24.1.3弧、弦、圆心角课后作业（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.3弧、弦、圆心角课后作业 （一）知识梳理 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在 ，像这样顶点在圆心的角叫 ． 2.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的弦 ． 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个 、两条 、两条 、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也 ． 要点归纳： 运用弧、弦、圆心角之间的关系，轻松证明相等问题 (1)在同圆或等圆中，证明等孤的问题目前可以有三种途径，一是由 得到等孤，二是证明弧所对的 ，三是证明孤所对的 . (2)在同圆或等圆中，当证明 、 的问题时，除利用三角形全等及其他相关的性质外，一定要 （二）知识精练 一、单选题 1．如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．在中，如果，那么弦与弦之间的关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 6．如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．下图中是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    10．如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为 °． 11．如图，在中，是两条直径，弦，若所对圆心角的度数是，则 ． 12．如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 三、解答题 13．如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 14．如图，在中，，，求的度数． 15．如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 16．如图，的弦、相交于点，且．求证．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 【详解】连接， ∵弦平行于直径， ∴， 又∵，则， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了邻补角的概念，弧、弦、圆心角的关系定理等知识点，先求出，再运用“等弧所对的圆心角相等”即可得解，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵C、D是上的三等分点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得，，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ， 所对的圆心角的度数为 故选：D 4．D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 5．C 【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：取的中点，连接，， 则， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键． 6．D 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在⊙O中，， ，故①正确； 为公共弧， ，故④正确； ，故②正确； ，故③正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 7．C 【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧AB所对的圆心角进行判断. 【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意； B、不是圆心角，故不符合题意； C、是圆心角，故符合题意； D、不是圆心角，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键． 8．C 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 9．144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10．70 【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数． 【详解】 解：如图，连接OF， ∵∠A＝70°，∠B＝55°， ∴∠C＝180°−∠A−∠B＝55°， ∵OC＝OF， ∴∠CFO＝∠C＝55°， ∴∠COF＝180°−∠C−∠CFO ＝70°， ∴弧CF的度数是70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键． 11．/110度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，平行线的性质，等边对等角，连接，则，根据等边对等角和平行线的性质推出，则由平角的定义可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对圆心角的度数是 ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．/30度 【分析】连接，先根据弧和圆心角的关系求得，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，    ∵为半圆上靠近点的三等分点， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧和圆心角的关系、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，求得是解答的关键． 13．见解析 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即C为的中点． 14． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15． 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 16．见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定．连接，由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立． 【详解】证明：连接．    ∵， ∴ ∴， 即，    ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$