 设直线的解析式为：， 将：点的坐标代入解析式，得：， 直线的解析式为：． （2）解：点是中点， ， 过点作与点关于点对称，连接，与交于点，则点为所求的点 ， ∵， 设直线的解析式为：， 代入得：， 解得： 直线的解析式为：， 令，则 点的坐标为：． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，矩形的性质，轴对称的性质，熟练的利用一次函数的性质解题是关键． 类型七、一次函数中的正方形 【解惑】我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：由已知得， ∵的中点是坐标原点O， ∴， ∴， ，， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，熟练掌握点的坐标，正方形的性质是解决问题的关键. 连接交于点，根据正方形，，，，由此即可得出点的坐标. 【详解】解：连接交于点，如图所示:   四边形是正方形，   ，，，，   点，   ，   ，   ，，   点的坐标为．   故选: B． 2．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，…在直线上，点，，，…在轴正半轴上，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的特征、正方形的性质等知识，学会从特殊到一般的探究方法是解题的关键． 先求出的坐标，然后发现规律，运用规律即可解答． 【详解】解：由条件可知点坐标，坐标， ∵轴，即：坐标， ∵四边形是正方形， ∴坐标， ∵轴， ∴坐标， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，……， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，点D为的中点． (1)请求出点D的坐标； (2)在线段上取一点E，使得，连接、．求证：； (3)在（2）的条件下，直线交x轴于点F，点P为直线上的动点．设的值为W，试求出W的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)32 【分析】（1）根据正方形的性质可得点B的坐标为，再利用中点的含义可得答案； （2）连接，在正方形中，，求解，，，再利用勾股定理的逆定理可得结论； （3）作点A关于的对称点N，连接、分别交于点H、P，由对称性可知，，，当N、P、F三点共线时，W取最小值，求解点H的坐标为，点N的坐标为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：在正方形中，轴，轴， 又， 点B的坐标为， 点D为的中点， 点D的坐标为； （2）证明：连接，在正方形中，， ，， ， ， 点D为的中点， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 为直角三角形，且， 即． （3）解：作点A关于的对称点N，连接、分别交于点H、P， 由对称性可知，，， ，为的最小值， 即当N、P、F三点共线时，W取最小值， 由题意知，，，，， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时， 点F的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， ，， ∴ 设直线的解析式为 把代入得， 直线的解析式为 由 解得， 点H的坐标为， 又 ，， ，， 点N的坐标为， ， 的最小值为32． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，一次函数的几何应用，轴对称的性质，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 类型八、菱形的判定 【解惑】四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，，． (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形； (2)如图2，，于点H，交BD于点E，点G在AB上，连接EG交AC于点F．若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查菱形的证明和性质，等边三角形的性质，等边对等角． （1）根据得，结合对顶角，证明，由对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明平行四边形为菱形； （2）根据菱形的对称性作辅助线，得，根据，，计算角度，证明为等腰直角三角形，得，等量代换，得． 【详解】（1）证明：（1）∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）如图：连接， 由（1）可知四边形是菱形， ， ∵， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，E是对角线 的中点，连接并延长，交 于点F，且，连接． (1)求证：四边形 是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，结合，证出四边形是平行四边形，结合，即可证明； （2）根据，得出，．根据菱形的性质得出，，证出是等边三角形，即可得．在中，由勾股定理，求出，得出，再根据即可证明． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵， ∴， ∴． 又∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴中，由勾股定理，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 2．如图，在中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（）证明得到，即可得到四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由菱形的性质得，，，再证明，得到即可求解； 【详解】（1）证明：在中，点是的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（）得，四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 3．如图，已知平行四边形，分别交对角线于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平行四边形为菱形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识的判定方法和性质的运用是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，可证四边形是平行四边形，由此即可求解； （2）连接，与交于点，可得四边形是是菱形，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：连接，与交于点， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． 类型九、矩形的判定 【解惑】如图，在中，平分，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得证四边形 是矩形； （2）根据， 得到，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故矩形的周长为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，中位线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 2．矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． 【详解】（1）解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵ ∴． 3．如图，在中，四个角的平分线分别相交于点、、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是关键． （1）由平行四边形的性质和角平分线定义求出，则，同理，则，再由矩形的判定即可得出结论； （2）延长，交于，依据平行四边形的性质，即可得到，进而得出的长．再判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，分别平分与， ，， ， ， 同理：， ， 四边形是矩形． （2）解：如图所示，延长，交于， ∵，平分， ， ， 又， ． 平分，平分， ， 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，， 又平分，平分， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ． 类型十、正方形的判定 【解惑】如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形，理由见解析 【分析】（）证明得，进而得，得到四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）先证四边形是平行四边形，得到，可得，进而得到，即可得，得到，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（）知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是正方形． 【融会贯通】 1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证； （2）先求出，，在中，由勾股定理得到，在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又， ， ， 四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知， 在中，，，，则由勾股定理得， 在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、互余、直角三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟记特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 2．如图，在矩形中，作的平分线交于点E，过点E作交于点F，连接交于G． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，可知四边形为矩形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，可知，等角对等边可得，即可证明四边形是正方形； （2）根据等面积法求出，证明四边形是矩形，即可得到的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， 四边形为矩形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为正方形； （2）解：由题意得， ∵， ， 解得： ∵ 四边形是矩形， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，正方形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 【答案】（）证明见解析；（）；（）证明见解析 【分析】（）由旋转的性质可得，，，即得四边形是矩形，进而由即可求证； （）过点作于点，可证，得到，又由（）可知：，即可得，再根据三角形的面积公式计算即可； （）过点作于点，可得，又由（）可知：，四边形是正方形，即得，由等腰三角形的性质得，即得，得到，即可求证． 【详解】（）证明：∵是由逆时针旋转而得到， ∴，，， ∵是的延长线， ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （）如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴的面积； （）如图②，过点作于点， 由（）可知：， ∴， 由（）可知：，四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形思维导图 【类型覆盖】 类型一、添加条件证菱形、矩形、正方形 【解惑】如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【融会贯通】 1．已知的对角线，相交于点，若从下列选项中再添加一个条件，能使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形中，，请你添加一个条件： ，使得该四边形是正方形． 3．如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 类型二、菱形的性质求解 【解惑】如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形边的长为（   ） A． B．4 C．8 D． 【融会贯通】 1．如图，在边长为2的菱形中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，点，分别在，上，，连接，，．若菱形面积为，，四边形的面积是面积的3.5倍，则线段的长为 ． 3．方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 类型三、矩形的性质求解 【解惑】如图，点E在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，则长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形纸片中，，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 3．如图，矩形中，与交于点O，，F是的中点，．则线段OF＝ ． 类型四、正方形的性质求解 【解惑】如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 【融会贯通】 1．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（   ） A．36 B．32 C．16 D．8 2．如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为 ． 3．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． 类型五、一次函数中的菱形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第 次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形中，对角线在轴的正半轴上，且，直线过点，则 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点 (1)求直线的解析式和线段，的长． (2)在线段上有一动点不与点，重合，过点作轴于点，于点，以，为邻边作 ①求的周长． ②当为菱形时，直接写出点的坐标． 类型六、一次函数中的矩形 【解惑】如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ． 3．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，直线经过点B． (1)如图1，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．试求直线的解析式； (2)如图2，点D是中点，点E在上，求取得最小值时E点的坐标． 类型七、一次函数中的正方形 【解惑】我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，…在直线上，点，，，…在轴正半轴上，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，点D为的中点． (1)请求出点D的坐标； (2)在线段上取一点E，使得，连接、．求证：； (3)在（2）的条件下，直线交x轴于点F，点P为直线上的动点．设的值为W，试求出W的最小值． 类型八、菱形的判定 【解惑】四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，，，． (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形； (2)如图2，，于点H，交BD于点E，点G在AB上，连接EG交AC于点F．若，求证：． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，E是对角线 的中点，连接并延长，交 于点F，且，连接． (1)求证：四边形 是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 2．如图，在中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 3．如图，已知平行四边形，分别交对角线于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平行四边形为菱形． 类型九、矩形的判定 【解惑】如图，在中，平分，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 【融会贯通】 1．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2．矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 3．如图，在中，四个角的平分线分别相交于点、、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 类型十、正方形的判定 【解惑】如图，在中，点在对角线上，，，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 2．如图，在矩形中，作的平分线交于点E，过点E作交于点F，连接交于G． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 3．综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$