精品解析：上海市青浦高级中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

上海市青浦高级中学2024学年第二学期期末质量检测 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题． 1. 设全集，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 2. 不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式等价于，则解集为， 故答案为： 3. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】圆心角转换为弧度制，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】因为，所以扇形面积. 故答案为：. 4. 计算_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算. 【详解】由无穷等比数列的求和公式可得. 故答案为：. 5. 已知角的终边经过点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意可得， 故， 故答案为： 6. 在复数范围内，的所有平方根为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则. 由可得，. 由可得，或. 当时，有，解得，； 当时，有，显然不成立. 综上所述，. 故答案为：或. 7. 已知等差数列满足，，则______________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，又，进而求解. 【详解】由题意有，又，， 所以 故答案为：4. 8. 若、都是锐角，且，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算，由，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以，又，， 所以， 所以 ，又，所以， 故答案为：. 9. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_________. 【答案】an＝ 【解析】 【分析】根据an与Sn的关系：即可求得结果. 【详解】由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 显然a1不符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 所以本题答案为an＝. 【点睛】本题考查根据an与Sn的关系求数列通项的方法，注意检验a1是否符合表达式，属基础题. 10. 已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义得，进而得，代入即可求解. 【详解】由向量在方向上的投影向量为，所以，即， 故答案为：. 11. 已知函数，数列满足，且（为正整数），则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，先求，进而得，最后利用诱导公式即可求解. 【详解】由有，所以， 所以数列是常数数列，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可. 【详解】由题意设，则，， 设，如图，因为求的最小值， 则，，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值. 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案． 13. 设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得，故与不共线，可作基底； 对C：对与，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得，故与共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故与不共线，可作基底. 故选：C. 14. 用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出n＝k时左端的表达式，和n＝k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式． 【详解】当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k）， 当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2）， ∴左边需增乘的代数式是 故选：C． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n＝k时左端的表达式和n＝k+1时左端的表达式，是解题的关键． 15. 在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【详解】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 16. 已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知为虚数单位，，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值． 【答案】（1）1或3 （2）5 【解析】 【分析】（1）由是实数，则解出即可； （2）由是纯虚数，则，解出即可. 【小问1详解】 若是实数，则有，解得或； 【小问2详解】 若是纯虚数，则有. 18. 已知为坐标原点，，，． （1）若、、三点共线，求的值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】1）根据题意结合运算求解； （2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【小问1详解】 ， 三点共线，与共线， 则，解得. 小问2详解】 由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 19. 已知复数，，是虚数单位． （1）若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； （2）当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是实系数一元二次方程的一个根，则是另一个根，利用韦达定理即可求解； （2）根据题意得方程一个实数根为，代入得，进而求解. 【小问1详解】 若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的另一个根， 根据韦达定理得， 解得； 【小问2详解】 由有， 所以，所以， 所以， 当时，原方程有一个实根为. 20. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%． （1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量（精确到升）； （2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×（1－月产品合格率） 【答案】（1）升 （2）12 【解析】 【分析】（1）设今年第个月生产了升消毒剂，再根据，结合等比数列的求和公式求解即可； （2）设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由题意，再分析的单调性，结合，即可求解. 【小问1详解】 设今年第个月生产了升消毒剂，则有， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以今年1月到12月该消毒剂的总产量为：（升） 【小问2详解】 设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由（1）有， 所以， 所以，由，解得， 所以当时，， 又， ， 所以从第12月起，月产消毒剂中不合格量能一直控制在120升以内. 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式及新定义计算结合模长求解； （2）先应用正弦定理计算，再应用余弦定理求解； （3）应用辅助角公式结合三角函数值域计算求参； 【小问1详解】 因为， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得， 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 ， 当时，， 由，得， 或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线4）有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市青浦高级中学2024学年第二学期期末质量检测 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题． 1 设全集，集合，则______． 2. 不等式的解集为______________． 3. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________． 4. 计算_____. 5. 已知角的终边经过点，则__________. 6. 在复数范围内，的所有平方根为______. 7. 已知等差数列满足，，则______________． 8. 若、都是锐角，且，，则______________． 9. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_________. 10. 已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 11. 已知函数，数列满足，且（为正整数），则______________． 12. 已知、、、、五个点，满足，，则最小值为______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案． 13. 设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 14. 用数学归纳法时，从“k到”左边需增乘的代数式是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 16. 已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知为虚数单位，，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求值． 18. 已知为坐标原点，，，． （1）若、、三点共线，求的值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 19. 已知复数，，是虚数单位． （1）若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； （2）当为何值时，关于二次方程有一个实根． 20. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%． （1）求今年1月到12月该消毒剂总产量（精确到升）； （2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×（1－月产品合格率） 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$