5—6 一元二次方程的根与系数的关系 应用一元二次方程 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

5—6 一元二次方程的根与系数的关系 应用一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系 一、一元二次方程根与系数的关系 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若它的两个实数根是x1和x2，则有： 1. 根的和：x1+x2= 2. 根的积：x1×x2= 这个关系被称为韦达定理。需要注意的是，定理成立的条件是判别式b2-4ac≥0。 2、 根与系数关系的应用 1. 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根。 2. 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个根及未知数系数。 3. 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值。 4. 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式。 北师大版九上数学《6 应用一元二次方程》知识点主要包括： 应用一元二次方程 1.增长率问题：如某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，则可根据题意列出方程50(1+x)+50(1+x)²=120。 2.数字问题：如三个连续的整数可以设为x-1，x，x+1，根据题意列出方程求解。 3.销售问题：如某商店销售某种商品，进价为每件20元，售价为每件30元，每天可销售100件。为了促销，该商店决定降价销售，若每件商品降价1元，则每天可多销售10件。设该商店每天盈利y元，每件商品降价x元，则可根据题意列出方程(30-x-20)(100+10x)=y，从而求解。 巩固课内例1:求方程的两根之和、两根之积 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 2．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ． 3．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 巩固课内例2:一元二次方程的应用——方向角问题 1．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 3．如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 巩固课内例3:一元二次方程的应用——销售问题 1．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 2．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 3．某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． (1)经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； (2)天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 类型一、已知方程的一个根，求另一个根 1．关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A．-7 B．6 C．7 D．-6 2．若是一元二次方程的根，则方程的另一个根为 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 类型二、一元二次方程的应用—《九章算术》问题 1．《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多尺，门的对角线长为丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？” 类型三、一元二次方程的应用——增长率问题 1．为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为，则（　　） A． B． C． D． 2．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 3．淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． (1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． (2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 类型四、一元二次方程的应用——数字问题 1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 2．若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 3．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 类型五、一元二次方程的应用——循环问题 1．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 2．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 3．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 类型一、等腰三角形的边长与根与系数关系 1．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 2．某工厂要制作一批等腰三角形的零件，已知零件的三边长分别为，，，且，是通过计算机程序计算出的关于的一元二次方程的两根． （1）若此等腰三角形的腰长为，则 ． （2）若此等腰三角形腰长不为，则这个三角形的周长为 ． 3．已知的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5． (1)k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 类型二、一元二次方程的应用——行程问题 1．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 3．阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 类型三、一元二次方程的应用——直角三角形 1．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为 ． 3．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形 (1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； (2)若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 类型四、一元二次方程的应用——年利率问题 1．某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入银行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为 ． 3．李先生存入银行4万元，先存一个一年定期，一年后将本息自动转存为一个一年定期，年利率不变，两年后共得本息4.1412万元． （1）一年定期存款的年利率为多少？（参考数值：） （2）若两年定期存款的年利率为2.25%，则李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少多少元？ 类型一、一元二次方程的应用——几何动点问题 1．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 3．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 类型二、一元二次方程的应用——图形问题 1．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 3．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 类型三、一元二次方程的应用——函数问题 1．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，平面直角坐标系中，以第一个矩形的边为边向上作正方形①，以为边向右作正方形②，得到第二个矩形，以此类推，得到第3个矩形、第4个矩形若这些矩形右上角的顶点、、，与原点在同一直线上，则这条直线的函数解析式为 ． 3．互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5—6 一元二次方程的根与系数的关系 应用一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系 一、一元二次方程根与系数的关系 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），若它的两个实数根是x1和x2，则有： 1. 根的和：x1+x2= 2. 根的积：x1×x2= 这个关系被称为韦达定理。需要注意的是，定理成立的条件是判别式b2-4ac≥0。 2、 根与系数关系的应用 1. 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根。 2. 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个根及未知数系数。 3. 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值。 4. 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式。 北师大版九上数学《6 应用一元二次方程》知识点主要包括： 应用一元二次方程 1.增长率问题：如某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，则可根据题意列出方程50(1+x)+50(1+x)²=120。 2.数字问题：如三个连续的整数可以设为x-1，x，x+1，根据题意列出方程求解。 3.销售问题：如某商店销售某种商品，进价为每件20元，售价为每件30元，每天可销售100件。为了促销，该商店决定降价销售，若每件商品降价1元，则每天可多销售10件。设该商店每天盈利y元，每件商品降价x元，则可根据题意列出方程(30-x-20)(100+10x)=y，从而求解。 巩固课内例1:求方程的两根之和、两根之积 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为α和β，则，直接代入题目方程的系数进行求解，作答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：A． 2．关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系．根据方程有两不同实数根，得，求得再根据得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不同实数根， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键． （1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可； （2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 则，； （2）解：， 整理得：， 则，． 巩固课内例2:一元二次方程的应用——方向角问题 1．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 2．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 3．如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程的应用，根据题意列关系式是解题的关键． 设相遇时补给船航行了x海里,则海里，由军舰的速度是补给船的倍,它们的时间相同,可得 海里，根据勾股定理可得方程,解方程即可求解． 【详解】解：设相遇时补给船航行了,即． 军舰的速度是补给船的2倍,他们的时间相同, ． , ． 在中，，根据勾股定理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 故相遇时补给船航行了． 巩固课内例3:一元二次方程的应用——销售问题 1．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每个电子产品降价x元，则销售量为件，每个的利润为元，根据每个的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 2．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元． 【答案】 【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程． 【详解】解：设定价为x元.根据题意可得， 解之得：， ∵销售量尽可能大 ∴， 故答案为： 3．某商家以每件75元的价格购进一批服装，每件定价120元进行售卖． (1)经统计，7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率； (2)天气渐渐变凉，为了在10月份扩大销量减少库存，商家决定对该批服装进行降价促销．经过调研，在9月份销售数量的基础上每降价5元，销售量增加15件，商家将服装的售价每件定为多少元，才能获得13350元的利润？ 【答案】(1)该服装销售量的月平均增长率为 (2)商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350元的利润 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该服装销售量的月平均增长率为x，根据7月份该服装销售量为256件，9月份服装销售量为400件，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设商家将每件服装降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为元，根据题意可知销量增加，由此表示出利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该服装销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：该服装销售量的月平均增长率为． （2）设商家将服装每件降价y元时，才能获得13350元的利润，则售价为元， 由题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：商家将服装的售价每件定为105元，才能获得13350元的利润． 类型一、已知方程的一个根，求另一个根 1．关于x一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A．-7 B．6 C．7 D．-6 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系. 利用根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设另一根为m，根据根与系数的关系可知：， 解得， 故选：A． 2．若是一元二次方程的根，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， 即方程的另一个根为． 故答案为： 3．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用公式法解一元二次方程． （1）将代入方程，利用公式法求一元二次方程的解； （2）根据根与系数的关系求出方程的另一个根以及的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ， 解得，； （2）解：设方程的另一个解为， 由根与系数的关系可知：， 解得， ，解得， ∴，方程的另一个根为． 类型二、一元二次方程的应用—《九章算术》问题 1．《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 2．《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为 尺． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合和均为正数可求得门的高和宽，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴门高为8尺，门宽为6尺， ∴门的对角线长为（尺）． 故答案为：10． 3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多尺，门的对角线长为丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？” 【答案】门的高和宽各是尺和尺． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设门的宽为尺，则门的高为尺，由题意和勾股定理列出方程即可，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】解：设门的宽为尺，则门的高为尺， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴门的高为尺， 答：门的高和宽各是尺和尺． 类型三、一元二次方程的应用——增长率问题 1．为促进消费，重庆市政府发放政府补贴“消费券”．某超市的月销售额逐步增加，据统计，4月份的销售额为300万元，接下来5月、6月的月增长率相同，6月份的销售额为600万元，若设5月、6月每月的增长率为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决． 【详解】由题知，， 故选：C． 2．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至元，且两次降价的百分率一致．则每次降价的百分率是 ． 【答案】10% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键 设每次降价的百分率x，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 根据题意可得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 故答案为：． 3．淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件． (1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率． (2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？(假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等) 【答案】(1) (2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和万件，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）求出7月投递快递总件数为：万件，比较后得出该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，再设增加m名投递业务员，根据7月的投递量不少于万件，列出一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为； （2）解：7月投递快递总件数为：（万件）， ， 该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务， 设增加m名投递业务员， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 的最小值为3， 答：至少需要增加3名投递业务员． 类型四、一元二次方程的应用——数字问题 1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是x，则十位上的数字是，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设个数上的数字是x，则十位上的数字是， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 个数上的数字是4，十位上的数字是， 这个两位数是84， 故选B． 2．若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； 设这个数为，列方程解方程即可求解； 【详解】解：设这个数为， 根据题意可得：， 解得：，， 故答案为：或 3．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【答案】36 【分析】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，设设个位数字为，则十位数字是，由题可得，整理并解得的值， 从而可得答案． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：，     整理得：， ， 解得：，（不是整数，舍去）． 答：这个两位数为． 类型五、一元二次方程的应用——循环问题 1．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可． 【详解】设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程： ， 整理得： 解得（舍去） 故选B． 2．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 3．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 类型一、等腰三角形的边长与根与系数关系 1．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．15或16 D．16或17 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分两种情况讨论，①当底是4时，②当腰为4时，结合根与系数的关系即可求解，分3为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 【详解】当3为底边长时，则， ∴， ∵4，4，3能围成三角形， ∴， 解得：； 当3为腰长时，a、b中有一个为3，假定， ∴ ∴ ∴另一个边长为5， ∵5，3，3能围成三角形， ∴， 解得：； ∴m的值为17或16， 故选：D． 2．某工厂要制作一批等腰三角形的零件，已知零件的三边长分别为，，，且，是通过计算机程序计算出的关于的一元二次方程的两根． （1）若此等腰三角形的腰长为，则 ． （2）若此等腰三角形腰长不为，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论； （1）等腰三角形的性质得出或，根据一元二次方程根与系数的关系得出或，，即可求解； （2）此等腰三角形腰长不为，则，进而根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， ； ∴； 当时，， 是关于的一元二次方程的两根， ， ； ∴； 故答案为：． （2）当时， 是关于的一元二次方程的两根， ， ， ； 故答案为：． 3．已知的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5． (1)k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）先利用一元二次方程根与系数的关系求出，再根据“△ABC是以BC为斜边的直角三角形”，得出关于的方程求解； （2）分和两种情况，分别求解，再求出的周长． 【详解】（1）解：∵的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 当是以为斜边的直角三角形时，， ∴，解得：或（舍去）， 当时，是以为斜边的直角三角形； （2）∵是等腰三角形， ∴当时， ， 解得不存在； 当时，， ∴，, 解得或4， ∴或4， ∴的周长为或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是等腰三角形没有指定腰是需要分情况讨论． 类型二、一元二次方程的应用——行程问题 1．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 3．阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【分析】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 类型三、一元二次方程的应用——直角三角形 1．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形．若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弦图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 故选：B． 2．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、勾股定理、算术平方根、解一元二次方程等知识点，灵活原因相关知识是解题的关键． 设图2阴影直角三角形中与小正方形不重合的直角边为x，与小正方形重合的直角边的为y，则大正方形的边长为，然后分别用x、y表示、，然后根据列等式化简求得x、y的关系，进而完成解答 【详解】解：设图2阴影直角三角形中与小正方形不重合的直角边为x，与小正方形重合的直角边的为y，则大正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为，空白部分的面积为， ∵， ∴，即，解得：或（舍弃）， ∴， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的边长与小正方形的边长的比值为． 故答案为：． 3．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形 (1)用含a的代数式表示图2中小正方形的边长； (2)若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求a值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的应用，解决问题的关键是依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列出一元二次方程进行计算． （1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差； （2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：图2中小正方形的边长为 （2）由题得：， 化简得：， ， ∴或． 类型四、一元二次方程的应用——年利率问题 1．某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入银行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据今年“五一”到期后取得本息和1107.45元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得， 即． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题为复利问题，一般形式为，如果设年利率为x，那么根据题意可得出方程． 【详解】解：设年利率为x， 则根据公式可得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率． 3．李先生存入银行4万元，先存一个一年定期，一年后将本息自动转存为一个一年定期，年利率不变，两年后共得本息4.1412万元． （1）一年定期存款的年利率为多少？（参考数值：） （2）若两年定期存款的年利率为2.25%，则李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少多少元？ 【答案】（1）1.75%；（2）所得利息少388元 【分析】（1）设一年定期存款的年利率为x，利用两年后的本息和=本金×（1+年利率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用利息=本金×年利率×存款年数，可求出按两年定期存款获得的利润，再将两种存款方式获得的利润做差后即可得出结论． 【详解】解：（1）设一年定期存款的年利率为x， 依题意得：4（1+x）2=4.1412， 解得：x1=0.0175=1.75%，x2=-2.0175（不合题意，舍去）． 答：一年定期存款的年利率为1.75%． （2）40000×2.25%×2=1800（元）， 1800-（41412-40000）=388（元）． 答：李先生4万元存款已得到的利息比按两年定期存款所得利息少388元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型一、一元二次方程的应用——几何动点问题 1．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， ． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 解得：（不合题意舍去）， ∴点，的运动时间为． 故选：B． 2．如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程是解题的关键； 分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：，此时； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， 此时． 综上所述，或． 故答案为：或． 3．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何综合，涉及梯形面积公式、矩形性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程及解一元二次方程等知识，读懂题意，作出图形，数形结合由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 类型二、一元二次方程的应用——图形问题 1．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽度的道路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽度为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽度为x米，利用草坪的面积为540平方米可列方程． 【详解】解：设道路的宽度为x米， 根据题意得． 故选：A． 2．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 3．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：，不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 类型三、一元二次方程的应用——函数问题 1．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，矩形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，先求出点M运动的时间为秒，由图象可得点运动秒到达点，从而即可得出N点的运动速度，即可判断①；由图象可得当点在上运动时，的面积最大，即可判断②；根据题意列出一元二次方程以及一元一次方程，解方程即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动， ∴点M运动的时间为秒， 由图象可得点运动秒到达点， 故点的运动速度为，故①说法正确； 当点在上运动时，的面积最大，最大为，故②正确； 当点在上时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 当点在上时，的面积始终保持不变，为； 当点在上运动时，， 解得：， 综上所述，当时，t的值为或17，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 2．如图，平面直角坐标系中，以第一个矩形的边为边向上作正方形①，以为边向右作正方形②，得到第二个矩形，以此类推，得到第3个矩形、第4个矩形若这些矩形右上角的顶点、、，与原点在同一直线上，则这条直线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一元二次方程的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对，的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数，则需要两组，的值．设，，则，，代入函数解析式为化简计算，即可得到的值． 【详解】解：如图， 这些矩形右上角的顶点、、，与原点在同一直线上， 可设这条直线的函数解析式为， 设，，则，， ，， 代入可得： ， 把①代入②，可得：， 化简可得， 解得或（舍去）， 这条直线的函数解析式为． 故答案为：． 3．互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 【答案】(1) (2)10， (3) 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质、从函数图像中获取信息、一元二次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）根据函数图像可得每件的原价等于销售额1000元除以销售量100件；第二次降价后该商品每件的价格为销售额元除以销售量100件，由此即可得； （3）设该商品每次降价的百分率为，结合（2）的结果，建立一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为． （2）解：由线段表示的函数图像可知，该商品原价每件为（元）， 由线段表示的函数图像可知，第二次降价后该商品每件为（元）， 故答案为：10，． （3）解：设该商品每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以该商品每次降价的百分率为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$