专题04 利用二次函数求解最值问题（专项训练）数学人教版五四制九年级上册

专题04 利用二次函数求解最值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 6 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 11 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 18 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1．如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法先求解抛物线为，再求解，，再求解一次函数的解析式即可； （2）如图，过作轴交于，连接，，设，则，，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于， ∴， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， 令时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，过作轴交于，连接，， 设，则， ∴， ∴， 当时，面积最大，而为定值， ∴此时最大， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，二次函数与面积问题，线段问题，熟练的利用二次函数的性质解题是关键． 2．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为，抛物线的对称轴是直线，可得点E的坐标是，再由勾股定理得，即可求解； （3）设点D的坐标为，则点F的坐标为，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：分别将点，，代入， 得解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点E的坐标是， ∴； （3）解：设点D的坐标为， 则点F的坐标为，， ∴ ， ∵，， ∴当时，DF`有最大值，最大值是． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. 【详解】（1）解：将代入，得到，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，连接交对称轴于点，由点、关于对称轴对称可得，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求解； 【详解】（1）解：把代入抛物线得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， 连接交对称轴于点， ∵点、关于对称轴对称， ， ， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ． 5．（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求抛物线的函数表达式 (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标； 【答案】(1)； (2)的最大值为4，此时点P的坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A坐标，进而求出直线解析式，设出点P坐标，进而表示出点K，点E的坐标，则可表示出，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；把代入中得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4， ∴的最大值为4，此时点P的坐标为． 6．（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． （3）解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （4）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 7．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的函数解析式为，进一步得到点Q的坐标为．设点P的坐标为，得到，即可求出答案； （3）连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且它的对称轴为 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）如图1， 设直线的函数解析式为，把点代入，得，解得． ∴直线的函数解析式为， 设和对称轴的交点为点Q． 当时， ∴点Q的坐标为． ∵点P在对称轴上， ∴设点P的坐标为， ∴， ∴， 即， 解得或． ∴点P的坐标为或； （3）如图2，连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长． 过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N， ∵，， ∴，， ∴． 即最大值为． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 9．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为 (3)，的最大值为 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）首先得到抛物线对称轴为直线，然后得到当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，然后由勾股定理求出的最大值为；求出所在直线表达式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． （3）如图所示， ∵抛物线； ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，如图所示， ∵， ∴． ∴的最大值为； 设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，线段最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 10．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 11．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)存在，，的周长为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由的面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长的最小值为：； （3）解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 13．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接，交对称轴于P，P即为使的值最小，设直线的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积，结合是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：设所求二次函数的解析式为， 把，，代入得 ， 解得， ∴这个二次函数的解析式是：． （2）解：∴， ∴抛物线的对称轴为， 连接，如图所示： 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， ∴P点的坐标为； （3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示： 则四边形ACMB面积， ∵是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大， 设， 则， ∴． 则 ∵ ∴开口向下，当时，有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 14．（2025·宁夏银川·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)求点B到直线的距离； (3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当的面积最大时，点P的坐标以及最大面积． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、待定系数法等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用等积法进行解答即即可； （3）求出直线的解析式为,设点P的坐标为，作轴交直线于点，则，得到的面积，利用二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入得到， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设点B到直线的距离为， 则， ∴ 解得， 即点B到直线的距离为， （3）设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为, 设点P的坐标为，作轴交直线于点， 则， 则 ∴的面积 当时，有最大值， 此时 此时点P的坐标为 15．如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接，，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求出最大值及点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点M，当，最大值为 【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）用，即可得出结果； （3）根据的面积等于，列出二次函数解析式，求值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴抛物线的解析式：； （2）解：设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴； （3）解：存在， 点 ． 则 ∵， 当时，最大，最大值为． 在中， 当时， ． 综上所述，存在点M，当，最大值为． 一、单选题 1．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 二、填空题 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 三、解答题 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 4．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可； （3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线中 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：， 当时，， 解得：或， ∴； 设的解析式为：， ∵，， ， 解得：， ∴的解析式为：， 设， 则， ， 当时，有最大值为． （3）解：如图1，连接，交于点． ， ∴顶点， 设所在直线的解析式为：， 将代入函数解析式得， 解得， 故所在直线的解析式为：， ∵， ∴， 设所在直线的解析式为：， 将点坐标代入函数解析式，得， 故所在直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为， 当点在点的右侧时， ∵，，， ，，， ， ∴是直角三角形， 是斜边， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴经过的中点， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标是． ∴综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键． 5．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． (4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？ 【答案】(1) (2)顶点坐标为；点关于对称轴的对称点D的坐标为； (3)存在， (4)点P坐标为时，最长． 【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值，即可得到答案； （2）由，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线，得到点D的坐标； （3）要使的周长最小，只需最小即可，点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，求出直线的解析式，求得交点M的坐标即可； （4）先求直线的解析式，设点P的坐标是，则点Q的坐标是，表示出的长度，根据二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 则抛物线的解析式为. （2）∵， ∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点D的坐标为； （3）存在，要使的周长最小，只需最小即可， ∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M， ∴， 则， ∴点M满足题意， 设直线的解析式为，把点和代入得， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标是， 则， 即点为所求． （4）如图， 设直线的解析式为，把点和点D代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标是，则点Q的坐标是， 则， ∵ ， ∴当时，有最大值为， 此时， 即点P坐标为时，最长． 【点睛】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)点时，的值最大为， 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标． （3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为：； （2）解：设， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则 的解析式为：， 当时，则， 解得：， 侧， ∴ ∵ ∴， 解得：或或或（舍去）， 此时点，或， 当时，则直线为，平行于x轴 此时， ，满足题意， 综上：则或或或． （3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图， 则， ∴， 当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值， 设直线的直线方程为， 则，解得， ∴直线的直线方程为， 当时，， 那么，点时，的值最大，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性． 7．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 8．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．已知二次函数的图像经过点，点，点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值； (3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由待定系数法即可求解； (2)由题意得：，再表示△PMN周长为即可求解； (3)当点H在点P的右侧时，得到，求出点 N的坐标，联立抛物线和的表达式即可求解；当点在点P的左侧时，利用轴求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴设抛物线的表达式为：， 把点的坐标代入，得， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由点的坐标知， ， 则， 设直线的表达式为：， 把点代入，得 ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则周长 ， ∵， ∴当时，周长的最大，最大值为，此时点 ； （3）解：当点H在点P的右侧时，如下图，    延长交x轴于点N， ∵，则 ， 设点， 由得： ， 解得：， 则点 ， 由点的坐标得，直线的表达式为： 联立抛物线和的表达式得： ， 解得： (舍去) 或， 即点H的横坐标为：； 当点在点P的左侧时，如上图， ∵， 则轴， 则点横坐标为：， 综上，点H的横坐标为：或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． 10．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 利用二次函数求解最值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 6 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 11 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 18 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1．如图，已知二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作于点Q，当线段取得最大值时，求点P的坐标． 2．（2025·安徽阜阳·三模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 3．（2025·安徽合肥·二模）如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标． 5．（2025·青海西宁·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求抛物线的函数表达式 (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标； 6．（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 7．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 9．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 10．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 12．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 13．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 14．（2025·宁夏银川·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)求点B到直线的距离； (3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当的面积最大时，点P的坐标以及最大面积． 15．如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接，，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求出最大值及点M的坐标；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 三、解答题 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 4．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 5．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． (4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？ 6．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 7．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 8．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 9．已知二次函数的图像经过点，点，点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值； (3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标． 10．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$