第3章 不等式（复习课件）数学苏教版必修第一册

单元复习课件 第三章 不等式 苏教版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握不等式的性质,并能运用这些性质解决有关问题. 5.掌握一元二次不等式的恒成立问题 2. 掌握基本不等式的公式和最值定理 3.掌握基本不等式的应用（“1”的妙用和配凑法） 4. 掌握一元二次不等式的解法及一元二次不等式与方程、函数的关系 单元学习目标 单元知识图谱 一、不等式的基本性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 a＋b>c⇔c－b<a 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 同正 考点串讲 二、基本不等式 1．重要不等式 当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把称为正数a，b的算术平均数，把称为正数a，b的几何平均数． (2)基本不等式：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当 a＝b 时取“＝”． 考点串讲 二、基本不等式 3．最值：设x，y为正实数 (1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当 x＝y 时，积xy有最大值，且这个值为． (2)若xy＝p(积p为定值)，则当 x＝y 时，和x＋y有最小值，且这个值为 ． 考点串讲 三、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象       一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 考点串讲 题型一：用 不 等 式 表 示 不 等 关 系 例题1：在日常生活中，糖水中加 些糖后就会变得更甜．设有m克糖水中含有n克糖（m > n > 0），再添加a克糖（a > 0）（假设全部溶解），请将这一事实表示为一个不等式。 解析：原来糖占糖水的比例为，加入a克糖后，糖占糖水的比例为 ，则 > . 归纳总结训练 方法总结  用不等式（组）表示不等关系的步骤 1．审清题意，明确表示不等关系的关键词语； 2．适当地设未知数表示变量； 3. 用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）． 变式训练 某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”怎样用不等式表示？ 解析：经过n年之后，方案A的投入为300万，方案B的投入为80+20（n-1）万，依题意得80+20（n-1） 300 . 题型二:作差法、作商法比较大小 例题2：(1)若a > b > 0，那么 （填入“＞”或“＜”） （2）设a=，b=3-，则a   b（填入“＞”或“＜”）． 解析： (1)因为a > b > 0，所以 (2)>1 归纳总结训练 方法总结  比较大小的步骤 1．审清题意，明确作差法/作商法/中介法； 2．通分，比较大小。 变式训练 1．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c≥b>a　　　B．a>c≥b C．c>b>a     D．a>c>b 解析：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0， 所以c≥b，将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2. 因为1＋a2－a＝(a－)2＋>0，所以1＋a2>a， 所以b＝1＋a2>a.所以c≥b>a. A 题型三：利用不等式的性质比较大小 例题3：下列命题是真命题的是 ( ) A ．若a > b > 0，则ac2 > bc2 B ．若a > b，则a2 > b2 C ．若a < b < 0，则a2 < ab < b2 D ．若a < b <0 ，则 > 解析：对于A，若a > b > 0 ，c = 0时，ac2 = bc2 ， 故A是假命题； 对于B，若a > b，则当b < 0时，a2 > b2不一定成立，故B是假命题； 对于C，若a < b < 0，则a2 > b2故, C是假命题； 对于D，若a < b < 0，则, 故D是真命题. 故选：D . D 归纳总结训练 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 a＋b>c⇔c－b<a 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) 同正 变式训练 下列命题为真命题的是(　 　) A．若a>b，则a2>b2 B．若a>b，则ac>bc C．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d D．若a>b，c>d，则ac>bd 【解析】　选项A中，若a>b，取a＝1，b＝－2.则a2<b2错误． 选项B中，若a>b，c<0.则ac<bc错误． 选项C中，若a>b，c>d，则a＋c>b＋d正确． 选项D中，若a>b，c>d，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2， 则ac＝bd错误．故选C. C 题型四：基本不等式的最值定理 例题4：已知0<x<4，则的最大值为( ) A．　　　　　B．1 C． D．2 解析：　∵0<x<4，∴4－x>0. ∴x(4－x)≤()2＝4. ∴≤＝2. 当且仅当x＝4－x，即x＝2时，取等号．故选D. D 归纳总结训练 方法总结  最值定理 最值：设x，y为正实数 (1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当 x＝y 时，积xy有最大值，且这个值为 ． (2)若xy＝p(积p为定值)，则当 x＝y 时，和x＋y有最小值，且这个值为 ． 变式训练 已知函数f(x)＝x＋(x>0)，则f(x)的最小值是(　　) A．2 B．3 C．6 D．10 解析：　当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝6，所以f(x)的最小值是6. C 题型五：基本不等式的应用（“1”的妙用） 例题5：若(a>0，b>0)，则2a＋b的最小值为_____． 解析：　∵ ∴2a＋b＝(2a＋b)()＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当，即a＝2，b＝4时，等号成立． 故2a＋b的最小值为8. 8 归纳总结训练 方法总结  “1”的妙用 (1)适用范围：“倒数”型给和求和问题 (2)关键：找到等式，将其化为1． 变式训练 已知a >0, b > 0，且a+3b=2，则的最小值是 . 解析：由a >0, b > 0，且a+3b=2，得 = （a+3b）（）= （15+）　 当且仅当即 时取等号，故的最小值是 题型六：基本不等式的应用（配凑法） 例题6：若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值________． 解析：　因为x<3，所以x－3<0， 所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，所以f(x)的最大值为－1. -1 归纳总结训练 方法总结  配凑法 (1)凑分母 (2)关键：注意等号成立的条件． 变式训练 已知，函数+1的最小值是 . 解析： 　 当且仅当即时等号成立 函数的最小值是4. 4 题型七：解一元二次不等式 例题7：解下列不等式： (1)x2－x－6>0. (2)25x2－10x＋1>0. 解析：(1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象知x2－x－6>0的解集为. (2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根，x1＝x2＝. 结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象知25x2－10x＋1>0的解集为. 归纳总结训练 方法总结  解一元二次不等式的步骤 (1)二次系数化为正数 (2)解一元二次方程，得到x1,x2 (3)根据二次函数图像写出解集． 口诀：开口向上，大于取两边，小于取中间 变式训练 不等式的解集为__________ . 解析： 不等式可化为 方程x2x－6＝0的两根为x1＝－3，x2＝2， 结合二次函数y＝x2x－6的图象知的解集为. 题型八：一元二次不等式的恒成立问题 例题8：若不等式 ax2 - x + a > 0对一切实数x都成立，则实数 a的取值范围为________． 解析： 分析可知　，解得 故实数 a的取值范围为 归纳总结训练 方法总结  一元二次不等式的恒成立问题 （1）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （2）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （3）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； （4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足 变式训练 对任意实数x，不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 恒成立，则a的取值范围是 __________ . 解析： ①当a=2时，原不等式可化为-4<0 ，显然恒成立 ②当a2时，分析可知　，解得 . 则a的取值范围是. 题型九：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系  < x < 1 , 例题9：关于x 的不等式 x 2  + ax - 3 < 0 ，解集为（- 3, 1），则不等式 ax2  + x - 3 < 0 的解集为__________ .        解析： 由题, x = - 3, x = 1是方程 x 2  + ax - 3 = 0的两根,可得- 3 + 1 = - a , 即 a = 2 , 所以不等式为 2x2  + x - 3 < 0,即 (2x + 3)(x - 1) < 0 ,所以不等式 ax2  + x - 3 < 0 的解集为 归纳总结训练 方法总结  一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 (1)一元二次不等式解集的端点值就是一元二次方程的解， 依照题意得到x1,x2; (2)求出参数，代入新的一元二次不等式; (3)解新的一元二次不等式. 变式训练 一元二次不等式的解集是，则的值是 . 解析：方程＝0的两根为x1＝，x2＝， - = - , 解得 1．比较大小： 2（填“<”或“>”）. 解析： 所以，，即 2 < 课堂总结 2.若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A．       B． C．  D． 解析：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 则＝－1，＝－1，排除选项C，D； 又＝，＝-，所以选项A错误，选项B正确． B 课堂总结 3.若x>1，则实数f(x)＝＋x的最小值________． 解析： 因为x>1，所以x－1>0， 所以f(x)＝＋x＝＋(x－1)＋1＋1=3 当且仅当＝x-1，即x＝2时取等号，所以f(x)的最小值为3. 3 课堂总结 4.已知实数a>0，b>0 ，,a+2b的最小值是   解析：已知a>0，b>0， 所以a+2b= = 当且仅当 ,即时取等号 故a+2b的最小值是 课堂总结 5.已知关于的不等式的解集为 （1）求a,b的值 （2）当x>0，y>0且满足时，有 恒成立，求k的取值范围.   解析：(1)已知的解集为 所以1和b是的两个实数根，且a>0 所以 ,解得 课堂总结 (2)由（1）知，则 故=（）（）=4+ 当且仅当时等号成立，即 分析可知， （）min即8 故 k的取值范围为 课堂总结 课堂总结 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! $$