8.物理竞赛中估算题的求解策略-《中学生数理化》高考理化2025年7～8月刊

物理竞赛中估算题的求解策略 ■河南省洛阳市第二高级中学 徐长锋 在物理竞赛中,经常出现涉及实际情景 估算的试题。物理估算,需要依据物理规律、 运用物理方法和数学近似计算方法,对所求 的物理量进行大致的推算。物理估算题,一 般文字简洁,条件隐蔽,解答时需要认真审 题,从题述中挖掘出隐含条件,捕捉到与题述 现象、过程相关的物理规律,揭示题设条件、 物理常识与所求物理量之间的关系,从而确 定对所求物理量进行估算的依据。中学物理 中常用的估算方法有:常数估算法、理想模型 估算法、推理估算法、合理的数学近似估算法 等。下面就以2024年全国中学生物理竞赛 第15题为例,谈一下物理估算题的求解方 法,供同学们参考。 题目 一报废卫星的横截面(与卫星运 动方向垂直)的面积S=0.50 m2,质量 m= 10 kg。半径R=6 400 km的近地轨道附近布 满密度ρ1=1.6×10-11 kg/m3 的粉尘气体(由粉 尘粒子构成)。假设粉尘粒子相对于地面处于 静止状态,它们和该卫星发生碰撞后黏附在卫 星上。取地球的密度ρ0=5 500 kg/m3,地球的 半径R0=6 371 km,重力加速度g=9.8 m/s2, 引力常量G=6.67×10-11 m3/(kg·s2)。 (1)假设该卫星在上述近地轨道上的运 动可视为匀速圆周运动,试估算卫星因与粉 尘碰撞而受到的拖曳力。 (2)试估算该卫星绕该近地轨道运行一 圈后其轨道因粉尘阻力而下降的高度。 分析:解答本题需要采用理想模型估算 法和合理的数学近似估算法。(1)由于受到 粉尘的碰撞,卫星的实际运动是近心运动,作 为估算题,可以把卫星的运动视为匀速圆周 运动。卫星与粉尘的碰撞可以视为完全非弹 性碰撞,因此可以构造流体柱模型,运用动量 定理列式求解。(2)因为拖曳力远小于卫星 所受的万有引力,卫星绕近地轨道运行一圈 后其轨道因粉尘阻力而下降的高度就远小于 轨道半径,所以可以利用数学近似进行估算。 解:(1)设卫星在近地轨道上的运行速度 为v,以卫星为参考系,则粉尘相对于卫星的 速度为v,沿粉尘相对于卫星的速度v 的方 向选取长度为vΔt的一小段柱体为研究对 象,其横截面的面积等于 S,其体积 ΔV= SvΔt,其质量 m=ρ1ΔV=ρ1SvΔt。粉尘和 卫星发生碰撞后黏附在卫星上,根据动量定 理得FΔt=mv=ρ1Sv2Δt。卫星在近地轨道 上运动,其向心力近似等于地面上卫星的重 力,根据牛顿第二定律得 mg=m v2 R ,解得 F=ρ1SgR=1.6×10-11×0.50×9.8×6 400 ×103 N≈5.0×10-4 N。 (2)卫星在半径为 R 的近地轨道上运 动,根据万有引力提供向心力得 G Mm R2 = m v2 R ,又有卫星的动能 Ek= 1 2mv 2,卫星— 地球体系的引力势能Ep=- GMm R ,卫星— 地球体系的机械能 E=Ek+Ep,解得 E= GMm 2R - GMm R =- GMm 2R ,其中 M 为地球的 质量。设卫星每绕地球运行一圈下降的高度 为ΔR,则卫星—地球体系运行一圈因粉尘阻 力而造成的机械能损失量ΔE=- GMm 2R - - GMm 2(R-ΔR) = GMm2 1R-ΔR-1R = GMmΔR 2(R-ΔR)R 。因为粉尘的阻力很小,所以 ΔR≪R,所以 ΔE ≈ GMm 2R2 ΔR ≈ GMm 2R20 ΔR。 根据功能关系得ΔE=2πRF≈2πR0F,解得 ΔR= 4πR30F GMm 。又有 M= 4πR30 3 ρ0 ,所以ΔR= 3F Gmρ0 = 3×5.0×10-4 6.67×10-11×10×5 500 m≈0.41 km。 总结:随着我国航空航天事业的发展,我 国已经拥有通信、遥感、资源、导航定位、气 象、科学实验、海洋等七大卫星系列,在各地 23 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2025年7—8月 各类考试中以卫星为背景的试题屡见不鲜。 卫星类物理试题主要包括以下五种:(1)卫星 运行情景的分析与计算。卫星运行过程中,受 到稀薄空气的阻力,这类试题重点考查圆周运 动规律、动量定理、功能关系等知识点。(2)卫 星发射情景的分析与计算。卫星在发射过程 中,处于超重状态,这类试题重点考查运动学 规律、牛顿运动定律、万有引力定律等知识点。 (3)卫星变轨情景的分析与计算。卫星变轨, 一般采用向某个方向喷出气体,使卫星加速、 减速、改变速度方向,以达到变轨的目的。这 类试题重点考查圆周运动规律和万有引力定 律等知识点。(4)飞船与空间站对接情景的分 析与计算。飞船与空间站对接可以分为径向 对接、同向对接、反向对接等,这类试题重点考 查动量守恒定律和功能关系等知识点。(5)飞 船返回和降落星球情景的分析与计算。飞船 返回和降落星球,需要先减速做向心运动,下 降到某一高度后,再开启反冲发动机减速软着 陆。这类试题重点考查圆周运动规律、运动学 规律、牛顿运动定律等知识。总之,求解卫星 类试题需要在认真审题构建出物理模型的基 础上,采用合适的物理规律,运用恰当的解题 方法,逐步分析与求解。 (2012年第29届全国中学生物理竞赛) 一质量m=3 000 kg的人造卫星在离地面的 高度H=180 km的高空绕地球做圆周运动, 那里的重力加速度g=9.3 m/s2。由于受到 空气阻力的作用,在一年时间内,人造卫星的 高度要下降ΔH=0.50 km。已知物体在密 度为ρ的流体中以速度v运动时受到的阻力 F 可表示为F= 1 2ρACv 2,式中A 是物体的 最大横截面积,C 是拖曳系数,与物体的形状 有关。当卫星在高空中运行时,可以认为卫 星的拖曳系数C=1,取卫星的最大横截面积 A=6.0 m2,地球的半径R0=6 400 km。试 根据以上数据估算卫星所在处的大气密度。 参考答案:ρ≈1.54×10-13 kg/m3。 (责任编辑 张 巧) 33 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2025年7—8月