1—3 菱形、矩形、正方形的性质与判定 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

1—3 菱形、矩形、正方形的性质与判定 菱形的性质与判定 一、菱形的性质 1.菱形具有平行四边形的一切性质。 2.菱形的四条边都相等。 3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4.菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴。 5.菱形的面积等于底乘高，也等于对角线乘积的一半。 二、菱形的判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.四条边都相等的四边形是菱形。 4.对角线垂直平分的四边形是菱形。（补充） 矩形的性质与判定 一、矩形的定义 矩形是一种平面图形，它的四个角都是直角。 二、矩形的性质 1.矩形的四个内角都是直角。 2.矩形的对角线相等且互相平分。 3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。 4.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。对称轴是任何一组对边中点的连线，对称中心是对角线的交点。矩形至少有两条对称轴。 5.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。 6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。 三、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形。 4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。（补充） 四、矩形的面积 矩形的面积计算公式为：面积=长×宽。 正方形的性质与判定 一、正方形的定义 正方形是有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形。 二、正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等。 2.正方形的对角线相等且相互垂直平分。 3.正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有4条。 三、正方形的判定 1.有一个角是直角的菱形是正方形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是矩形，如果进一步证明它的四边相等，则是正方形。 3.四边相等的四边形是菱形，如果进一步证明它的一个角是直角，则是正方形。 4.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。（补充） 巩固课内例1:菱形的性质求边长、对角线长 1．已知菱形的周长是，则最短对角线的长度为（　　） A．1 B． C．2 D． 2．如图，菱形中，分别是的中点，若，则的长是 ． 3．如图，在菱形中，，将菱形沿折叠，点B正好落在边上的点G处，且．若，求的长． 巩固课内例2:菱形的判定(对角线) 1．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 2．如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 3．如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列条件：；． (1)从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 巩固课内例3:菱形的面积 1．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 2．在菱形中，于点E．若，，则菱形的面积等于 ． 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点，为边的中点，． (1)求的度数； (2)如果，求菱形的面积． 巩固课内例4:矩形的性质求对角线长 1．如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 2．如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则 ． 3．如图，在矩形中，、交于点，点为边上一点，连接交于点，，，求的长． 巩固课内例5:矩形的性质求矩形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定 2．如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 3．如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形． (1)猜想四边形的形状是________，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 巩固课内例6:矩形的性质求矩形对角线上的高 1．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，那么点到矩形的两条对角线的距离和等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，则点P到的距离为 ． 3．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)若，，求的长； (2)求证：． 巩固课内例7:矩形的判定(角) 1．四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，在中，添加一个条件 ，可使是矩形． 3．如图，四边形是平行四边形，，垂足为E，延长至点F，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 巩固课内例8:正方形的性质求边角的关系 1．如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①④⑤ 2．如图，先将正方形纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的是 ． ①垂直平分；②为等边三角形；③平分；④． 3．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 巩固课内例9:正方形的判定(菱形) 1．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 2．如图，E，F，G，H分别是四边形的边的中点，四边形的两条对角线：满足条件 时，四边形是菱形；满足条件 时，四边形是矩形；满足条件 时，四边形是正方形． 3．如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 类型一、菱形的判定(含添加条件) 1．如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 2．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 3．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，．直线分别交，，于点，，；连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 类型二、矩形的判定(含添加条件) 1．在中，对角线和相交于点O，则下面条件能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是 （填序号） ①；②；③；④ 3．如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 类型三、正方形的判定(含添加条件) 1．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．四边形中，，要使四边形是正方形，则添个条件是 ． 3．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 类型一、菱形中的等边三角形 1．如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 3．已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 类型二、尺规作图 1．已知平行四边形，点F在边上，利用尺规作图得到以为边的菱形，下列符合要求的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，在中，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，若，，求 ． 3．尺规作图问题：如图，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，，连接． (1)求证：． (2)如图，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接求证：四边形是菱形． 类型一、菱形的折叠 1．如图，菱形的顶点A在轴上，于点．将菱形沿折叠，点的对应点为，连接．若，且点的横坐标为-2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 3．问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将 沿 所在的直线折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图①，当点恰好落在边上时，四边形 的形状为________． 问题解决： （2）如图②，当时， 连接 并延长，交边于点G，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图③， 当时，连接并延长，交边于点H，若的面积为24， 请直接写出线段的长． 类型二、矩形的折叠 1．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，将一张长方形纸条沿折叠、点C，D分别折叠至点、的位置．若，则等于 度． 3．阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 类型三、正方形的重叠部分 1．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 3．【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 类型四、特殊平行四边形中的动点求t 1．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点A出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（   ） A． B． C．6 D．7 2．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为 时，四边形是菱形． 3．如图，在矩形中，，连结．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连结． (1)用含的式子表示的长度：____________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连结，当时，求的值； (4)当点关于点的对称点在的边上时，直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1—3 菱形、矩形、正方形的性质与判定 菱形的性质与判定 一、菱形的性质 1.菱形具有平行四边形的一切性质。 2.菱形的四条边都相等。 3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4.菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴。 5.菱形的面积等于底乘高，也等于对角线乘积的一半。 二、菱形的判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.四条边都相等的四边形是菱形。 4.对角线垂直平分的四边形是菱形。（补充） 矩形的性质与判定 一、矩形的定义 矩形是一种平面图形，它的四个角都是直角。 二、矩形的性质 1.矩形的四个内角都是直角。 2.矩形的对角线相等且互相平分。 3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。 4.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形。对称轴是任何一组对边中点的连线，对称中心是对角线的交点。矩形至少有两条对称轴。 5.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质。 6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。 三、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形。 4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。（补充） 四、矩形的面积 矩形的面积计算公式为：面积=长×宽。 正方形的性质与判定 一、正方形的定义 正方形是有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形。 二、正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等。 2.正方形的对角线相等且相互垂直平分。 3.正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴有4条。 三、正方形的判定 1.有一个角是直角的菱形是正方形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是矩形，如果进一步证明它的四边相等，则是正方形。 3.四边相等的四边形是菱形，如果进一步证明它的一个角是直角，则是正方形。 4.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。（补充） 巩固课内例1:菱形的性质求边长、对角线长 1．已知菱形的周长是，则最短对角线的长度为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解题的关键是证明是等边三角形，属于中考常考题型．由菱形的周长求出边长，结合已知角度，利用等边三角形性质确定较短对角线长度． 【详解】解：如图， ∵菱形的周长为8， ∴菱形的边长， ∵，， ∴等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的较短的对角线长为：； 故选C． 2．如图，菱形中，分别是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，菱形的性质，根据题意得出，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：∵分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 3．如图，在菱形中，，将菱形沿折叠，点B正好落在边上的点G处，且．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质，菱形的性质、勾股定理，含角的直角三角形中，矩形的判定与性质，解题的关键是证明线段FG是菱形的高． 设与交于点O，与交于点，过点作于点N． 先证明，是等边三角形与四边形是矩形，得到，继而证明是的中点，即，在中，利用勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】如图，设与交于点O，与交于点，过点作于点N． 四边形是菱形，， ，，． ，是等边三角形． ． ， ．由折叠，得， ． ． ． ，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ． 是等边三角形，， 是的中点，即． 在中，． ． 巩固课内例2:菱形的判定(对角线) 1．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键． 由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， 所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：A． 2．如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【分析】本题考查的是菱形的判定，作一条线段等于已知线段，根据作图可得，结合菱形的判定可得结论. 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）． 故答案为：四边相等的四边形是菱形 3．如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列条件：；． (1)从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积是 【分析】（1）由，得，而，则四边形是平行四边形，若选择，可根据菱形的定义证明四边形是菱形；若选择，可根据菱形的判定定理证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，，然后利用30°的直角三角形的性质和勾股定理求出和长，则，，然后根据菱形的面积公式计算解答即可． 此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的定义或判定定理证明四边形是菱形是解题的关键． 【详解】（1）解：选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，对角线与相交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积是． 巩固课内例3:菱形的面积 1．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的对角线互相平分，垂直，可得，，，再由勾股定理求解，最后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 2．在菱形中，于点E．若，，则菱形的面积等于 ． 【答案】35 【分析】本题考查了菱形的性质． 由菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：35． 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点，为边的中点，． (1)求的度数； (2)如果，求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质以及等边三角形的性质，由的边长求解出的边长是解决本题的关键． （1）根据菱形的性质可得，再由垂直平分线的性质可得，可得为等边三角形，即可求解的度数． （2）由，可求解与的长度，再结合为等边三角形，可得与的关系，再由勾股定理可求解的长度，再由菱形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：在菱形中，， ∵为边的中点，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． （2）解：在菱形中， 且， 由（1）知，为等边三角形，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， 即， 可得，解得， ∴， ∴菱形的面积为． 巩固课内例4:矩形的性质求对角线长 1．如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，根据题意可得，，再由，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在矩形中，E、F分别为的中点，若，则 ． 【答案】8 【分析】根据三角形中位线定理，得，根据矩形的性质，得，故，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．如图，在矩形中，、交于点，点为边上一点，连接交于点，，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．由矩形的性质得，再证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 巩固课内例5:矩形的性质求矩形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、点的坐标、熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．过点作的平行线，分别交轴于点，交于点，先求出，再证出四边形是矩形，则可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交轴于点，交于点， ∵四边形是矩形，且点的坐标为， ∴，，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴与的面积的和为 ， 故选：C． 2．如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由，，得出，求出，再利用矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形． (1)猜想四边形的形状是________，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)矩形，理由见解析； (2)． 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：猜想四边形的形状是矩形. 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键. 巩固课内例6:矩形的性质求矩形对角线上的高 1．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，那么点到矩形的两条对角线的距离和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理求线段长的运用，如图所示，连接，根据矩形的性质，勾股定理得到，，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：B ． 2．如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，则点P到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质及其尺规作图，根据作图的过程知：平分，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可求解. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 结合作图的过程知：平分， 点到的距离等于的长，即为， 故答案为：． 3．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)若，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）先由高的定义得到，再由三角形内角和定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，据此利用勾股定理求解即可； （2）由是的中点，得到是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到由是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵中，是高， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得； （2）证明：∵是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是高，是中线， ∴是的斜边上的中线， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，直角三角形斜边的中线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 巩固课内例7:矩形的判定(角) 1．四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理，逐一分析各选项条件是否满足矩形的定义或判定条件． 【详解】解：A、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项A不符合题意， B、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线垂直，此时平行四边形为菱形，但菱形的对角线不一定相等，无法保证四个角为直角，故不能判定为矩形，选项B符合题意， C、，，说明四边形是平行四边形，，说明有一个直角，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项C不符合题意， D、，，可推出且，说明是平行四边形；，说明，结合平行四边形性质得，对角线相等，故可判定为矩形，选项D不符合题意， 故选：B． 2．如图，在中，添加一个条件 ，可使是矩形． 【答案】（或） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴添加一个条件：或，可使是矩形． 故答案为：（或） 3．如图，四边形是平行四边形，，垂足为E，延长至点F，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）利用面积法求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，即． 延长至点， ，． 四边形是平行四边形． ，垂足为， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是平行四边形，， ． 在中，有，即． 是直角三角形，． ，即， 解得，． 在中，． 的长为． 巩固课内例8:正方形的性质求边角的关系 1．如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质． 根据正方形的性质证得，推出，可知①正确；证明，得到，而，，推出，得到结论②正确，由于和同底等高，得到结论，故③正确；由，得到，而，故④正确，不能证明，据此判定即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， 而，， ∴， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵和同底等高， ∴， 而， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 而，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 故④正确， 不能判定，故⑤错误； 综上分析可得，正确的是：①②③④． 故选：B. 2．如图，先将正方形纸片对折得到折痕，再沿过点C的直线翻折纸片，得到折痕，使点D落在上的点H处，连接与交于点I．则下列结论中正确的是 ． ①垂直平分；②为等边三角形；③平分；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了图形的翻折，全等三角形的证明与性质，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定，由图形的翻折可知翻折前后的边长与角度保持不变，由垂直平分可得到是解决本题的关键． 由边角边证明与全等，即可得，再由角相等且平角为可证明直角，由此可判断①；由垂直平分线的性质，垂直平分可得到；垂直平分可得到，由此可判断②；假设平分，可得，再结合其他条件得到与已知矛盾，由此可判断③；根据图形翻折可得，可得为等腰三角形即可求解，由此可判断④． 【详解】解：∵是由翻折得到， ∴，， 又∵， 则在与中， 由， 可得≌， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分，故①正确； 由①知，垂直平分， ∴， 又∵正方形沿对折， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； 假设平分，则有， 由②知，为等边三角形， ∴， ∴，， 在中，， 又∵，与已知矛盾，故③错误； ∵是由翻折得到， ∴，， 又∵在正方形中，， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 所以结论正确的是①②④． 故答案为：①②④． 3．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， ． ； （2）证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 巩固课内例9:正方形的判定(菱形) 1．如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断不正确的是（   ） A．若，，则四边形是平行四边形 B．若，，且；则四边形是矩形 C．若，则四边形是正方形 D．若，，，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，能判定四边形是平行四边形，此选项正确，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形，此选项正确，不符合题意； C、∵， 四边形是菱形，故此选项错误，符合题意； D、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，E，F，G，H分别是四边形的边的中点，四边形的两条对角线：满足条件 时，四边形是菱形；满足条件 时，四边形是矩形；满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】 且 【分析】由题意知，分别是的中位线，则，，，，可证四边形是平行四边形，当时，即时，四边形是菱形；当时，即时，四边形是矩形；当且时，即且时，四边形是正方形；然后作答即可． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是四边形的边的中点， ∴分别是的中位线， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，即时，四边形是菱形； 当时，即时，四边形是矩形； 当且时，即且时，四边形是正方形； 故答案为：；；且． 【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，菱形、矩形、正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，菱形、矩形、正方形的判定是解题的关键． 3．如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形． 【详解】 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． 类型一、菱形的判定(含添加条件) 1．如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一进行分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， 不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 3．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，．直线分别交，，于点，，；连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由作图可得是的垂直平分线，得到，，由得到，即可证明，从而，即可证明四边形是平行四边形，再由即可得证结论； （2）过点B作，交的延长线于点G，根据，得到，从而有，进而根据勾股定理有，求得，又在中，根据勾股定理求出，再由菱形的四边相等即可解答． 【详解】（1）证明：由作图可得是的垂直平分线， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2）解：过点B作，交的延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在菱形中，． 类型二、矩形的判定(含添加条件) 1．在中，对角线和相交于点O，则下面条件能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形一一判定即可. 【详解】解：在平行四边形中，矩形的判定条件之一是两条对角线相等． 选项A：对角线垂直时，平行四边形为菱形，而非矩形，故排除． 选项B：若对角线相等，根据矩形判定定理，该平行四边形必为矩形，正确． 选项C：平行四边形对角自然相等，无法判定为矩形，故排除． 选项D：邻边相等时，平行四边形为菱形，故排除． 故选：B． 2．在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是 （填序号） ①；②；③；④ 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用矩形的定义和判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解： ①根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，当时，不能判定是矩形，该选项错误，不符合题意； ②根据对角线相等的平行四边形为矩形，当时，根据平行四边形的性质得，, ∴是矩形，该选项正确，符合题意； ③同②，该选项正确，符合题意； ④根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当时，为直角， ∴是矩形，该选项正确，符合题意； 综上，符合题意的选项有②③④， 故答案为：②③④． 3．如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】此题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定解答即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据矩形的性质，，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，，， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， 类型三、正方形的判定(含添加条件) 1．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键； 根据矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， 四边形为矩形， A. 当时，四边形为正方形，不符合题意； B. 当时，四边形为正方形，不符合题意； C. 当时，推不出四边形为正方形，符合题意； D. 当时， ， ， ， 则四边形为正方形，不符合题意； 故选：C． 2．四边形中，，要使四边形是正方形，则添个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了正方形的判定定理，解题的关键是掌握有一个角是直角的菱形是正方形．根据正方形的判定定理即可解答． 【详解】添加条件为： ∵四边形中，， ∴四边形是菱形 ∵添加条件 ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据可得，可求得，，再由可得． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明： 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 类型一、菱形中的等边三角形 1．如图，在菱形中，，连接，点为的中点，交于点，交于点，则图中的等边三角形共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，，则可证明都是等边三角形，可得，再由平行线的性质得到，则可证明都是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴都是等边三角形， ∴图中一共有4个等边三角形， 故选：A． 2．在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质，平行线有性质，难度一般． 利用菱形以及等边三角形的性质，设，用表示出和，利用平行线的性质得，求解得，即，进而可求的度数． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，、分别在、上，且是等边三角形，， ，，， 设，则， 故，则， 在菱形， ，， ， ， 解得：，即， ∵， ∴． 故答案为：． 3．已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．先证明是等边三角形，利用证明即可得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，平分，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 类型二、尺规作图 1．已知平行四边形，点F在边上，利用尺规作图得到以为边的菱形，下列符合要求的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】题目主要考查作一条线段等于已知线段，作角平分线、垂直平分线，菱形的判定，等角对等边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据图中作一条线段等于已知线段，作角平分线、垂直平分线的作法，结合菱形的判定依次判断即可. 【详解】解：①由作图得，无法得出以为边的菱形，不符合题意； ②由作图得：垂直平分， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，符合题意； ③由作图得平分，平分， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，符合题意； 故选：C. 2．如图，在中，尺规作图如下：分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，若，，求 ． 【答案】 【分析】由作图可知：垂直平分，进而得到，等边对等角，得到，斜边上的中线得到，进而得到推出为等边三角形，进而推出，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 3．尺规作图问题：如图，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，，连接． (1)求证：． (2)如图，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据平行线的性质得到，可得结论； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）证明：由作图可知， ∴， ， ， ， ， 平分； （2）证明：，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 类型一、菱形的折叠 1．如图，菱形的顶点A在轴上，于点．将菱形沿折叠，点的对应点为，连接．若，且点的横坐标为-2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题涉及菱形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的知识． 先利用菱形和折叠性质得出角度关系，确定等腰直角三角形，再通过点的横坐标求出相关线段长度，进而得到点B的坐标． 【详解】解：因为四边形是菱形，所以， 且，，轴， 由于，折叠后，，三点共线， 因为，， 又因为菱形性质，，所以， 在中，，即， 已知点的横坐标为，所以， 因为，， 所以是等腰直角三角形， 那么， 在中，根据勾股定理， 因为，所以， 因为轴，轴，点的横坐标为，， 所以点B的横坐标为， 由于，平行于y轴，B点到x轴的距离等于的长度，即2， 所以点B的纵坐标为2． 因此，点B的坐标为． 故选：A． 2．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 3．问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将 沿 所在的直线折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图①，当点恰好落在边上时，四边形 的形状为________． 问题解决： （2）如图②，当时， 连接 并延长，交边于点G，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图③， 当时，连接并延长，交边于点H，若的面积为24， 请直接写出线段的长． 【答案】（1）菱形（2）平行四边形，理由见详解 （3） 【分析】（1）由折叠的性质可得：，，由平行四边形的性质得出，即可得出，由等角对等边结合即可得出，，即可得出四边形是菱形． （2）利用折叠的性质可得，，结合得出，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形． （3）延长交于点F，由折叠的性质先证明是等腰直角三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，，是等腰直角三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； 又， 四边形是菱形． （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， （3）如图，延长交于点F， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，菱形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 类型二、矩形的折叠 1．如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，，由折叠的性质得到，则，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，将一张长方形纸条沿折叠、点C，D分别折叠至点、的位置．若，则等于 度． 【答案】115 【分析】根据折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，计算即可． 本题考查了折叠的性质，长方形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得，， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：115． 3．阅读材料，并完成下列问题． （中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明，参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整． 证明：，， ． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴，整理得，即 ． (1)请将材料中证明过程空缺部分补充完整． (2)根据材料的结论解决问题：如图，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，求的长． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的边长为，直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，即可得到答案； （2）设，则，则，在Rt△ABE中，根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，． 又∵正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积＋正方形的面积， ∴， 整理得， 即． 故答案为：；． （2）设，则， 在矩形中， 由折叠的性质可知，． 在Rt△ABE中，， 则， 解得， 即的长为3． 类型三、正方形的重叠部分 1．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 3．【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 【答案】（1）1；（2）不会，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质求解即可； （2）根据正方形的性质得到，然后得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，然后根据正六边形和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵正方形与正方形，面积均为4，当经过点B，经过点时， ∴两个正方形重叠部分的面积的面积； （2）不会，理由如下： 如图所示，连接，，设与交于点H，与交于点M ∵正方形与正方形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不会发生变化； （3）如图所示，当两个正六边形有两个顶点重合时， ∴， ∴； 如图所示，当和交于点Q，和交于点R时， ∵六边形和六边形都是正六边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 综上所述，重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系为． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 类型四、特殊平行四边形中的动点求t 1．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点A出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，一元一次方程的应用—行程问题，关键是正确列出的方程． 根据题意用表示与，证明得，由此列出关于的方程即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， 即的值为． 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为，当为 时，四边形是菱形． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，能根据题意得出当时，四边形为菱形是解此题的关键．根据矩形的性质得出，，，先证明四边形为平行四边形，得出当时，四边形为菱形，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ∵点、的速度都是， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即当为时，四边形是菱形． 故答案为：6． 3．如图，在矩形中，，连结．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连结． (1)用含的式子表示的长度：____________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连结，当时，求的值； (4)当点关于点的对称点在的边上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)3或4 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，平行四边形的判定与性质等知识点，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，结合，即可求解； （2）由题意可知，推出；根据，推出，即可求证； （3）由题意得，根据，推出，即可求解； （4）分类讨论当在边上时，当在边上时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∵，， ∴， 故答案为： （2）证明：由题意可知， ∴                                 又∵， ∴，                                                             ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 即，                                                 解得； （4）解：当在边上时，如图所示： 由矩形的对称性可知：点为矩形对角线的交点， ∴， 即，解得：； 当在边上时，如图所示： ∵， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即， 解得：； 综上所述：的值为3或4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$