2025-2026学年人教版九年级数学上册阶段测试（范围：二次函数，圆）

第 1页，共 5页 2025-2026 学年人教版九年级数学上册 阶段测试（测试范围：二次函数，圆） （考试时间为 120 分钟，满分为 150 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.抛物线� = 2(� + 9)2 − 3 的顶点坐标是( ) A. ( 9，3) B. (9, − 3) C. ( − 9,3) D. ( − 9, − 3) 2.若�( − 1, �1)，�(1, �2)，�(4, �3)三点都在二次函数� =− (� − 2)2 + �的图象上，则�1，�2，�3的大小关 系为( ) A. �1 < �2 < �3 B. �1 < �3 < �2 C. �3 < �1 < �2 D. �3 < �2 < �1 3.如图，��是⊙�的直径，弦�� ⊥ ��于点�，则下列结论不一定成立的是( ) A. �� = �� B. �� = �� C. �� ⌢ = �� ⌢ D. �� ⌢ = �� ⌢ 4.下列命题中，正确的命题是( ) A.相等的圆心角所对的弧相等 B.平分弦的直径垂直于弦 C.两条弦相等，它们所对的弧也相等 D.等弧对等弦 5.二次函数� = ��2 + �� + �的部分图象如图所示，则当� > 0 时，�的取值范围是( ) A. −1 < � < 1 B. −3 < � < 1 C. � <− 3 或� > 1 D. −2 < � < 第 3 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 6.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大 小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知 其大小．用锯去锯这木材，锯口深�� = 1 寸，锯道长�� = 1 尺(1 尺= 10 寸).这根圆柱形木材的直径是( ) A. 6 寸 B. 26寸 C. 13 寸 D. 26 寸 7.如图，点�，�，�在⊙�上，∠� = 36°，∠� = 28°，则∠� =( ) A. 64° B. 66° C. 68° D. 72° 第 2页，共 5页 8.若函数� = ��2 − 6� + 3 的图象与�轴有交点，则�的取值范围是( ) A. � < 3 B. � < 3 且� ≠ 0 C. � ≤ 3 D. � ≤ 3 且� ≠ 0 9.已知抛物线� = (� − �1)(� − �2) + 1(�1 < �2)，抛物线与�轴交于(�, 0)，(�, 0)两点(� < �)，则�，�，�1， �2的大小关系是( ) A. �1 < � < � < �2 B. � < �1 < �2 < � C. � < �1 < � < �2 D. �1 < � < �2 < � 10.已知点 �,� 为二次函数� = �2 − 2� + 3 的图象上一点，则多项式�2 + �2 − 2� − 3�的最小值为( ) A. −4 B. − 134 C. −3 D. 2 二、填空题：本题共 8 小题，共 24 分。 11.抛物线� = �2 − 2� − 3 与�轴的交点坐标是______． 12.一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间�(秒)与滑下的路程�(米)之间的函数关系式是� = 5�2 + 10�， 当运动员滑下的时间� = 2 秒时，他滑下的路程�为______米. 13.如图，在⊙�中，点�在弧��上，∠��� = 100°，则∠��� =______°. 第 13 题 第 15 题 第 17 题 14.已知抛物线� = �2 − � − 1 与�轴的一个交点为(�，0)，则代数式−3�2 + 3� + 2022 的值为________． 15.将△ ���绕点�逆时针旋转到△ �′��′，使�、�、�′在同一直线上，若∠��� = 90°，∠��� = 30°， �� = 4��，则图中阴影部分面积为______��2． 16.抛物线� = �2 − � − 1012 与�轴交于 �, 0 、 �, 0 两点，则�2 + �2 − 1 = ． 17.如图，已知⊙�是△ ���的内切圆，切点为�、�、�，如果�� = 2，�� = 1，�� = 3，则内切圆的半径 � = ______． 18.二次函数� = ��2 + �� + �的部分对应值列表如下： � … −3 0 1 3 5 … � … 7 −8 −9 −5 7 … 则一元二次方程�(2� + 1)2 + �(2� + 1) + � =− 5 的解为________． 三、解答题：本题共 8 小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第 3页，共 5页 19.(本小题 10 分) 已知二次函数� = �2 + 2�． (1)求二次函数的图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)当�在什么范围时，�随着�的增大而减小？ 20.如图，已知△ABC 中，AB＝AC，∠A＝45°，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点 E，连接 BE （1）求∠EBC 的度数； （2）求证：BD＝CD． 21.(本小题 10 分) 如图，��为⊙�的直径，��为弦，�� ⊥ ��于点�，连接��并延长交⊙�于点�，连接��交��于点�，�� = ��， 连接��． (1)求证：��//��； (2)若�� = 12，求��和��的长． 第 4页，共 5页 22.(本小题 10 分) 已知二次函数� =− �2 + �� + �的图象与�轴的一个交点坐标为�( − 1,0)，另一交点为�，与�轴的交点为(0,3)， 顶点为�． (1)求此二次函数的解析式； (2)把函数配成� = �(� − ℎ)2 + �的形式，指出点�坐标． (3)直接写出当−2 < � < 2 时�的取值范围． 23.(本小题 10 分) 如图，��为⊙�的直径，�是⊙�上一点，��和过点�的切线互相垂直，垂足为�． (1)求证：��平分∠���； (2)若�� = 3，�� = 5，求⊙�的半径长． 24.(本小题 12 分) 如图，用一段长为 32�的篱笆围成一个一边靠墙(墙长为 18�)的矩形菜园． (1)当围成的矩形面积为 120�2时，求��的长； (2)当��长为多少时，围成的矩形面积最大?面积最大值是多少? 第 5页，共 5页 25.(本小题 12 分) 如图，�，�，�为⊙�上三点，线段��的延长线与过点�的切线互相垂直，点�为垂足，∠� = 30∘，连接��， ��． (1)求∠���的度数； (2)若⊙�的半径为 2，求图中阴影部分(弧��与线段��，��围成部分)的面积． 26.(本小题 12 分) 在平面直角坐标系���中，已知抛物线� = ��2 − 2�2� − 3 � ≠ 0 ． (1)求该抛物线的对称轴(用含�的式子表示)； (2)若� = 1，自变量�满足� ≤ � ≤ � + 2 时，此函数的最大值为�，最小值为�，且� − � = 2.求�的值； (3)已知� 2� − 1, �1 ，� �, �2 ，� � + 2, �3 为该抛物线上的点，若 �1 − �3 �3 − �2 > 0，求�的取值范 围． 2025-2026学年人教版九年级数学上册 阶段测试（测试范围：二次函数，圆） （考试时间为120分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A.  ， B. C. D. 2.若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的直径，弦于点，则下列结论不一定成立的是(    ) A. B. C. D. 4.下列命题中，正确的命题是(    ) A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 两条弦相等，它们所对的弧也相等 D. 等弧对等弦 5.二次函数的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 第3题 第5题 第6题 第7题 6.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸这根圆柱形木材的直径是(    ) A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 7.如图，点，，在上，，，则(    ) A. B. C. D. 8.若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 9.已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 10.已知点为二次函数的图象上一点，则多项式的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共24分。 11.抛物线与轴的交点坐标是______． 12.一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间秒与滑下的路程米之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程为______米 13.如图，在中，点在弧上，，则______ 第13题 第15题 第17题 14.已知抛物线与轴的一个交点为，，则代数式的值为________． 15.将绕点逆时针旋转到，使、、在同一直线上，若，，，则图中阴影部分面积为______． 16.抛物线与轴交于、两点，则           ． 17.如图，已知是的内切圆，切点为、、，如果，，，则内切圆的半径 ______． 18.二次函数的部分对应值列表如下： 则一元二次方程的解为________． 三、解答题：本题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知二次函数． 求二次函数的图象的顶点坐标； 在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； 当在什么范围时，随着的增大而减小？ 20.如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，连接BE （1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD＝CD． 21.本小题分 如图，为的直径，为弦，于点，连接并延长交于点，连接交于点，，连接． 求证：； 若，求和的长． 22.本小题分 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，另一交点为，与轴的交点为，顶点为． 求此二次函数的解析式； 把函数配成的形式，指出点坐标． 直接写出当时的取值范围． 23.本小题分 如图，为的直径，是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． 求证：平分； 若，，求的半径长． 24.本小题分 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙墙长为的矩形菜园． 当围成的矩形面积为时，求的长； 当长为多少时，围成的矩形面积最大面积最大值是多少 25.本小题分 如图，，，为上三点，线段的延长线与过点的切线互相垂直，点为垂足，，连接，． 求的度数； 若的半径为，求图中阴影部分弧与线段，围成部分的面积． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 求该抛物线的对称轴用含的式子表示； 若，自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且求的值； 已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 抛物线顶点坐标为， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向下， 二次函数， 抛物线对称轴为， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ，，三点都在二次函数的图象上，，，， ， 故选：． 【解析】根据垂径定理即可判断． 【详解】解：是的直径，弦于点， ，，． 故选：． 4.【答案】  解：同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B. 平分弦不是直径的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意； C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意； D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意； 故选： 5.【答案】  解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，经过， 抛物线与轴的另一个交点为． 抛物线在轴的上方部分， 当时，的取值范围是． 故选：． 6.【答案】  解：根据题意可得， 是的半径， 设半径 则 在中：，即 解得： 木材的直径为寸 故选：． 7.【答案】  【解析】解：连接， ，， ， ， ， ． 故选：． 8.【答案】  解：当时，，图象与轴有一个交点； 当，把代入得，， 函数的图象与轴有交点， ， 解得； 综上，的取值范围为， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标， 而， 即函数向上平移个单位得到函数， 则两个函数的图象如图所示省略了轴， 从图象看，， 故选：． 10.【答案】  解：点为二次函数的图象上一点， ，则， ， ， 当时，多项式有最小值， 故选A． 11.【答案】  【解析】解：抛物线， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：将代入中，得， 故答案为：． 把代入即可得到答案． 此题考查了已知自变量的值求对应的函数值，准确计算是解题的关键． 13.【答案】  解：作所对的圆周角，如图， ， ， ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】先将点，代入函数解析式，然后求得代数式的结果． 【解答】解：将，代入函数解析式得，， ， ． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：，，， ，，，， 阴影部分面积． 故答案为：． 16.【答案】  【详解】解：抛物线与轴交于、两点， ，， ． 故答案为：． 17.【答案】  解：是的内切圆，切点为、、， ，，， ，，， ，，， ，，， 是直角三角形， 内切圆的半径， 故答案为． 18.【答案】  解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线 根据题意知，一元二次方程的解为或． 所以或． 解得或． 所以一元二次方程的解为：． 故答案为：． 20.【答案】【小题】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小题】 当时，， 当时， 解得，，则抛物线与轴的交点坐标为， 该抛物线的顶点坐标为， 描出特殊点，，画出图象如下： 【小题】 当时，随着的增大而减小．   20.【解答】解：∵AB为圆O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB67.5°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°． （2）连接AD， ∵AB是直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝DC． 21.【答案】证明：， ， ， ， ， ； 解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ， 是直径， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ．  22.【答案】解：二次函数与轴的交点为，则， 将点的坐标代入上式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； ， 故点； ，令，则或， 当时，， 故当时的取值范围为：．  23.【答案】【小题】 证明：如图，连接， ，是切线， ， ， ， ． ， ， ， 平分． 【小题】 解：如图，作于点， 设的半径为， ，， ， 由，可得， 四边形是矩形， ，， ， 解得， 的半径是．   24.【答案】【小题】 解：设，则 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 舍去， 长为； 【小题】 解：设围成矩形的面积为 根据题意得： ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 又， 当时，矩形面积最大，最大面积为．   25.【答案】【小题】 解：连接，则， ， ， 是等边三角形， ， 与相切于点， ， ， ， 的度数是． 【小题】 设交于点，    于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积是．   26.【答案】【小题】 解：， ， 该抛物线的对称轴为直线； 【小题】 解：， 抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 如图，，当时，即， 此时函数的最大值为，最小值为， 当时，， 当时，， ， ， 解得：，不符合题意，舍去， 如图，当，即时， 同理可得：，， ， 解得：舍去 如图，当，即时， 同理可得：，， ， 解得：，舍去， 如图，当时， 同理：当时，， 当时，， ， 解得：，不符合题意，舍去 综上：或； 【小题】 解：， ，或，； 当，时，即， 的对称轴为直线， ，且， 解得，； 当，时，即， 对称轴为直线， ，且， 解得，， 综上所述，或．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$