第二章 整式及其加减（复习讲义）数学沪科版2024七年级上册

第二章 整式及其加减（复习讲义） 一、学习目标 1.理解掌握整式、单项式、多项式的概念； 2.能熟练指出单项式的系数、次数和多项式的项数、次数，能把一个多项式写成按某个字母的降幂或升幂排列； 3.掌握合并同类项法则； 4.能灵活应用去括号或添括号法则，进行整式加减运算. 5.了解和掌握整体带入思想 6.能够快速理解应用题题意列出代数式 二、学习重点：合并同类项法则；去括号或添括号法则;列代数式 三、学习难点：去括号或添括号法则，整体带入思想, 理解应用题题意列出代数式 1、用字母表示数 用字母表示数是代数的一个重要特点，有了用字母表示数的知识，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来：如， 长方形的长为 acm，宽为bcm，长方形的面积是abcm2 一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元； 将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元， 这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义。用字母表示数，还可以使数量关系的表示简洁明了，更具普遍意义，给研究和计算带来了极大的方便。如： 有理数的减法法则用文字叙述很麻烦，但用字母表示可表示成：a－b=a＋(－b)，简洁明了。 又如有一组数据：0，3，8，15，24，….按此规律，大家可以一直写下去，但永远也写不完.如果用字母表示，则第n项可以记作n2－1，这样就使这一规律更具普遍意义。 2、代数式 （1）代数式的定义： 代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号。另外，单独的一个数或字母也是代数式.如：(a＋b)2含有加法和乘方运算是代数式； 含有加法、乘、除法运算也是代数式，a，0，1是单独的数或字母，也是代数式，而2a=3，a>5.由于含有“=”和“>”，因此不是代数式. （2）代数式的规范书写 书写代数式时应注意以下原则： ①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如 6×b常写作6·b或6b.但数与数相乘不遵循此原则，如6×8不能省略乘号，否则就写成了68，也不宜将“×”改为“·”，否则就写成了6·8，容易与6.8混淆。 ②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，而有理数又要写在无理数前面，如 6b一般不写作b6，2πr2不写作π2r2. ③除法运算写成分数形式，如 1÷a，通常写作 （a≠0）. ④相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如 a·a写作a2，a·a·a写作a3. 3、列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念。 4、求代数式的值应注意的问题： (1）若代数式中省略了乘号、代入数值后应添上“×”号； （2）若代入的值是负数或分数时，应添上括号； （3）注意解题格式规范，应写成“当……时，原式=……”的形式； （4）代数式的字母可取不同的值，但所取的值不应该使所在的代数式或实际问题无意义. 5、正确理解单项式的有关概念 （1）单项式的定义 数与字母的乘积组成的代数式为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式， 如 6，a都是单项式.因此，单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除式的除法运算. （2）单项式的系数 单项式中的数字因数叫单项式的系数，如－2xy2的系数为－2.单项式的系数为1或－1时，通常省略不写，但“－”号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成－ab. （3）单项式的次数 一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 .如5x2y4的次数为6(2＋4=6).一个单项式的次数是几，我们习惯上又称作这个单项式是几次单项式.如5x2y4是六次单项式。单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0.如5xy2的次数是1＋2=3，而不是2. 6、理解并掌握多项式的有关概念 （1）多项式的意义 几个单项式的和叫做多项式 .多项式中含有加减运算，也可以含有乘方，乘除运算，但不能含有以字母为除式的除法运算，如 不是多项式. （2）多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 .其中，不含字母的项，叫做常数项.常数项在多项式中次数最低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”，如 是二项式. （3）多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数 .如x2＋1－3x4的次数是4.因x2＋1－3x4是由单项式x2，1，－3x4三项组成的.因此，x2＋1－3x4又可称作“四次三项式”. 7、多项式的排列 （1）升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的升幂排列. （2）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的降幂排列. 8、整式的意义 单项式与多项式统称为整式 .整式中不能含有以字母为除式的除法运算. 9、同类项概念及合并同类项的方法 （1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （3）合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 10、去括号和添括号的法则 （1）去括号法则 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”去掉，括号里各项都改变符号。 （2）添括号法则 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”，括到括号里面的各项都改变符号。 注意：添括号去括号正好是相反的两个过程，可以相互检验正误。 11、整式加减的方法与步骤 整式加减一般步骤 （1）如果有括号，应先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 题型一 列代数式 【例1】（24-25七年级下·江苏徐州·开学考试）下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南郑州·开学考试）四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】3．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）一支铅笔的价格是a元，一块橡皮的价格是b元，买2支铅笔和7块橡皮应付 元． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 题型二 代数式的概念 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海静安·期末）在下列各式中，不是代数式的为（　　） A． B． C． D． 题型三 代数式的书写格式 【例3】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C． D．元 【变式3-1】（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（24-25七年级上·吉林松原·期中）学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（   ） A． 个 B． C． D． 题型四 单项式的判断 【例4】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-1】（24-25七年级上·福建南平·期中）下列结论中正确的是（     ） A．单项式的次数是3 B．3不是单项式 C．多项式是三次三项式 D．单项式m没有系数 【变式4-2】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）式子，，，，，，中，单项式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式4-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 题型五 单项式的系数和次数 【例5】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知关于x，y的单项式与的次数相同，则 ． 【变式5-2】（17-18七年级上·重庆九龙坡·阶段练习） 的系数是 ，次数是 ． 【变式5-3】（2025·河南驻马店·三模）请写一个次数为4的单项式： ． 题型六 多项式的判断 【例6】（24-25六年级上·山东东营·期中）在代数式中，有（   ）个整式． A．7 B．6 C．5 D．4 【变式6-1】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）下列说法正确的是：（   ） A．的系数是 B．的次数是5次 C．是多项式 D．的常数项为1 【变式6-2】（23-24七年级上·青海西宁·期中）把下列代数式分别填在相应的括号内．    (1)单项式：｛             …｝ (2)多项式：｛             …｝ 【变式6-3】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                } 多项式{                                } 题型七 多项式的项、项数、次数 【例7】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）已知多项式是关于的四次二项式，则 ． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海·假期作业）指出一次式中的一次项，常数项及一次项的系数 【变式7-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期中）若关于x的多项式是四次三项式，则 ． 题型八 已知子母的值求代数式的值 【例8】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若，则 ． 【变式8-1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）如果x的倒数是，则代数式的值是 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭，其余部分种植花圃（阴影部分）． 如图是一块长方形花园，内部有两个过道，其余部分种植花圃（阴影部分） (1)用含的代数式表示花圃的面积； (2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段． (1)探究：按如图的方式剪切，在括号里填写适当的数． (2)总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是（    ）． (3)应用：像这样如果剪切次，会分成（    ）段． 题型九 单项式规律探究 【例9】（2025·云南玉溪·一模）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）观察下列关于的单项式，探究其规律：按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）观察一组单项式：．根据你发现的规律，第个单项式应该是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，......，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 题型十 多项式的系数、指数中求字母 【例10】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）如果整式是关于x的二次三项式，那么 ． 【变式10-1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）多项式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式10-2】（2025·江西抚州·一模）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 【变式10-3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 题型十一 已知式子的值求代数式的值 【例11】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4，求式子的值？ 【变式11-1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，则的值为（    ） A．7 B．10 C．13 D．17 【变式11-2】（2025·河南信阳·三模）若，则的值为 ． 【变式11-3】（24-25七年级下·河北承德·期末）已知，则代数式的值为（  ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【变式11-4】（16-17七年级上·广东惠州·阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，那么代数式的值为 ． 题型十二 同类项判断 【例12】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 【变式12-1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列各组单项式中，同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式12-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下列说法错误的是（         ） A．与是同类项 B．是多项式 C．是四次四项式 D．与的差为0 【变式12-3】（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 题型十三 合并同类项 【例13】（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列合并同类项，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十四 去括号 【例14】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）化简：． 【变式14-1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）化简：． 【变式14-2】（2025·贵州铜仁·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）去括号应得（   ） A． B． C． D． 题型十五 添括号 【例15】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）下计算中，运算正确的有（    ） ①；② ；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式15-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 【变式15-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（2025·广东深圳·二模）已知，则 ． 题型十六 整式的加减运算 【例16】（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算： (1)； (2)． 【变式16-1】（24-25七年级下·浙江·假期作业）化简： (1)； (2)． 【变式16-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式16-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 题型十七 整式化简求值 【例17】（24-25七年级上·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式17-1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）先化简，再求值：若，求的值． 【变式17-2】（18-19七年级上·云南文山·阶段练习）先化简，再求值 其中， 【变式17-3】（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 题型十八 正式加减的应用 【例18】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？爱动脑筋的小聪同学这样来解：原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为____________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【变式18-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 【变式18-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为的正方形，乙卡片是宽为1，长为的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含的式子分别表示______，______； (2)当时，分别求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式18-3】（2025·河北唐山·三模）把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 题型十九 图形规律探究 【例19】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图有 个点． 【变式19-1】（24-25七年级下·四川广元·期末）将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（    ） A．4046 B．4047 C．4050 D．4053 【变式19-2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）根据如图中点的排列规律，第幅图中共有 个点，第幅图中共有 个点． 【变式19-3 】（24-25七年级下·山西临汾·期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层、下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（    ）个 A．3032 B．3033 C．3034 D．3035 题型二十 带有字母的绝对值化简 【例20】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知a，b，c均为非零有理数，且满足 ，求 ． 【变式20-1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）若，则的值为 ． 【变式20-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【变式20-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 题型二十一 整式加减中的无关问题 【例21】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）要使多项式化简后不含有的二次项，则等于（    ） A．0 B．3 C． D．2 【变式21-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【变式21-2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知多项式化简后不含项． (1)求的值； (2)化简并求多项式的值． 【变式21-3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 题型二十二 降幂排列与升幂排列 【例22】（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式22-1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【变式22-2】（24-25七年级上·北京·期中）对于多项式，下列结论正确的是（    ） A．这个多项式的项为，， B．这个多项式是二次三项式 C．这个多项式的常数项为5 D．这个多项式按a的降幂排列是 【变式22-3】（24-25七年级下·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（22-23七年级上·湖北随州·期中）下列合并同类项正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广东东莞·期末）下列关于单项式的说法正确的是（　　） A．系数是，次数是8 B．系数是，次数是8 C．系数是，次数是5 D．系数是，次数是5 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用语言叙述表示的数量关系中，表述不正确的是（    ） A．比x倒数小3的数 B．比x倒数大3的数 C．x的倒数与3的差 D．1除以x的商与3的差 4．（22-23七年级上·四川遂宁·期末）下列代数式中符合书写要求的是（　　） A． B． C．元 D． 5．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，一枚圆形方孔钱的外半径为r，中间方孔边长为a，则方孔钱的面积可表示（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）若，，则代数式的值为（    ） A． B．1 C．7 D．13 7．（24-25七年级上·河南濮阳·期末）一服装店“双十一”搞活动，按标价八折出售．老板把衣服在进价基础上提高后标价，衣服卖出后，老板（    ） A．亏损了 B．赚了 C．不亏不赚 D．无法判断 8．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）如图，是由A、B、E、F四个正方形和C、D两个长方形拼成的大长方形．已知正方形F的边长为8，拼成的大长方形周长为（    ）    A．64 B．36 C．32 D．16 9．（2023·云南昆明·二模）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按如图所示的规律，拼成如下若干地板图案，为探索出第个图案中白色地板砖的块数，同学们列出以下三种不同的代数式：①；②；③．其中正确的代数式有（　　）    A．个 B．个 C．个 D．个 10．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ）    ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长之差为定值； ④当时，阴影的周长比阴影的周长多． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题 11．（23-24七年级上·福建漳州·期末）写出只含有字母且次数为2的多项式 （写出一个即可）． 12．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知，则 ． 13．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 14．（24-25七年级上·江苏常州·期中）小马在计算一个多项式减去的差时，错将减法当成加法得到．请你帮助小马订正，正确的结果是 ． 三、解答题 15．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知，求的值． 16．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）请回答下列问题： (1)若多项式的值与的取值无关，求的值； (2)若是关于、的四次三项式，求值． 17．（21-22七年级上·贵州黔东南·期中）为鼓励居民节约用电，某市制定了用电收费标准：如果一户每月用电量不超过度，每度电费0.5元；如果超过度，超过部分按每度电费0.6元收费（不足1度按1度计算）． (1)若某户一月用电量为度（，该户应缴的电费是多少？ (2)当，时，计算该户应缴的电费是多少？ 18．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，． (1)化简：； (2)当，时，求（1）代数式的值； (3)试判断M，N的大小关系，并说明理由． 19．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）如图，在一个长方形休闲广场的四个角都设计一块形状大小都相同的三角形健身场地，每个三角形的两条直角边的长都是，已知长方形的长是，宽为． (1)列式表示广场空地的面积； (2)当，时，求广场空地的面积． 20．（24-25七年级上·福建莆田·期中）已知：，，回答下列问题： (1)填空： ________， ________； (2)若，求的值． 21．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图是用五角星摆成的三角形图案，每条边上有个点（即五角星），每个图案的总点数（即五角星总数）用表示． (1)观察图案，当时， ； (2)分析上面的一些特例，你能得出怎样的规律？（用表示 (3)当时，求． 22．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）（1）已知有理数a，b满足，，且，，求的值． （2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为1，求的值． 23．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价200元，运动袜每双定价40元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案二：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋20双和运动袜双（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款多少元？（用含的代数式表示，需化简） 若该客户按方案二购买，需付款多少元？（用含的代数式表示，需化简） (2)当时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？ 能力提升进阶练 1．（23-24七年级上·山西·期中）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（21-22六年级下·黑龙江绥化·期中）下列各组中的两个单项式不是同类项的是（    ） A．与 B．-3与0 C．与 D．与 3．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有8个★，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中的★个数为（　　） A．24个 B．26个 C．28个 D．30个 4．（18-19七年级上·全国·单元测试）若，则（   ） A． B．4 C．16 D．20 5．（15-16七年级上·重庆·期中）一个多项式加上得，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 7．（22-23七年级上·重庆·期中）如图，用若干根小木棒拼成图形，拼第1个图形需要3根小木棒，拼第2个图形需要7根小木棒，拼第3个图形需要11根小木棒…若按照这样的方法拼成的第n个图形需要103根小木棒，则n的值为（　　） A．34 B．36 C．26 D．24 8．（24-25七年级下·重庆·期中）用大小相同的“”按如图所示的规律拼图案，其中第个图案有个“”，第个图案有个“”，第个图案有个“”，按此规律排列下去，则第个图案中“”的个数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·新疆和田·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 10．（23-24七年级上·河南郑州·期中）如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）合并同类项： ． 12．（23-24七年级上·广东梅州·期中）体育委员带了元钱去买体育用品，若一个足球元，一个篮球元．买了3个足球，一个篮球，剩余 元． 13．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为 ． 14．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 三、解答题 15．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)． (2)． 16．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 17．（24-25七年级下·天津蓟州·开学考试）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知：，求（用含的代数式表示）； 18．（22-23七年级上·河北保定·期中）如图中的大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的． (1)图②的面积表示为：______；图④的面积表示为：______ (2)这个大正方形的面积是多少？ (3)当时，求此大正方形的面积，并用与你计算过程不同的方法验证计算的结果． 19．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．观察下面式子，完成以下问题： ，，，… (1)请写出第10个式子：___________； (2)请用含的式子表示第个式子：___________； (3)计算：； (4)思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，请类比上题的方法计算：． 20．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，有足够多的完全相同的小长方形（图）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为． (1)如图，若，，，直接写出的面积____ ，的面积 ____； (2)如图，当，时，直接写出和的周长和是 ____ ； (3)如图，若大长方形分割为个小正方形，且中间的最小正方形的边长是，求大长方形的面积． 21．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值． 22．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形； 【规律发现】（）第个图案有______个正方形； （）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形； 【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由． 23．（24-25七年级上·福建厦门·期中）在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实验，如图1所示，轨道长为，轨道架上有三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，轨道左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A、B两球相距．现以轨道所在直线为数轴，假定A球在原点，B球代表的数为40，如图2所示，解答下列问题： (1)在数轴上，找出C球及右挡板E所代表的数，并填在图中括号内． (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． ①现A球以每秒的速度向右匀速运动，则A球第二次到达B球所在位置时用了______秒；经过63秒时，A、B、C三球在数轴上所对应的数分是______、______、______； ②如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒，B球速度是每秒，当A、B两球相撞时停止运动．试探究在运动过程中是否为定值？请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 整式及其加减（复习讲义） 一、学习目标 1.理解掌握整式、单项式、多项式的概念； 2.能熟练指出单项式的系数、次数和多项式的项数、次数，能把一个多项式写成按某个字母的降幂或升幂排列； 3.掌握合并同类项法则； 4.能灵活应用去括号或添括号法则，进行整式加减运算. 5.了解和掌握整体带入思想 6.能够快速理解应用题题意列出代数式 二、学习重点：合并同类项法则；去括号或添括号法则;列代数式 三、学习难点：去括号或添括号法则，整体带入思想, 理解应用题题意列出代数式 1、用字母表示数 用字母表示数是代数的一个重要特点，有了用字母表示数的知识，使具有相同性质的不同数学问题可以用同一个式子表示出来：如， 长方形的长为 acm，宽为bcm，长方形的面积是abcm2 一件商品的单价为a元，买了b件，则总价为ab元； 将一笔钱存入银行，每月可获利息a元，存了b个月，则共获利息ab元， 这里同用代数式ab，但它却表示了不同的实际意义。用字母表示数，还可以使数量关系的表示简洁明了，更具普遍意义，给研究和计算带来了极大的方便。如： 有理数的减法法则用文字叙述很麻烦，但用字母表示可表示成：a－b=a＋(－b)，简洁明了。 又如有一组数据：0，3，8，15，24，….按此规律，大家可以一直写下去，但永远也写不完.如果用字母表示，则第n项可以记作n2－1，这样就使这一规律更具普遍意义。 2、代数式 （1）代数式的定义： 代数式是数与数之间、数与字母之间，字母与字母之间用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）连结起来的式子.所以代数式中可以有“＋”、“－”、“×”、“÷”（或分数线）、乘方等运算符号，但不能有“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号。另外，单独的一个数或字母也是代数式.如：(a＋b)2含有加法和乘方运算是代数式； 含有加法、乘、除法运算也是代数式，a，0，1是单独的数或字母，也是代数式，而2a=3，a>5.由于含有“=”和“>”，因此不是代数式. （2）代数式的规范书写 书写代数式时应注意以下原则： ①代数式中出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如 6×b常写作6·b或6b.但数与数相乘不遵循此原则，如6×8不能省略乘号，否则就写成了68，也不宜将“×”改为“·”，否则就写成了6·8，容易与6.8混淆。 ②数字与字母相乘时，数字写在字母前面，而有理数又要写在无理数前面，如 6b一般不写作b6，2πr2不写作π2r2. ③除法运算写成分数形式，如 1÷a，通常写作 （a≠0）. ④相同字母相乘，一般不把每个因数写出来，而是写成幂的形式，如 a·a写作a2，a·a·a写作a3. 3、列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念。 4、求代数式的值应注意的问题： (1）若代数式中省略了乘号、代入数值后应添上“×”号； （2）若代入的值是负数或分数时，应添上括号； （3）注意解题格式规范，应写成“当……时，原式=……”的形式； （4）代数式的字母可取不同的值，但所取的值不应该使所在的代数式或实际问题无意义. 5、正确理解单项式的有关概念 （1）单项式的定义 数与字母的乘积组成的代数式为单项式，单独一个数或一个字母也是单项式， 如 6，a都是单项式.因此，单项式只能含有乘法以及以数字为除数的除法运算，不能含有加减运算，更不能含有以字母为除式的除法运算. （2）单项式的系数 单项式中的数字因数叫单项式的系数，如－2xy2的系数为－2.单项式的系数为1或－1时，通常省略不写，但“－”号不能省略.如1ab写成ab，－1ab写成－ab. （3）单项式的次数 一个单项式，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 .如5x2y4的次数为6(2＋4=6).一个单项式的次数是几，我们习惯上又称作这个单项式是几次单项式.如5x2y4是六次单项式。单项式中字母的指数为1时，1省略不写，但计算单项式次数时不能丢掉，或误认为是0.如5xy2的次数是1＋2=3，而不是2. 6、理解并掌握多项式的有关概念 （1）多项式的意义 几个单项式的和叫做多项式 .多项式中含有加减运算，也可以含有乘方，乘除运算，但不能含有以字母为除式的除法运算，如 不是多项式. （2）多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 .其中，不含字母的项，叫做常数项.常数项在多项式中次数最低.多项式有几项，我们习惯上又称为“几项式”，如 是二项式. （3）多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数 .如x2＋1－3x4的次数是4.因x2＋1－3x4是由单项式x2，1，－3x4三项组成的.因此，x2＋1－3x4又可称作“四次三项式”. 7、多项式的排列 （1）升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的升幂排列. （2）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按这个字母的降幂排列. 8、整式的意义 单项式与多项式统称为整式 .整式中不能含有以字母为除式的除法运算. 9、同类项概念及合并同类项的方法 （1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 （2）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （3）合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 10、去括号和添括号的法则 （1）去括号法则 括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”去掉，括号里各项都不变符号； 括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”去掉，括号里各项都改变符号。 （2）添括号法则 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”，括到括号里面的各项都改变符号。 注意：添括号去括号正好是相反的两个过程，可以相互检验正误。 11、整式加减的方法与步骤 整式加减一般步骤 （1）如果有括号，应先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 题型一 列代数式 【例1】下面的选项中，能用表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的意义，逐项列出代数式即可判断． 【详解】解：A、线段长度表示为，故不符合题意； B、最大长方形面积为，故不符合题意； C、长方体的体积为，故不符合题意； D、长方形周长为：，符合题意， 故选：D． 【变式1-1】四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列代数式：参加书法人数参加绘画的人数，不要写成了．由题意可知书法小组人数=（参加绘画的人数，依此列出算式即可作出选择． 【详解】解：根据题意，书法小组的人数为， 故选：C． 【变式1-2】3．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）一支铅笔的价格是a元，一块橡皮的价格是b元，买2支铅笔和7块橡皮应付 元． 【答案】/ 【分析】本题考查用字母表示数，解决本题的依据是总价单价数量． 根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买2支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元， 买2支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 题型二 代数式的概念 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查代数式，掌握用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可． 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个． 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式定义，正确理解代数式的定义是解题的关键．利用代数式定义“代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子”逐个判定即可得到答案． 【详解】解：，，这个是代数式， 故选：B． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海静安·期末）在下列各式中，不是代数式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据代数式的定义进行作答，即可求解； 【详解】解：代数式的定义：是指用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也可以被看作是代数式； A．，是代数式； B．，是等式，不是代数式； C．，是代数式； D．，是代数式； 故选：B． 题型三 代数式的书写格式 【例3】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C． D．元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写规范，解题的关键是熟悉代数式书写的各项规则，如除法写成分数形式、带分数化为假分数、单位标注要求等． 依据代数式书写规范，对每个选项逐一分析判断． 【详解】A、在代数式中，除法运算应写成分数形式，正确的书写应该是，而不是使用“÷”符号，所以该选项不符合题意． B、代数式中带分数要转化为假分数，正确的书写应该是，避免带分数与变量产生混淆，所以该选项不符合题意． C、将除法以分数形式表示，分子是多项式时书写正确，所以该选项符合题意． D、当代数式包含单位时，单位应标注在整个表达式后面，且表达式是多项式时，要用括号括起，元正确的书写应该是元，所以该选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写要求．根据代数式的书写要求即可作出判断． 【详解】解：A、应写成，故本选项不符合题意； B、应写成，故本选项不符合题意； C、书写正确，故本选项符合题意； D、应写成，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级上·吉林松原·期中）学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（   ） A． 个 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：多项式后面有单位时，多项式必须用小括号括起来，因此个书写错误，故A错误； 代数式中不能出现乘号且数字在前，因此书写错误，故B错误； 符合书写要求，故C正确； 应该为，故D错误． 故选：C． 题型四 单项式的判断 【例4】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，根据单项式的定义：数字与字母的积的形式，单个数字或字母也是单项式，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：用减号连接两个项，是多项式，不是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：数字与字母的积，是单项式． ：分母含字母，是分式，不是单项式． ：单独的数字，是单项式． ：单独的字母，是单项式． 综上，共有4个单项式， 故选C． 【变式4-1】（24-25七年级上·福建南平·期中）下列结论中正确的是（     ） A．单项式的次数是3 B．3不是单项式 C．多项式是三次三项式 D．单项式m没有系数 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式，根据单项式的系数、次数以及多项式的次数和项数的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：A．单项式中，字母的指数是2，常数不计入次数，故次数为2，选项A错误． B．单项式可以是单独的数，3是单项式且次数为0，选项B错误． C．多项式中，次数为2，次数为，常数项次数为0，最高次数为3，共有三项，故为三次三项式，选项C正确． D．单项式的系数为1（隐含的系数），选项D错误． 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级上·重庆秀山·期末）式子，，，，，，中，单项式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的判断，正确理解单项式的定义是解题关键．由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，分数和字母的积的形式也是单项式，由此判断即可． 【详解】解：单项式有、、，共3个 故选：A． 【变式4-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）在①，②，③，④，⑤，⑥中，属于单项式的有 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查单项式的定义，数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义是解题的关键． 【详解】解：式子，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子，，不是单项式； 式子为等式，不是单项式； 故单项式有①③． 故答案为：①③． 题型五 单项式的系数和次数 【例5】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据单项式系数和次数的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和即可求解． 【详解】解：单项式中， ∵数字因数为， ∴系数为， ∵字母部分的指数是，的指数是， ∴次数为， ∴系数为，次数为3， 故选：D． 【变式5-1】（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知关于x，y的单项式与的次数相同，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式的次数计算，根据题意列出方程计算即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（17-18七年级上·重庆九龙坡·阶段练习） 的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查单项式的系数及次数，根据单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数的和是次数即可解答． 【详解】解： 的系数是，次数是4． 故答案为：，4 【变式5-3】（2025·河南驻马店·三模）请写一个次数为4的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的次数：单项式中所有字母指数的和；据此写出一个4次单项式即可． 【详解】解：次数为4的单项式可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 题型六 多项式的判断 【例6】（24-25六年级上·山东东营·期中）在代数式中，有（   ）个整式． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的概念及单项式与多项式，整式包括单项式和多项式，整式是分母中不能含有字母的式子．根据整式、单项式、多项式的概念即可判断． 【详解】解：是单项式，也是整式； 是多项式，也是整式； 分母含字母，既不是单项式也不是多项式，不是整式； 综上，共有6个整式， 故选B． 【变式6-1】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）下列说法正确的是：（   ） A．的系数是 B．的次数是5次 C．是多项式 D．的常数项为1 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意； B、的次数是次，原说法错误，不符合题意； C、是多项式，原说法正确，符合题意； D、的常数项为，原说法错误，不符合题意； 故选；C． 【变式6-2】（23-24七年级上·青海西宁·期中）把下列代数式分别填在相应的括号内．    (1)单项式：｛             …｝ (2)多项式：｛             …｝ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式、多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据单项式是数与字母的积可得答案； （2）根据多项式是几个单项式的和可得答案． 【详解】（1）解∶ 单项式：｛…｝ （2）解∶ 多项式：｛，…｝ 【变式6-3】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                } 多项式{                                } 【答案】，0，，， ；，， 【分析】本题主要考查整式的有关概念及分类，注意区分单项式与多项式的概念是解答本题的关键．“由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式．” “几个单项式的和叫做多项式．”根据单项式和多项式的定义一一判断即分类即可． 【详解】解：单项式{，0，，， } 多项式{，， } 题型七 多项式的项、项数、次数 【例7】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）已知多项式是关于的四次二项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，多项式的有关概念，代数式求值．掌握多项式的有关概念是解题的关键． 先合并同类项，再根据四次二项式的定义得到m，n的值，再代入中，计算求解即可； 【详解】解：， ∵该多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海·假期作业）指出一次式中的一次项，常数项及一次项的系数 【答案】一次式中的一次项是和，常数项是，其中一次项的系数分别是1， 【分析】本题考查了多项式的相关概念．根据多项式的概念作答即可． 【详解】解：一次式中的一次项是和，常数项是，其中一次项的系数分别是1和． 【变式7-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，熟练掌握定义是解题的关键；直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】A．单项式的系数是，而非，故错误，该选项不符合题意； B．多项式中，项的系数是1，但题目未指明具体项的系数，故错误，该选项不符合题意； C．单项式的次数为字母指数之和，即的次数为，而非6，故错误，该选项不符合题意； D．多项式由（一次项）、（二次项）和（常数项）组成，最高次数为2，且有三项，是二次三项式，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期中）若关于x的多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式项与次数，掌握多项式及相关概念是解题的关键；由题意得，且，由此求得m的值． 【详解】解：∵关于x的多项式是四次三项式， ∴，且， ∴； 故答案为：． 题型八 已知子母的值求代数式的值 【例8】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．先依据非负数的性质求得，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得： ∴ 故答案为：． 【变式8-1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）如果x的倒数是，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的概念以及代数式的计算，正确求出x的值是解决本题的关键． 先根据倒数的概念求出x的值，再将x代入代数式求解即可． 【详解】解：∵x倒数是， ∴， 将代入代数式． 故答案为： ．【变式8-2】（24-25七年级上·吉林四平·阶段练习）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭，其余部分种植花圃（阴影部分）． 如图是一块长方形花园，内部有两个过道，其余部分种植花圃（阴影部分） (1)用含的代数式表示花圃的面积； (2)若，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1) (2)17600元 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键． （1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可； （2）把的值代入计算即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 答：花圃的面积是； （2）解：当时，花圃面积为，修建花圃所需费用（元）． 答：修建花圃所需费用为17600元． 【变式8-3】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段． (1)探究：按如图的方式剪切，在括号里填写适当的数． (2)总结：如果剪切次数用表示，分成的段数用表示时，和的关系是（    ）． (3)应用：像这样如果剪切次，会分成（    ）段． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了图形的规律变化问题，代数式求值，由已知图形找到变化规律是解题的关键． （1）根据图形解答即可； （2）根据已知图形找到变化规律即可； （3）把代入（）所得规律求出的值即可； 【详解】（1）解：由图可得，剪次分成段，剪次分成段， 故答案为：，； （2）解：∵剪次分成段， 剪次分成段， 剪次分成段， ， ∴剪次分成的段数， 故答案为：； （3）解：当时，， 故答案为：． 题型九 单项式规律探究 【例9】（2025·云南玉溪·一模）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了寻找规律，观察单项式的符号、系数和指数的规律，得出第n个单项式的通式为，代入即可求解． 【详解】解：符号规律：单项式符号依次为正、负交替，第n项的符号为， 系数规律：系数绝对值为1, 3, 5, 7,…，即，结合符号得系数为， 指数规律：x的指数为项数n，即， ∴第n个单项式的通式为， 因此，第2025个单项式为， 故选：A． 【变式9-1】（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）观察下列关于的单项式，探究其规律：按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式规律题，观察单项式的系数和次数规律，系数为连续的奇数，次数为项数对应的自然数，据此即可求解； 【详解】解： 系数规律：第1项系数为1，第2项为3，第3项为5， ∴第项的系数为： 次数规律：第项的次数为，即第项的次数为， ∴第个单项式为： 故选：B 【变式9-2】（24-25七年级下·云南楚雄·期末）观察一组单项式：．根据你发现的规律，第个单项式应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察单项式的系数和指数的规律，发现符号交替变化，系数分子为n，分母为2，指数为n次方． 【详解】解：指数规律：，，，， 则第项指数为， 系数规律：，，，，，，， 则第项分子为，分母为2，符号由决定（奇数项负，偶数项正）， 第项为， 故选：C． 【变式9-3】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，......，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的规律问题，观察单项式的系数和指数变化规律，分别找出系数和a的指数与项数n的关系． 【详解】系数规律：系数依次为2，4，8，16，32，…，即，…，故第n项的系数为． 指数规律：a的指数依次为2，3，4，5，6，…，即第1个指数为，第2个为，依此类推，第n个指数为． 综合规律：第n个单项式为系数与a的指数的组合，即． 故选C． 题型十 多项式的系数、指数中求字母 【例10】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）如果整式是关于x的二次三项式，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式的定义，观察已知的整式，由二次三项式的定义可知“二次”指次数最高项的次数是2，结合整式可得，由此可解． 【详解】解：整式是关于x的二次三项式， ， ， 故答案为：4． 【变式10-1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）多项式中，不含项，那么k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式中不含有某某项就是指多项式合并同类项后该项的系数为0即可．由于不含项，令前的系数为0即可求解． 【详解】解：∵多项式中，不含项， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式10-2】（2025·江西抚州·一模）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：2． 【变式10-3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件 【答案】(1)1 (2)且 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 题型十一 已知式子的值求代数式的值 【例11】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4，求式子的值？ 【答案】当时，1；当时， 【分析】本题考查了代数式求值、相反数、绝对值以及倒数，熟练掌握各自的定义是解题关键．由题意可得，，，再分别代入计算求值即可． 【详解】解： a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为4， ，，， 当时，， 当时，． 综上可知，的值为1或． 【变式11-1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，则的值为（    ） A．7 B．10 C．13 D．17 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，把原式化为，然后整体代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式11-2】（2025·河南信阳·三模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值，整体代入是关键．根据题意得到，把变形为，利用整体代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 【变式11-3】（24-25七年级下·河北承德·期末）已知，则代数式的值为（  ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【答案】B 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，把代入计算即可． 【详解】∵， ∴ ． ∴． 故选B． 【变式11-4】（16-17七年级上·广东惠州·阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2)3或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）当时，原式； 当时，原式， 则原式的值为3或． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法与整体代入求值，需正确计算出代数式并整体代入是解决本题的关键． 先使用多项式乘多项式的运算法则计算代数式，再将整体代入即可求解． 【详解】解：∵代数式， 又∵， ∴代入上式有， ∴代数式的值为． 故答案为： ． 题型十二 同类项判断 【例12】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是掌握同类项定义和整式加减运算法则． （1）先通过合并同类项化简式子，再代入的值计算． （2）先根据同类项定义求出、的值，再代入多项式求值． 【详解】（1）解： 把代入，可得： 原式 ； （2）解：已知与是同类项，所以， 把代入， 原式 ． 【变式12-1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列各组单项式中，同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项解答即可． 【详解】A. 与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项； B. 与所含相同字母的指数不相同，不是同类项； C. 与所含字母不相同，不是同类项； D. 与所含字母不相同，不是同类项； 故选：A． 【变式12-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下列说法错误的是（         ） A．与是同类项 B．是多项式 C．是四次四项式 D．与的差为0 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，多项式的定义，整式的加减，掌握相关定义和运算法则是解题关键．根据同类项和多项式的定义，整式的加减运算逐项判断即可． 【详解】解：A、与是同类项，说法正确，不符合题意； B、是多项式，说法正确，不符合题意； C、是四次四项式，说法正确，不符合题意； D、，即与的差不是0，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式12-3】（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单独的两个数字也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：A、2与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意； 故选：D． 题型十三 合并同类项 【例13】（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算法则，逐一判断各选项是否正确，重点检查是否为同类项及合并过程是否正确． 【详解】解：A. 与不是同类项，无法合并为，故错误； B. 与的字母a的指数不同，不是同类项，无法相减得到，故错误； C. 与中a和b的指数不同，不是同类项，无法相减得0，故错误； D. 与是同类项（），合并后为，故正确． 故选：D． 【变式13-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义及合并同类项法则． 根据合并同类项法则，对每个选项逐一分析判断． 【详解】A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、，合并同类项应为，原计算错误，故此选项不符合题意；． 故选：B． 【变式13-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是合并同类项，根据合并同类项的法则逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A：，但选项A结果为，错误． 选项B：．选项B结果正确． 选项C：为不是同类项，无法合并，结果非，错误． 选项D：，但与非同类项，无法合并为，错误． 故选：B 【变式13-3】（24-25七年级上·四川乐山·期末）下列合并同类项，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，解题的关键是掌握同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 根据合并同类项的法则，逐一分析各选项是否正确，合并同类项时，系数相加减，字母及其指数保持不变． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，不符合题意； B．，此选项错误，不符合题意； C．，此选项错误，不符合题意； D．，此选项正确，符合题意． 故选D． 题型十四 去括号 【例14】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键，根据整式的混合运算，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式14-1】（24-25七年级下·四川泸州·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．根据整式加减运算法则进行化简即可． 【详解】解： ． 【变式14-2】（2025·贵州铜仁·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，包括去括号法则和合并同类项，根据同类项的定义及运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．和不是同类项，无法合并，故，故A错误； B．去括号时，括号前负号使括号内各项符号改变：，故B正确； C．分配律应用错误：，但选项结果为，故C错误； D．合并同类项时系数计算错误：，故D错误． 故选：B． 【变式14-3】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）去括号应得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号法则的应用，当括号前是负号时，去掉括号后，括号内的每一项都要改变符号；根据括号前是负号时的法则去括号即可． 【详解】解：； 故选：A． 题型十五 添括号 【例15】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）下计算中，运算正确的有（    ） ①；② ；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数加法，乘法，合并同类项，添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据运算法则及添括号法则逐个判断即可． 【详解】解：①，错误； ② ，正确； ③，错误； ④与不是同类项，不能合并，错误； 则正确的有②，共1个， 故选：A． 【变式15-1】（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，则代数式的值为（ ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴当时， ． 故选：A． 【变式15-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 【变式15-3】（2025·广东深圳·二模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，根据已知，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 题型十六 整式的加减运算 【例16】（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） = = 【变式16-1】（24-25七年级下·浙江·假期作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 本题主要考查整式的加减计算，合并同类项，去括号，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式16-2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．直接利用数轴上，，的位置进而得出，，，，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴可得：，，，， ∴，，，， ． 【变式16-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出． 由图可知，，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案． 【详解】解：由图可知， ∴，， ∴ ． 故选：B． 题型十七 整式化简求值 【例17】（24-25七年级上·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则． 【详解】解： ， 当时， ． 【变式17-1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）先化简，再求值：若，求的值． 【答案】；36 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性，整式的化简求值，先求出a与b的值正确化简是解决本题的关键．先根据整式的运算，即去括号再合并同类项化简，再利用绝对值与平方数的非负性求解a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，, ∴上式 ． 【变式17-2】（18-19七年级上·云南文山·阶段练习）先化简，再求值 其中， 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，利用去括号：括号前是负数去括号都变号，括号前是正数去括号不变号是解题关键． 根据去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案． 【详解】原式 当，时，原式． 【变式17-3】（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟知同类项的定义是解答的关键．先根据整式的加运算法则化简原式，再根据同类项的定义求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴， 解得，， 原式． 题型十八 正式加减的应用 【例18】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题：如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？爱动脑筋的小聪同学这样来解：原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为____________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，B两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）-13；（3）2小时或4小时． 【分析】此题考查了代数式求值以及应用，整式的加减应用， （1）整体代入求解即可； （2）将原式变形，然后整体代入求解即可； （3）根据题意得到，然后分相遇前和相遇后两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）, ； （3）由题意得 则 若相遇前两人相距20千米时， （小时） 若相遇后两人相距20千米时 （小时） 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米 【变式18-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）阅读下面材料： 当两个数或两个代数式的大小关系不好比较时，我们可以转化成求它们的差来比较，这种方法叫作“求差法”，比如： 若，则； 若，则； 若，则． 请用以上材料解决下列问题： (1)用“求差法”比较大小关系时，用到的数学思想是______． A．分类讨论    B．数形结合    C．转化思想    D．建模思想 (2)如图1中正方形的边长为，图2中圆的直径为． ①若正方形的周长为A，圆的周长为B，试用“求差法”比较的大小； ②若正方形的面积为P，圆的面积为Q，试用“求差法”比较的大小． (3)综合（2）中的两个结论，你从中得到的启示是：______． 【答案】(1)C (2)①；② (3)正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积 【分析】本题考查了整式的加减，读懂题意理解求差法，并会运用是解答本题的关键． （1）根据题意得知求差法”探究大小关系时，分为了，，三种情况，所以体现出的数学思想是分类讨论； （2）①用分别表示出正方形和圆的周长，利用求差法进行比较即可； ②①用分别表示出正方形和圆的面积，利用求差法进行比较即可； （3）正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 【详解】（1）解：“求差法”探究大小关系时，转化为差与零的大小比较， 体现出的数学思想是转化思想， 故选：C； （2）解：①，， ， ； ②，， ， ； （3）解：正方形和圆，在周长相等的情况下，圆的面积大于正方形的面积． 【变式18-2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为的正方形，乙卡片是宽为1，长为的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含的式子分别表示______，______； (2)当时，分别求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，整式加减运算，掌握矩形的面积公式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）式即可； （3）根据作差法比较大小． 【详解】（1）解： ，； 故答案为：，； （2）解：当时， ； ； （3）解：； 理由：， ， ， ， ． 【变式18-3】（2025·河北唐山·三模）把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据各线段的数量关系列出代数式，并正确进行计算是解题关键． 根据题意可表示出正方形A、的边长，再根据图中长方形的周长为，可求出的值；根据图的周长比阴影部分的周长多个A的边长，可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由图可得，正方形的边长为， 正方形的边长为， ， ， 如图，阴影部分的周长比图的周长少个的边长， 阴影部分的周长： ． 故答案为：． 题型十九 图形规律探究 【例19】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图有 个点． 【答案】30 【分析】本题考查图形类规律探究，根据已有图形，推出，第（）个点阵图有个点，进行求解即可． 【详解】解：第（1）个点阵图有个点； 第（2）个点阵图有个点； 第（3）个点阵图有个点； ， ∴第（）个点阵图有个点， ∴第（9）个点阵图有个点； 故答案为：30 【变式19-1】（24-25七年级下·四川广元·期末）将边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律摆放，第1个图案中有5个正方形，第2个图案中有7个正方形，第3个图案中有9个正方形……，按此规律摆放，第2025个图案中正方形的个数是（    ） A．4046 B．4047 C．4050 D．4053 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1个图案中有个正方形， 第2个图案中有个正方形， 第3个图案中有个正方形， ……， 第n个图案中有个正方形， ∴第2025个图案中正方形的个数是个， 故选：D． 【变式19-2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）根据如图中点的排列规律，第幅图中共有 个点，第幅图中共有 个点． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律类问题，由图可知，后面一个图形比前面一个图形多个点，即可得幅图中共有个点，再求出时代数式的值即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，后面一个图形比前面一个图形多个点， ∴第幅图中共有个点， 当时，， ∴第幅中共有个点， 故答案为：，． 【变式19-3 】（24-25七年级下·山西临汾·期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层、下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（    ）个 A．3032 B．3033 C．3034 D．3035 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第个图形中黑色正方形的数量是解题的关键． 根据图形的变化规律归纳出第个图形中黑色正方形的数量即可． 【详解】解：根据图形变化规律可知： 第1个图形中黑色正方形的数量为， 第2个图形中黑色正方形的数量为， 第3个图形中黑色正方形的数量为， 第4个图形中黑色正方形的数量为， 第5个图形中黑色正方形的数量为， 第6个图形中黑色正方形的数量为， … 当为奇数时，黑色正方形的个数为， 当为偶数时，黑色正方形的个数为， 第2021个图形中黑色正方形的数量是， 故选：A． 题型二十 带有字母的绝对值化简 【例20】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知a，b，c均为非零有理数，且满足 ，求 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的定义以及有理数乘除法的运算，熟练掌握相关知识点以及分类讨论思想的运用是解题关键. 根据可知，的积为负数，则为两正一负或三负；再利用有理数加法、除法法则计算即可. 【详解】解：∵ ∴为两正一负或三负 当为两正一负时，， 当为三个负数时，； 故答案为：或 【变式20-1】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）若，则的值为 ． 【答案】、0 【分析】本题考查化简绝对值，分四种情况：；；；，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：若，有四种情况：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上可知，若，则的值为、0． 故答案为：、0． 【变式20-2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 【变式20-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 题型二十一 整式加减中的无关问题 【例21】（24-25七年级下·内蒙古乌海·期末）要使多项式化简后不含有的二次项，则等于（    ） A．0 B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，先将多项式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为0，解方程即可． 【详解】解： ， 多项式化简后不含有的二次项， 令二次项系数为0，即， 解得， 故选：C． 【变式21-1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是合并同类项，代数式求值的有关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 首先合并同类项，然后求出，最后再代入计算即可． 【详解】解：原式， 由题意，得， 解得， 所以． 【变式21-2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知多项式化简后不含项． (1)求的值； (2)化简并求多项式的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并得到最简结果，由结果不含项，即可得到的值； （2）先将所求式子去括号合并得到最简结果，再将（1）中所求的的值代入，计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 结果不含项， ， 解得； （2） ， 当时，原式． 【变式21-3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 题型二十二 降幂排列与升幂排列 【例22】（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式按照某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按照这个字母降幂排列．本题考查多项式的降幂排列，掌握方法并注意符号不变才能正确求解． 【详解】解：依题意，按字母的降幂排列为 故选：C 【变式22-1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 【变式22-2】（24-25七年级上·北京·期中）对于多项式，下列结论正确的是（    ） A．这个多项式的项为，， B．这个多项式是二次三项式 C．这个多项式的常数项为5 D．这个多项式按a的降幂排列是 【答案】D 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，与多项式相关的概念：多项式的次数、项、常数项及项的系数，几个单项式的和叫做多项式，组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数；根据这些知识去判断即可． 【详解】解：多项式的项分别是，，，故A选项不符合题意； 多项式是三次三项式，故B选项不符合题意； 多项式这个多项式的常数项为，故C选项不符合题意； 这个多项式按a的降幂排列是，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式22-3】（24-25七年级下·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念． （1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降幂排列，由此即可得到答案． （2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升幂排列，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式按的降幂排列为： （2）解：多项式按的升幂排列： 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列合并同类项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不合题意； D、，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 2．下列关于单项式的说法正确的是（　　） A．系数是，次数是8 B．系数是，次数是8 C．系数是，次数是5 D．系数是，次数是5 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数，单项式的次数，理解单项式的系数与次数是解题的关键．直接根据单项式的系数与次数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的系数是，次数是5． 故选：C． 3．用语言叙述表示的数量关系中，表述不正确的是（    ） A．比x倒数小3的数 B．比x倒数大3的数 C．x的倒数与3的差 D．1除以x的商与3的差 【答案】B 【分析】本题考查代数式的语言叙述，掌握代数式的含义是解决问题的关键． 【详解】解：A、比x倒数小3的数，表述正确，不符合题意； B、比x倒数大3的数表示为，该选项表述不正确，符合题意； C、x的倒数与3的差，表述正确，不符合题意； D、1除以x的商与3的差，表述正确，不符合题意； 故选：B． 4．下列代数式中符合书写要求的是（　　） A． B． C．元 D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求： 1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面； 2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数； 3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写； 4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式； 5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位， 据此即可一一判定. 【详解】A，正确的书写为或，故A错误； B，正确的书写为，故B错误； C，符合代数式的书写要求，故C正确； D，正确的书写为，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键． 5．如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，一枚圆形方孔钱的外半径为r，中间方孔边长为a，则方孔钱的面积可表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，方孔钱的面积等于圆的面积减去中间小正方形的面积，由此可解． 【详解】解：圆的面积为，中间小正方形的面积为， 因此方孔钱的面积可表示， 故选：D． 6．若，，则代数式的值为（    ） A． B．1 C．7 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是正确计算． 根据题意将，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 7．一服装店“双十一”搞活动，按标价八折出售．老板把衣服在进价基础上提高后标价，衣服卖出后，老板（    ） A．亏损了 B．赚了 C．不亏不赚 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，设衣服的进价为元，读懂题意，找出数量关系，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】解：设衣服的进价为元， 由题意得：， ∴老板亏损了， 故选：． 8．如图，是由A、B、E、F四个正方形和C、D两个长方形拼成的大长方形．已知正方形F的边长为8，拼成的大长方形周长为（    ）    A．64 B．36 C．32 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，正确列代数式表示出矩形的长和宽是解题关键． 设正方形A的边长为m，则正方形B的边长为，正放心E的边长为，那么，，然后根据矩形的周长公式列式计算即可． 【详解】解：设正方形A的边长为m，则正方形B的边长为，正放心E的边长为， ∴，， ∴拼成的大长方形周长为． 故选：A． 9．用黑白两种颜色的正六边形地板砖按如图所示的规律，拼成如下若干地板图案，为探索出第个图案中白色地板砖的块数，同学们列出以下三种不同的代数式：①；②；③．其中正确的代数式有（　　）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据图形可分为三种图形，找出规律计算即可解答． 【详解】解：根据图形可以发现，当只有一个完整图案时是块白色的地板砖，增加一个图案就增加了块白色地板砖， ∴增加第个时，白色地板砖的块数就是， 故①正确； 每个图案块白色的地板砖，个图案就是个白色地板砖，但拼接时每个图案之间重叠块，所以就少块，共少了块， 因此个图案一共有白地板砖： ， 故②正确； 每个图案中黑地板砖上下个一块白色地板砖，左右各两块白色地板砖，因此个图案中白地板砖的块数是： , 故③正确． 故选． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，通过特列分析找出规律是解题的关键． 10．如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ）    ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长之差为定值； ④当时，阴影的周长比阴影的周长多． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减、代数式的求值，掌握合并同类项，理解题意，根据题目要求用或表示有关的线段是解答本题的关键． ①由小正方形的较短边为，大长方形长为，知小长方形的较长边为； ②由阴影的较长边，较短边，阴影B的较长边，较短边，阴影的较短边和阴影B的较短边之和； ③阴影和阴影的周长之差为：，若为定值，则阴影和阴影的周长之差为定值； ④阴影的周长比阴影的周长多，当时，原式，阴影的周长比阴影的周长少． 【详解】解：①小长方形的较短边为，大长方形长为， 小长方形的较长边为， ①说法正确； ②阴影的较长边，较短边， 阴影B的较长边，较短边， 阴影的较短边和阴影B的较短边之和为， ②说法不正确； ③阴影和阴影的周长之差为， 若为定值，则阴影和阴影的周长之差为定值， ③说法正确； ④阴影的周长比阴影的周长多， 当时，原式， 阴影的周长比阴影的周长少， ④说法正确． 故选：． 二、填空题 11．写出只含有字母且次数为2的多项式 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，多项式的次数和多项式的项等知识点．根据多项式的次数、概念来解答． 【详解】解：由于多项式次数为2，即最高项次数为2， 此多项式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及合并同类项是解题的关键；由数轴可知，然后化简绝对值，进而问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：， ∴； 故答案为． 14．小马在计算一个多项式减去的差时，错将减法当成加法得到．请你帮助小马订正，正确的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，设多项式为，按照小马计算可得，然后正确解法为，然后根据合并同类项法则即可求解，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：设多项式为， 按照小马计算可得：， ∴， ∴正确的结果是， 故答案为：． 三、解答题 15．已知，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 先利用去括号、合并同类项法则化简整式，然后根据绝对值和偶次方的非负性得到a和b的值，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ，， ∴，， 原式 ． 16．请回答下列问题： (1)若多项式的值与的取值无关，求的值； (2)若是关于、的四次三项式，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，理解值与的取值无关，四次三项式的含义，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）先合并同类项得到，根据值与的取值无关，得到，，求出的值，代入计算即可； （2）根据四次三项式，，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵原式的值与x的值无关， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．为鼓励居民节约用电，某市制定了用电收费标准：如果一户每月用电量不超过度，每度电费0.5元；如果超过度，超过部分按每度电费0.6元收费（不足1度按1度计算）． (1)若某户一月用电量为度（，该户应缴的电费是多少？ (2)当，时，计算该户应缴的电费是多少？ 【答案】(1)该户应缴的电费是元 (2)当，时，该户应缴的电费是元 【分析】（1）根据单价×数量=总价，分段计算再求和即可． （2）把数据代入第一题的式子即可． 【详解】（1）该户应缴的电费是元 （2）当，时，该户应缴的电费是元 【点睛】本题考查代数式表示的意义的实际运用，正确列出代数式是解题关键． 18．已知，． (1)化简：； (2)当，时，求（1）代数式的值； (3)试判断M，N的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减、整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解； （3）求出的值，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，理由如下： ， ∴． 19．如图，在一个长方形休闲广场的四个角都设计一块形状大小都相同的三角形健身场地，每个三角形的两条直角边的长都是，已知长方形的长是，宽为． (1)列式表示广场空地的面积； (2)当，时，求广场空地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用长方形休闲广场的面积减去四个等腰直角三角形的面积即可； （2）将、的值代入上述代数式求值即可． 【详解】（1）广场空地的面积； （2）将，代入，得： ， 答：广场空地的面积． 【点睛】本题考查列代数式，代数式求值．利用数形结合的思想是解题关键． 20．已知：，，回答下列问题： (1)填空： ________， ________； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)8或 【分析】本题考查了绝对值方程，求代数式的值，分两种情况求解是解题的关键． （1）根据绝对值方程的解法，即得答案； （2）若，则可分两种情况，，和，，分别代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，或，， 当，，时， ， 当，时， ． ∴的值为8或． 21．如图是用五角星摆成的三角形图案，每条边上有个点（即五角星），每个图案的总点数（即五角星总数）用表示． (1)观察图案，当时， ； (2)分析上面的一些特例，你能得出怎样的规律？（用表示 (3)当时，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，代数式求值，掌握“探究的方法，并运用规律解题”是关键． （1）分别计算前5个图形的五角星的总数，且用含有相同规律分形式表示出来； （2）由（1）的发现，再归纳即可； （3）把代入归纳出来的规律表达式中进行计算即可． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，； （2）解：由（1）归纳可得： 每条边上有个点时，； （3）解：当时，． 22．（1）已知有理数a，b满足，，且，，求的值． （2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为1，求的值． 【答案】（1）；（2）或； 【分析】（1）根据绝对值的含义先求解，，结合，，可得，，再代入代数式进行计算即可； （2）由a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为1，可得，再整体代入代数式计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）∵a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为1， ∴， 当时， ； 当时， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的乘法，乘方的含义，相反数，倒数的含义，求解代数式的值，掌握以上基础知识是解本题的关键． 23．某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价200元，运动袜每双定价40元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案二：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋20双和运动袜双（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款多少元？（用含的代数式表示，需化简） 若该客户按方案二购买，需付款多少元？（用含的代数式表示，需化简） (2)当时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？ 【答案】(1)按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元 (2)按方案一购买更省钱，见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值； （1）方案一：买完20双鞋子后送20双袜子，即袜子只需要买双，然后列代数式即可；方案二：根据运动鞋和运动袜都按定价的付款列代数式即可； （2）将代入（1）中的式子求出结果，再进行比较即可． 【详解】（1）解：按方案一购买：需付款元； 按方案二购买：需付款元； （2）解：当时， 方案一需付款：元； 方案二需付款：元， ∵， ∴当时，按方案一购买更省钱． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项的定义合并同类项即可； 【详解】A、不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】该题主要考查了合并同类项，解答该题的关键是掌握同类项的定义，确定是否是同类项． 2．下列各组中的两个单项式不是同类项的是（    ） A．与 B．-3与0 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与是同类项，故本选项不符合题意； B、-3与0是同类项，故本选项不符合题意； C、与中，和的指数均不相同，则不是同类项，故本选项符合题意； D、与是同类项，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项，注意：所有的常数项都是同类项是解题的关键． 3．下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有8个★，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中的★个数为（　　） A．24个 B．26个 C．28个 D．30个 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据第①个图形中★的个数为：5，第②个图形中★的个数为：，第③个图形中★的个数为：，…，据此可求得第n个图中★的个数，从而可求解． 【详解】解：∵第①个图形中★的个数为：5， 第②个图形中★的个数为：， 第③个图形中★的个数为：， …， ∴第n个图形中★的个数为：， ∴第⑧个图形中的★个数为：． 故选：B． 4．若，则（   ） A． B．4 C．16 D．20 【答案】D 【分析】此题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式变形，根据，利用了整体代入的思想，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选：D． 5．一个多项式加上得，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，再去掉括号合并同类项即可． 【详解】解：由题意可得：这个多项式为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键． 6．下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数，根据相关概念对选项做出判断，即可解题． 【详解】解：A、单项式系数是1，次数是8，所以A错误，不符合题意． B、多项式是二次三项式，所以B错误，不符合题意． C、单项式的系数是次数是5，所以C错误，不符合题意． D、是三次二项式，所以D正确，符合题意． 故选：D． 7．如图，用若干根小木棒拼成图形，拼第1个图形需要3根小木棒，拼第2个图形需要7根小木棒，拼第3个图形需要11根小木棒…若按照这样的方法拼成的第n个图形需要103根小木棒，则n的值为（　　） A．34 B．36 C．26 D．24 【答案】C 【分析】利用题中得到第1个图形需要小木棒数为3，第2个图形需要小木棒为，第3个图形需要小木棒为，从而得到小木棒与序号数的关系，所以第n个图形需要小木棒为，则，然后解方程即可． 【详解】解：第1个图形需要小木棒数为3， 第2个图形需要小木棒为， 第3个图形需要小木棒为， ••• 第n个图形需要小木棒为， 所以， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变换类，找出图形哪些部分发生了变化，确定变化的规律与序号数的关系是解决问题的关键． 8．用大小相同的“”按如图所示的规律拼图案，其中第个图案有个“”，第个图案有个“”，第个图案有个“”，按此规律排列下去，则第个图案中“”的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形与数字的变化规律，解决本题的关键是根据前三个图案中“”的个数的变化规律计算出第个图案中“”的个数． 【详解】解：由题意可知第个图案有个“”， 第个图案有个“”， 第个图案有个“”， 第个图案有个“”， 第个图案有个“”， 第个图案有个“”． 故选：B． 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加减运算的应用，解题的关键是正确列式求解． 首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴1和x中间的数为 ∴ ∴， 故选：B． 10．如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的规律变化问题， 设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格，那么第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步跳到了5号位置上，依此类推可知：棋子移动了k次后走过的总格数是，讨论k的取值，找出不可能停棋的格子即可，根据棋子跳的总路程得到落脚处是解决本题的难点． 【详解】设顶点分别是第0，1，2，3，4，5，6格， ∵棋子移动了k次后走过的总格数是， ∴这时S是整数，且使，分别取时，，是按照：循环的， 故第2，4，5格没有停棋， 即顶点C，E和F棋子不可能停到． 故选：C． 二、填空题 11．合并同类项： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则， 根据合并同类项法则计算即可，合并同类项的法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变． 【详解】解：． 故答案为：． 12．体育委员带了元钱去买体育用品，若一个足球元，一个篮球元．买了3个足球，一个篮球，剩余 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，在解题时要根据题意表示出各项的意义是解题的关键． 【详解】因为买一个足球元，3个足球就是元，一个篮球元，所以买了3个足球一个篮球后，剩余元． 故答案为：． 13．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值、整式的加减，代数式中字母的值没有明确告知，而是隐含在已知条件中，首先应从条件入手，寻找要求的代数式与已知条件之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．先由已知求得，，再将代入所求代数式，整理得到，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 14．“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 【答案】 【分析】本题主要考查了逻辑推理和数字组合的概念，解题的关键在于通过合理断开两个环，将连环拆分成不同数量的小部分，使得这些小部分能够通过组合和交换的方式，满足每天获取对应数量银环的要求．根据题意尝试找出一种合理的拆分方式，然后根据每天的获取规则来验证是否可行即可得解． 【详解】解：断开第环和第环，断开后形成了个(第环断开产生)单环、个单环(第环断开产生)、一个环(环)、一个环(环)、一个环(环)， 每天获取工钱的具体方式如下， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环和一个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 故答案为：，． 三、解答题 15．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再进一步合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查整式的加减混合运算，掌握去括号的法则与积合并同类项的方法是解决问题的关键． 16．已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】本题考查有理数加减运算，代数式，绝对值的知识，解题的关键是掌握绝对值的性质，求出，，进行解答，即可． （1）根据绝对值的性质，求出，，根据，分类讨论的值，进行计算，即可； （2）根据，可得，分类讨论，进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 当，时，；当，时，； ∴的值为或． （2）解：∵， ∴， 当，时，不符合题意； ∴，时，；，时，； ∴的值为或． 17．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知：，求（用含的代数式表示）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则； （1）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）把A，B代入并化简即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式； （2）解： ． 18．如图中的大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的． (1)图②的面积表示为：______；图④的面积表示为：______ (2)这个大正方形的面积是多少？ (3)当时，求此大正方形的面积，并用与你计算过程不同的方法验证计算的结果． 【答案】(1)， (2)面积为 (3)25，验证计算见解析 【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可填空； （2）由大正方形的面积等于2个小正方形的面积与2个小长方形的面积的和，即可求解； （3）由（2）所求代数式即可直接求出大正方形的面积，再根据正方形的面积公式直接计算其面积即可验证． 【详解】（1）解：图②的面积表示为；图④的面积表示为． 故答案为：，； （2）解：∵大正方形的面积=图①+图②+图③+图④， ∴大正方形的面积． （3）解：将代入，得： ， ∴大正方形的面积为25． 由题意可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，与上述结果相同． 【点睛】本题考查列代数式，代数式求值．利用数形结合的思想是解题关键． 19．小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．观察下面式子，完成以下问题： ，，，… (1)请写出第10个式子：___________； (2)请用含的式子表示第个式子：___________； (3)计算：； (4)思考：如果不是两个连续正整数的积的倒数又如何去解决呢，请类比上题的方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． （1）根据所给的式子的特点直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，可得一般规律为：； （3）应用（2）的规律，将所求的式子变形为，再求和即可； （4）灵活运用（2）的规律，将所求式子变形为：，再求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第10个式子为：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得出第个式子为：， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 20．如图，有足够多的完全相同的小长方形（图）和一个大长方形纸片．小长方形两邻边的长分别记为，把小长方形纸片不重叠的摆放在大长方形上，阴影是小长方形没有覆盖的部分，分别记为． (1)如图，若，，，直接写出的面积____ ，的面积 ____； (2)如图，当，时，直接写出和的周长和是 ____ ； (3)如图，若大长方形分割为个小正方形，且中间的最小正方形的边长是，求大长方形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由图可得，，，，，再由矩形的面积公式求解即可； （）根据题意分别求出，，，，再由矩形的周长公式求解即可； （）设，利用的长建立等量关系，求出的值即可求解； 本题考查了整式加减的几何应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，由图可得，，， ∵， ∴， ∴的面积， ∵，， ∴的面积， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴的周长， 的周长， ∴和的周长和， 故答案为：； （3）解：设， ∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴大长方形的面积为． 21．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值． 【答案】(1)是 (2)或 (3)的最大值为，的最小值 【分析】本题主要考查了数字的变形的规律，数轴，绝对值， （1）利用收纳系数的定义解答即可； （2）利用收纳系数的定义，分别用分数乘以数组各个数字，求出最大乘积与最小乘积的差，与比较判断即可； （3）利用收纳系数的定义求出的最大值，再依据值和收纳系数的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴取为示数的点，为表示数1的点．那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示， ∴是数组P：，，的收纳系数， 故答案为：是； （2）解：∵，，，， ∴不可能为1； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴不可能为； 故答案为：或； （3）解：这100个数是连续整数， 数组中的最大的数与最小数之差为99， 的最大值． 的最大值为； 当中间的数字为0时，的值最小， ， 第50个或第51个数字为0时，的值最小． 当50个数字为0时，，， ； 当51个数字为0时，，， ． 综上，的最大值为，相应的的最小值． 22．【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形； 【规律发现】（）第个图案有______个正方形； （）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形； 【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（）；（）；（）小明的说法不正确，理由见解析 【分析】（）根据已知图案正方形的各数可得第个图案正方形的个数为个，据此即可求解； （）根据（）的结论求解即可； （）令，可得，据此即可判断求解； 本题考查了图形类规律探究，从已有图形找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案正方形的个数为； 第个图案正方形的个数为； 第个图案正方形的个数为； ； ∴第个图案正方形的个数为个， 当时，， 即第个图案正方形的个数为个， 故答案为：； （）由（）知，第个图案正方形的个数为个， 故答案为：； （）小明的说法不正确，理由如下： 令， 解得， ∵不是整数 ， ∴用个正方形不可以组成符合该规律的图案， ∴小明的说法不正确． 23．在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实验，如图1所示，轨道长为，轨道架上有三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C，轨道左右各有一个钢制挡板D和E，其中C到左挡板的距离为，B到右挡板的距离为，A、B两球相距．现以轨道所在直线为数轴，假定A球在原点，B球代表的数为40，如图2所示，解答下列问题： (1)在数轴上，找出C球及右挡板E所代表的数，并填在图中括号内． (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动． ①现A球以每秒的速度向右匀速运动，则A球第二次到达B球所在位置时用了______秒；经过63秒时，A、B、C三球在数轴上所对应的数分是______、______、______； ②如果A、B两球同时开始运动，A球向左运动，B球向右运动，A球速度是每秒，B球速度是每秒，当A、B两球相撞时停止运动．试探究在运动过程中是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)点C表示的数为，点E表示的数为100，见解析 (2)①40；；②当运动时间t满足时，是定值，当运动时间t满足或时，不是定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，整式的加减计算： （1）先求出的长，再求出A到右挡板的距离即可得到答案； （2）①求出A球第二次到达B球所在位置时的路程，即可求出对应的时间；求出运动63秒的总路程，进而求出各个球所在的位置即可得到答案；②分，，，三种情况确定的长，再求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴点C表示的数为， ∵B到右挡板的距离为，A、B两球相距， ∴A到右挡板的距离为， ∴点E表示的数为100， 数轴表示如下所示： （2）解：①（秒）， ∴A球第二次到达B球所在位置时用了40秒； ∵， ∴， ∴， ∴经过63秒时，A、B、C三球在数轴上所对应的数分是； 故答案为：40；； ②当运动时间t满足时，是定值，当运动时间t满足或时，不是定值，理由如下： 设运动时间为t秒， 当时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∴，不是定值； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∴，是定值； 当时，此时点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∴，不是定值； 综上所述，当运动时间t满足时，是定值，当运动时间t满足或时，不是定值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$