6.浅析带电粒子在复合场中运动时间的求解方法-《中学生数理化》高考理化2025年7～8月刊

■福建省南平市高级中学 应德勇 带电粒子在复合场中运动是高考中一类 常考的试题,而求解带电粒子在复合场中的 运动时间是其中一种常见的问题。在不同的 题型中,带电粒子的运动性质不同,求解运动 时间的方法也就不同,既可以用动力学的观 点求解,也可以用动量观点或运动的分解观 点求解。 一、利用动力学观点求解时间 当带电粒子在复合场中做匀变速直线运 动时,可以先利用牛顿第二定律求解粒子的 加速度,再利用运动学公式求解时间。 图1 例 1 如图1所示,质 量m=0.1 g,带电荷量q= 5×10-4 C的小物块,放在 倾角θ=30°的光滑绝缘固 定斜面顶端,整个装置放在 B=1 T的匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面 向里。物块由静止开始下滑,到某一位置离 开斜面(设斜面足够长,取重力加速度g= 10 m/s2)。求: (1)物块带何种电荷? (2)物块离开斜面时的速度是多大? (3)物块在斜面上滑行的时间是多少? 解析:(1)物块受到的安培力垂直于斜面 向上,根据左手定则可知,物块带负电。 (2)当物块离开斜面时,弹力为零,则 qvB=mgcos θ,解得v= 3 m/s。 (3)因为斜面光滑,物块在离开斜面之前 一直做匀加速直线运动,根据牛顿第二定律 得mgsin θ=ma,解得a= 1 2g 。根据匀变速 直线运动的速度—时间公式得v=at,解得 t= 3 5 s。 点评:因为洛伦兹力是变力,其大小与速 度大小有关,所以当物块的速度达到某一值 时,物块将离开斜面;因为在沿斜面向下的方 向上只有重力的分力,所以在此方向上物块 做匀加速直线运动,利用牛顿第二定律即可 求解时间。 二、利用动量观点求解时间 当带电粒子在复合场中做非匀变速直线 运动时,动力学观点不再适用,但可以利用动 量定理结合微元法求解时间。 例 2 如图2所示,虚线 l1、l2 将无重 力场的空间分成三个区域,Ⅰ区内存在水平 向右的匀强电场E1 和垂直于纸面向里的匀 强磁场B1,Ⅱ区内以水平线CO 为分界线, 上方存在竖直向上的匀强电场E2,下方存在 竖直向下的匀强电场E3,Ⅲ区内存在以虚线 l2 为左边界、右边无界的垂直于纸面向里的 匀强磁场B2,Ⅰ区内有一段粗糙、长为L 的 水平放置塑料直管道AC,一可视为质点的小 球(直径比管内径略小)的质量为 m、带电荷 量为+q。现将小球从管道内A 处由静止释 放,小球运动至管道内离 A 点距离为L0 的 B 处时达到稳定速度v0,后进入Ⅱ区向下偏 转,从虚线l2 上的D 点进入Ⅲ区,此时速度 方向与水平方向间的夹角为β,最后小球恰 能无碰 撞 地 从 C 处 返 回 管 道。已 知qm = 0.01 C/kg,E1=100 N/C,E2=E3=300 N/C, β=60°,B1=1×103 T,L=5 m,L0=4 m,小 球与管道间的动摩擦因数μ=0.1,求: 图2 (1)小球在管道内运动的稳定速度v0。 (2)Ⅲ区内匀强磁场的磁感应强度B2。 42 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2025年7—8月 (3)从A 处开始到从C 处返回管道止, 小球的运动时间t。 解析:(1)小球在管道内运动达稳定速度 时,受力平衡,则qE1=μqv0B1,解得v0= 1 m/s。 (2)小球从C 点到D 点的过程中做类平 抛运动,设加速度为a,在D 点时的竖直分速 度为vy,O、D 两点间的距离为d,则qE3= ma,tan β= vy v0 ,v2y=2ad,解得a=3 m/s2, vy= 3 m/s,d=0.5 m。为保证小球恰能无 碰撞地从C 处返回管道,小球在Ⅲ区内做匀 图3 速圆周运动的圆弧是关 于水平线 CO 对称的, 圆心O'必在CO 的延长 线上。小 球 在 Ⅲ 区 内 的运 动 轨 迹 如 图3所 示,根 据 几 何 关 系 得 R= d sin (90°-β) ,又有 vD= v20+v2y,qvDB2=m v2D R ,解 得 B2= 200 T。 (3)小球从A 点到B 点的过程中做变加 速直线运动,设小球从A 点运动到B 点所需 的时间为t1,根据动量定理得 ∑qE1Δt- ∑μqB1vΔt=mΔv,即qE1t1-μqB1L0= mv0,解得t1= mv0+μqB1L0 qE1 。小球从B 点 匀速运动到C 点所需的时间t2= L-L0 v0 ,小 球在Ⅱ区内运动的总时间t3= 2vy a ,小球在Ⅲ 区内运动的总时间t4= 5 6T= 5πm 3qB2 。因此小 球从A 处开始到从C 处返回管道止所用的 时间t=t1+t2+t3+t4=9.77 s。 点评:带电小球在复合场中从A 点到C 点的运动过程是先做非匀变速直线运动,再 做匀速直线运动。求解小球从 A 点到B 点 做非匀变速直线运动的时间,无法利用牛顿 运动定律求解,但是可以利用动量定理结合 微元法进行分析与求解。 三、利用运动的分解观点求解时间 带电粒子在复合场中做曲线运动时,若 粒子做匀变速曲线运动,则可以将运动轨迹 化曲为直,转化为两个直线运动,利用动力学 观点求解时间;若粒子做非匀变速曲线运动, 则可以将速度分解,转化为以一个分速度做 匀速直线运动,以另一个分速度做匀速圆周 运动,进而求解时间;若粒子做较为复杂的曲 线运动,则可以采用运动分解中的“配速法” 将速度分解,转化为以一个分速度做匀速直 线运动,以另一个分速度做匀速圆周运动,进 而求解时间。 (一)利用将运动轨迹化曲为直观点求解 时间 类平抛运动是一种匀变速曲线运动。当 带电粒子在复合场中做类平抛运动时,先采 用化曲为直的观点,将类平抛运动正交分解 为两个方向的分运动,再利用动力学的观点 确定这两个分运动的性质和遵循的规律,即 可求解时间。 例 3 在某些精密实验中,为了避免变 化的电场和磁场相互干扰,可以用力学装置 图4 对磁场中的带电粒子 进行加速。如图4所 示,表面光滑的绝缘平 板水平放置在磁感应 强度为B 的匀强磁场 中,磁场方向垂直于竖 直面向里。平板上有 一个质量为m、电荷量为q的粒子,初始时刻 粒子静止在平板上,与平板左侧边缘的距离 为d。在机械外力的作用下,平板以速度v1 竖直向上做匀速直线运动。一段时间后粒子 从平板的左侧飞出,并垂直入射到一块与平 板相互垂直的荧光屏上,不计粒子自身重力。 (1)判断粒子的电性,并说明理由。 (2)求粒子在平板上的运动时间t。 解析:(1)粒子带正电,因为粒子能够向 左运动离开平板,说明粒子在随平板向上运 动的过程中受到向左的洛伦兹力,即带正电。 (2)粒子在竖直方向上做匀速直线运动, 受到向左的洛伦兹力,其大小f=qv1B,因此 52 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2025年7—8月 粒子在水平方向上做匀加速直线运动,根据 牛顿第二定律得f=ma,根据运动学公式得 d= 1 2at 2,解得t= 2dm qv1B 。 点评:带电粒子在复合场中做类平抛运 动,采用化曲为直的观点,分析出粒子在竖直 方向上做匀速直线运动,得出水平方向的洛 伦兹力是一个恒力,判断出粒子在水平方向 上做匀加速直线运动,即可求解粒子在平板 上的运动时间。 (二)利用速度分解的观点求解时间 1.求解带电粒子在复合场中做螺线形运 动的时间。 图5 如图5所示,若带电粒 子以与磁感线成一夹角的 速度v进入磁场,则粒子沿 着磁感线方向做螺线形运 动。在处理这类运动的过 程中,可以将速度v正交分解,转化为在垂直 于磁场的方向上以分速度v1 做匀速圆周运 动,在平行于磁场的方向上以分速度v2 做匀 速直线运动。 图6 例 4 (多选)局部空间的地 磁场对宇宙射线的作用原理可以用 如下的简化模型来研究:如图6所 示,正圆柱体形状的空间内存在沿 轴线方向竖直向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场,同时空间还存在匀 强电场,方向竖直向上(图中未画出),大小未 知。一个电荷量为e、质量为 m 的电子以初 速度v0 从圆柱体的底面圆心O 出发,沿与轴 线成α=30°角的方向射入磁场,一段时间后 恰好经过该圆柱体空间的另一底面圆心O'。 不考虑除静电力、洛伦兹力外的其他力,下列 说法正确的是( )。 A.圆柱体空间的底面半径一定不小于 mv0 2eB B.电子在圆柱体空间内运动的时间可能 为 4πm eB C.圆柱体空间的高可能为 3πmv0 eB D.电子在圆柱体空间内运动的某段时 间内的动量变化量不可能为零 解析:将电子的初速度v0 分解为沿磁场 方向和垂直于磁场方向,则vx=v0sin α= v0 2 ,vy=v0cos α= 3v0 2 ,因此电子沿磁场方 向以vy 为初速度做匀加速直线运动,沿垂直 于磁场方向以速度vx 做匀速圆周运动。沿垂 直于磁场方向,根据洛伦兹力提供向心力得 evxB= mv2x r ,解得电子的轨迹圆半径r= mv0 2eB , 根据几何关系可知,圆柱体空间的底面半径应 不小于2r,即R≥2r= mv0 eB ,选项A错误。一 段时间后电子恰好经过该圆柱体空间的另一 底面圆心O',则电子的运动时间与圆周运动 的周期关系为t=nT,又有T= 2πr vx = 2πm eB ,可 知当n=2时t= 4πm eB ,选项B正确。若不存 在竖直向上的电场,则电子沿磁场方向做匀 速直线运动,其位移h= 3v0 2 t= 3nπmv0 eB , 当n=1时h= 3πmv0 eB ,实际上存在电场,则 电子的位移不可能是 3πmv0 eB ,选项C错误。 因为电子在竖直方向上做匀加速直线运动, 所以电子在圆柱体空间内运动的某段时间内 的动量变化量不可能为零,选项D正确。 答案:BD 点评:带电粒子在复合场中做螺线形运 动,可以将螺线形运动的速度分解,转化为一 个方向的匀速圆周运动,另一个方向的匀加 速直线运动,利用带电粒子在磁场中做圆周 运动遵循的规律求解时间。 2.求解带电粒子在复合场中做复杂曲线 运动的时间。 当带电粒子在复合场中做复杂的曲线运 动时,采用“配速法”,为粒子配上一对等大反 向的速度或对粒子的初速度进行分解,转化 为两个方向相反、速率不等的分运动,即可将 复杂的曲线运动等效为一个方向的匀速直线 62 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2025年7—8月 运动和另一个方向的匀速圆周运动。 图7 例 5 如图7所示, 在竖直平面内的直角坐 标系Oxy 中,x 轴的下方 存在磁感应强度为B,方 向垂直于纸面向里的匀 强磁场。现将一质量为 m、电荷量为+q 的小球从原点O 由静止释 放,已知重力加速度为g,求: (1)小球在运动过程中第一次下降的最 大距离ymax。 (2)小球再次回到x 轴所用的时间t。 解析:(1)小球的初速度为零,可为小球 配上水平向右的速度v1 和水平向左的速度 v2(v1=v2),其中水平向右的速度v1 对应的 洛伦兹力与重力平衡,则qv1B=mg,因此小 球的运动等效于水平向右速度为v1 的匀速 直线运动和速度为v2 的沿逆时针方向的匀 速圆周运动的合运动。设小球下降距离最大 时的速度为v,根据运动的合成与分解得v= 2v1,根据动能定理得mgymax= 1 2mv 2-0,解 得ymax= 2m2g q2B2 。 (2)当小球以速度v2 沿逆时针方向完成 一圈匀速圆周运动时,小球刚好回到了x 轴, 经过的时间t= 2πm qB 。 点评:“配速法”是一种常用的处理运动 分解的方法,利用“配速法”将带电粒子在复 合场中的复杂的曲线运动分解为两个简单的 运动,即可顺利求解时间。 图8 1.如图8所示,下端封闭, 上端开口,高h=5 m,内壁光 滑的细玻璃管竖直放置,管底 有一 质 量 m=10 g、电 荷 量 q=0.2 C的小球。整个装置 以速度v=5 m/s沿垂直于磁 场方向进入磁感应强度B=0.2 T、方向水平 的匀强磁场,由于外力的作用,玻璃管在磁场 中的速度保持不变,最终小球从上端管口飞 出。取重力加速度g=10 m/s2。 (1)判断小球的电性。 (2)求小球在玻璃管中运动的时间。 图9 2.如图9所示,在相互 垂直的匀强电场和匀强磁 场中,有一倾角为θ,足够长 的光滑绝缘斜面,磁感应强 度为B,方向垂直于纸面向 外,电场方向竖直向上。一 质量为m、电荷量为+q 的小球静止在斜面 顶端,这时小球对斜面的压力恰好为零。若 迅速把电场方向反转,使其竖直向下,求: (1)小球能在斜面上连续滑行的距离x。 (2)小球能在斜面上连续滑行的时间t。 图10 3.如图10所示,空间 存在水平向左的匀强电场, 水平虚线下方区域同时存 在高度为 H、磁感应强度为 B 的匀强磁场,磁场方向垂 直于纸面向里。现将一质 量为m、电荷量为+q 的小 球从A 点以初速度v0 水平抛出,小球在虚线 上方区域中的运动轨迹为曲线 ABC。已知 A、C 两点在同一竖直线上,小球运动到B 点 时的速度方向竖直向下,大小为 3 3v0 。小球 从C 点进入虚线下方区域。不计空气阻力, 重力加速度为g。 (1)求匀强电场的电场强度E。 (2)求小球从A 点运动到C 点的过程中 的最小动能。 (3)已知小球离开磁场区域时,速度方向 竖直向下,求小球从A 点出发到离开磁场区 域所用的时间。 参考答案: 1.(1)小球带正电;(2)t=1 s。 2.(1)x= m2gcos2θ q2B2sin θ ;(2)t= m qBtan θ 。 3.(1)E= 3mg q ;(2)Ekmin= 1 8mv 2 0; (3)t= 3(qHB+mv0) 3mg 。 (责任编辑 张 巧) 72 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2025年7—8月