7.浅读“杆穿带电小球”模型的分析与求解-《中学生数理化》高考理化2025年7～8月刊

■广东省惠州市光正实验学校高中部 陈 宏(正高级教师) 涉及“杆穿带电小球”模型的试题综合性 较强,能够很好地考查同学们对力和运动关 系的掌握情况,体现同学们分析问题与解决 问题能力的高低,因此备受命题专家的青睐, 成为高考物理试卷中的热点题型。下面将对 这类问题进行归纳与整理,深入浅出地介绍 这类问题的求解方法,供同学们参考。 题型1:“光滑杆穿带电小球”处于匀强 磁场中 当“光滑杆穿带电小球”处于匀强磁场中 时,因为洛伦兹力永不做功,所以带电小球可 能做匀变速直线运动。 例 1 (2024年高考浙江6月卷,多 选)如图1所示,一根固定的足够长光滑绝缘 细杆与水平面成θ角。质量为 m、电荷量为 +q的小球套在细杆上。小球始终处于磁感 应强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于 细杆所在的竖直面向里,不计空气阻力。小 球以初速度v0 沿细杆向上运动至最高点,则 该过程中( )。 A.合力的冲量大小为mv0cos θ B.重力的冲量大小为mv0sin θ C.洛伦兹力的冲量大小为 qBv20 2gsin θ D.若v0= 2mgcos θ qB ,则弹力冲量为零 图1 图2 解析:小球在沿细杆向上运动至最高点 的过程中,受力情况如图2所示。根据牛顿 第二定律得mgsin θ=ma,解得a=gsin θ, 即小球做加速度大小为gsin θ的匀减速直线 运动。根 据 动 量 定 理 得 I合 =0-mv0= -mv0,故合力的冲量大小为mv0,选项A错 误。小球沿细杆上滑所用的时间t= v0 a = v0 gsin θ ,重力的冲量大小I重=mgt= mv0 sin θ ,选 项B错误。小球所受洛伦兹力 F=qvB= q(v0-at)B=-qatB+qv0B,即洛伦兹力F 随时间t线性变化,故洛伦兹力的冲量大小 I洛=qB· v0 2 ·t= qBv20 2gsin θ ,选项C正确。若 v0= 2mgcos θ qB ,则初始时刻小球所受洛伦兹 力为qv0B=2mgcos θ。小球在垂直于细杆方 向上所受合力始终为零,则qvB=mgcos θ+N, 即N=qvB-mgcos θ=mgcos θ-qgtBsin θ, 画出小球在整个匀减速直线运动过程中的 图3 N-t图像,如图3所示。 根据 N-t图像与横轴所 围成的图形的面积表示 冲量可知,弹力的冲量为 零,选项D正确。 答案:CD 评析:求解本题的关键是正确判断小球 的运动性质,即小球做初速度为v0、加速度大 小为gsin θ的匀减速直线运动。难点是对洛 伦兹力的大小情况进行讨论,从而确定弹力 N 的方向。另外,因为洛伦兹力F 和弹力N 都是变力,所以求其冲量的大小还要用到微 元法和图像法。 题型2:“粗糙杆穿带电小球”处于匀强 磁场中 当“粗糙杆穿带电小球”处于匀强磁场中 时,洛伦兹力与速度垂直,摩擦力与速度相 82 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2025年7—8月 反,当速度变化时会导致洛伦兹力的大小发 生变化,从而使弹力发生变化,导致摩擦力发 生变化,带电小球可能做变加速直线运动。 图4 例 2 (多选)如图4所示, 一根固定的足够长绝缘细杆竖直 放置,质量为 m、电荷量为+q 的 小球套在细杆上。已知小球与细 杆间的动摩擦因数为μ,小球始终 处于磁感应强度为B 的匀强磁场 中,磁场方向垂直于细杆所在的竖直面向里, 不计空气阻力。小球以初速度v0 从O 点沿 细杆向上运动至最高点后又下降回到O 点时 的速度大小为 v0 2 ,重力加速度为g,则该过程 中( )。 A.小球克服摩擦力所做的功为 3 8mv 2 0 B.小球受到的洛伦兹力的冲量大于零 C.小球运动的总时间为 3v0 2g D.小球上升的时间等于下降的时间 解析:小球在沿细杆向上运动的过程中, 图5 受力情况如图5甲所 示;小球在沿细杆下 降的过程中,受力情 况如图5乙所示。因 为洛伦兹力F=qvB 是变力,所以弹力 N=F=qvB 和摩擦力 f=μN=μqvB 也是变力,小球做变加速直线 运动。根据动能定理得-W 摩= 1 2m v0 2 2 - 1 2mv 2 0,解得 W 摩= 3 8mv 2 0,选项 A正确。小 球受到的洛伦兹力F=qvB,设O 点到最高 点间的距离为h,上升过程中洛伦兹力的冲 量大小为∑FΔt=∑qvBΔt=qhB,方向向 左;下 降 过 程 中 洛 伦 兹 力 的 冲 量 大 小 为 ∑FΔt=∑qvBΔt=qhB,方向向右。因此 全过程中小球受到的洛伦兹力的冲量等于 零,选项 B错误。同理,摩擦力 f=μN= μF=μqvB 的冲量也为零,根据动量定理得 mgt=m v0 2+mv0 ,解得 t= 3v0 2g ,选项C正 确。小球在上升过程中的加速度大小a1= mg+μqvB m ,在 下 降 过 程 中 的 加 速 度 大 小 a2= mg-μqvB m ,因为a1>a2,所以小球上升 的时间小于下降的时间,选项D错误。 答案:AC 评析:求解本题的关键是要注意摩擦力 是变力,求其做的功只能用动能定理求解,并 充分利用重力做功只与位置有关和洛伦兹力 永不做功的特点。另外,因为洛伦兹力和摩 擦力都是变力,所以求其冲量的大小时还要 用到微元法。 图6 例 3 (多选)如图6所 示,一个质量为 m、电荷量为 +q的圆环,可在水平放置的 粗糙细杆上自由滑动,细杆处 于磁感应强度为B 的匀强磁场中,圆环以初 速度v0 向右运动直至处于平衡状态,则圆环 克服摩擦力做的功可能为( ) 。 A.0 B. 1 2mv 2 0 C. m3g2 2q2B2 D. 1 2m v 2 0- m2g2 q2B2 解析:圆环在沿细杆向右自由滑动的过 程中,受到竖直向下的重力mg、竖直向上的 洛伦兹力F、水平向左的滑动摩擦力、弹力, 其中洛伦兹力的大小随速度大小的变化而发 生变化,是一个变力,弹力的大小和方向由重 力与洛伦兹力的大小决定,滑动摩擦力的大 小由弹力的大小决定。因为洛伦兹力的大小 未知,是模糊条件,所以解题的关键是对重力 与洛伦兹力的大小进行讨论。 设圆环刚开始向右运动时所受洛伦兹力 为F0,则临界状态是F0=qv0B=mg,因此 可分为F0<mg、F0=mg、F0>mg 三种情况 进行讨论。当F0<mg 时,圆环对细杆上表 面的压力 N=mg-F0,圆环与细杆上表面 间有摩擦,圆环因克服摩擦力而速度越来越 小,直至减小到零,故圆环克服摩擦力所做的 功 W 摩=-ΔEk= 1 2mv 2 0;当F0=mg 时,细 杆与圆环间无相互作用的弹力,也无摩擦力, 92 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2025年7—8月 圆环向右运动过程中的速度不变,圆环克服 摩擦力所做的功为零,圆环将一直向右做匀 速直线运动;当F0>mg 时,圆环对细杆下表 面的压力 N=F0-mg,圆环与细杆下表面 间有摩擦,使圆环的速度逐渐减小,圆环受到 的洛伦兹力逐渐减小,当洛伦兹力减小到等 于重力,即mg=qvB 时,圆环开始向右做匀 速直线运动,动能不再改变,故圆环克服摩擦 力所做的功W 摩=-ΔEk= 1 2mv 2 0- 1 2mv 2= 1 2m v 2 0- m2g2 q2B2 。 答案:ABD 评析:本题中圆环的初速度v0 大小不确 定,导致重力与洛伦兹力的大小关系不确定, 需要以分析临界状态为突破口,找到临界条 件qv0B=mg,进行分类讨论。 题型3:“粗糙杆穿带电小球”处于复合 场中 当“粗糙杆穿带电小球”处于复合场中 时,小球的受力情况比较复杂,需要正确地分 析其受力情况和运动情况才能顺利求解相关 问题。 图7 例 4 如图7所示,套 在足够长绝缘圆直棒上的小 球,其质量为 m,电荷量为 +q,小球可在棒上滑动,将 此棒竖直放在互相垂直且沿 水平方向的匀强电场和匀强 磁场中,电场强度为E,磁感应强度为B,小 球与棒间的动摩擦因数为μ,求小球由静止 开始沿棒下落过程中的最大加速度和最大速 度。(mg>μqE,小球的电荷量保持不变) 解析:小球由静止开始沿棒下落的过程 中,受到竖直向下的重力mg、沿棒向上的摩 擦力f、水平向左的弹力N、水平向右的静电 力F电 和洛伦兹力F洛 作用。因为N=F电+ F洛=qE+qvB,所以F合=mg-μN=mg- μ(qE+qvB),可见随着v 的增大,F合 减小。 因此小球先做加速度a= F合 m 越来越小的加 速运动直到加速度a 减小到零后做匀速运 动。当v=0时(初始时刻),a 有最大值,且 amax=g-μ qE m ;当F合=0,即a=0时,v有最 大值vmax,则mg-μ(qE+qvmaxB)=0,解得 vmax= mg-μqE μqB 。 评析:当“粗糙杆穿带电小球”处于复合 场中时,因为速度变化导致洛伦兹力变化,洛 伦兹力变化又会使得弹力发生变化,弹力变 化又会导致摩擦力变化,所以小球做变加速 运动。根据合外力最大可以求出最大加速 度,根据合外力为零可以求出最大速度。 变式1:将例4中的电场方向改为水平向 左,其余条件不变,求小球由静止开始沿棒下 落过程中的最大加速度和最大速度。 解析:小球的受力情况如图8所示,因为 图8 N=F电-F洛=qE-qvB,所 以 F合 =mg-μN =mg- μ(qE-qvB),可见随着v 的 增大,F合 先增大后减小(临界 状态是F电=F洛,当F电<F洛 时,N 的方向变为水平向左)。 因此小球先做加速度逐渐增大的加速运动, 后做加速度逐渐减小的加速运动,直到最后 做匀速运动。当v= E B 时,加速度有最大值, 且amax=g;当F合=0,即a=0时,v 有最大 值vmax,则 mg-μ(qvmaxB-qE)=0,解得 vmax= mg+μqE μqB 。 变式2:将例4中的磁场方向改为与电场 方向一致,其余条件不变,求小球由静止开始 沿棒下落过程中的最大加速度和最大速度。 图9 解析:小球的受力情况如 图9所示,磁场方向改变后, 当小球由静止开始沿棒下落 后,洛伦兹力F洛 垂直于纸面 向外,此 时 洛 伦 兹 力 F洛 = qvB、静电力F电=qE、棒对小 球的弹力 N 在同一水平面内但不在同一条 直 线 上,三 个 力 的 合 力 为 零,则 N = F2洛+F2电 。当v=0,F洛=0时,N 最小,摩 擦力f 最小,合力F合=mg-f=mg-μqE 03 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2025年7—8月 最大,最大加速度amax=g-μ qE m 。当小球下 落速度增大时,F洛 增大,N 增大,摩擦力f 增大,合力F合=mg-f 减小,加速度减小, 当加速度减小到零时,速度有最大值vmax,则 F合=mg-μ (qvmaxB)2+(qE)2 =0,解得 vmax= (mg)2-(μqE)2 μqB 。 警醒:不少同学会认为磁场方向改变后, 小球在沿棒下落的过程中受到两个摩擦力作 用,一个是f1=μqE,另一个是f2=μqvB,这 是错误的,因为在相互接触的两个物体间只 存在一个摩擦力。 1.(多选)如图10所示,水平地面上竖直 固定着两根相同的圆柱形粗糙绝缘杆,将两 个相同的小环a 和b分别套在两杆上,两小 环的电荷量均为+q,质量均为m,小环的直 径略大于杆的直径。在套小环a的杆所处空 间加一水平向左、电场强度为 E 的匀强电 场,在套小环b的杆所处空间加一水平向左、 磁感应强度为B 的匀强磁场,在距离水平地 面高度相同的位置同时分别给小环a、b一个 竖直向上的大小相等的初速度v0。发现小环 a、b上升到最高点时距离水平地面的高度相 同。若小环a、b 与两杆的动摩擦因数均为 μ,重力加速度为g,则( )。 图10 A.小环a 从初始位置上升到最高点所 用的时间大于小环b从初始位置上升到最高 点所用的时间 B.初速度v0 应满足v0> E B C.小环a 与b到达最高点后,均可从最 高点返回到初始位置 D.小环b 从初始位置上升到最高点所 用的时间tb= v0 g - μ qv20B 2g(mg+μqE) 图11 2.(多选)如图11所示, 套在足够长的绝缘粗糙直棒 上的小球,其质量为 m,电荷 量为q(q>0),小球可在棒上 滑动。现将此棒竖直放入沿 水平方向且互相垂直的匀强 磁场和匀强电场中,假设小球的电荷量保持 不变,小球由静止开始沿棒下滑的过程中,下 列说法正确的有( )。 A.小球的加速度一直减小 B.小球的速度一直增大,直到最后做匀 速运动 C.棒对小球的弹力一直增大 D.小球所受洛伦兹力一直增大,直到最 后保持不变 图12 3.如图12所示,竖直面 (纸面)内,一足够长的粗糙 绝缘直杆固定在与水平方向 成60°角的位置,杆所在空 间存在垂直于纸面向里的匀 强磁场和水平向左的匀强电 场,磁感应强度为B,电场强 度为E。一质量为 m 且可视为质点的带正 电小球套在杆上。现给小球一个沿杆向下的 初速度v,小球恰能做匀速运动,且杆对小球 恰好无弹力。下列说法正确的是( )。 A.电场强度与磁感应强度的大小关系 为 E B= v 2 B.若在小球运动的过程中仅撤去磁场, 则小球仍将保持速度v做匀速运动 C.若仅将小球的初速度大小变为 3v 2 ,则 小球将做加速度不断减小的减速运动直到最 后静止 D.若仅将小球的初速度大小变为2v,则 在小球沿杆运动的过程中,小球克服摩擦力 做的功为 3 2mv 2 参考答案:1.BD 2.BD 3.D (责任编辑 张 巧) 13 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2025年7—8月