24.1.4圆周角课后作业（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.4圆周角 （一）知识梳理 1.圆周角 圆周角的定义：顶点在 ，并且两边都与圆相交的角叫做 ． 要点归纳： (1)圆周角定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条孤联系在一起的，故不能把“ ”去掉 (2)同一条孤所对的圆周角有 个，它们都 ，但注意不要误以为“同一条弦所对的圆周角都相等”，一条弦(非直径)所对的圆周角有两类，它们是相等或互补的关系，即圆周角在弦的同侧时 ，异侧时 2.圆内接多边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做 ，这个圆叫做四边形的外接，圆内接四边形的对角 ．圆内接四边形的任意一个外角等于它的 （就是和它相邻的内角的对角） 温馨提示： (1)内接与外接是相对的概念，描述的是图形的位置关系. (2)每一个圆都有 个内接四边形，但并不是所有的四边形都有 ，只有 的四边形才有外接圆. 方法总结：圆中求角的四个常用思路 (1)同孤所对的圆周角 ； (2)一条孤所对的圆周角等于它所对的 (3)圆内接四边形的 ； (4)同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形中， . （二）知识精练 一、单选题 1．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 3．如图，，，，是上的四个点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，弦、相交于，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．如图，弦CD所对的圆心角为，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B= 度． 10．如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则 ． 11．如图，四边形内接于圆，点在上，若，，，则为 度． 12．如图，已知内接于，是的直径，平分，交于D，若，则的长为 ． 三、解答题 13．如图，为的直径，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 14．如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 15．【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 16．如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可知，即可利用外角性质求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 7．C 【分析】连接，先根据等腰三角形的三线合一可得，，再判断出点四点共圆，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， 弦所对的圆心角为， ， ，且点是的中点， ，（等腰三角形的三线合一）， 又， 点四点共圆， 则由圆周角定理得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 8．B 【分析】本题考查了圆内接四边形性质以及圆周角定理，先根据圆周角定理确定，再由等边对等角及三角形内角和定理得出，结合圆内接四边形即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 故选：B 9．120 【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B． 【详解】如图，连结OB， ∵OA=OB=OC， ∴△OAB和△OBC都是等腰三角形， ∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC， ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C， ∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC ∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜ ∴3∠ABC=360゜ ∴∠ABC=120゜ 即∠B=120゜． 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键． 10． 【分析】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容；掌握圆内相关概念是解题基础． 首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果． 【详解】连接，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 11．25 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．连接、，先根据圆内接四边形的性质求出，然后根据，求出即可解答． 【详解】解：连接、， ， ， ， ， ． 故答案为：25． 12． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质．连接，根据是的直径，可得，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为． 13．(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用，关键是根据的度数等于进行解答． （1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出； （2）在等腰三角形中，根据三线合一定理即可证得． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∴． 又∵， ∴． 14．见解析 【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出． 【详解】是圆的直径， ， ∴， ， ， ∴， ， ． 15．（1）；；（2），详见解析；（3）． 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是90°，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解； （2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到； （3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E，则，， 则有， ∴，即点D到直线的距离为，    故答案为：；； （2），理由如下： 如图②，连接，作交的延长线于点N，    ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，      ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）作直径，连接，如图2，先利用垂直定义得到，再利用圆周角定理得到，，，然后根据等角的余角相等得到结论． 【详解】（1）， ， 即， ， ， ； （2）作直径，连接，如图2，   ， ， ， ，， ， 为直径， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$