5.浅探带电粒子在组合场中的运动-《中学生数理化》高考理化2025年7～8月刊

浅探带电粒子在组合场中的运动 ■湖南省汨罗市第一中学 蒋 纬 组合场是指电场与磁场各位于一定的区 域内,并不重叠,或在同一区域内电场与磁场 交相出现。求解带电粒子在组合场中的运动 问题,往往需要用到牛顿运动定律、平抛运动 规律、斜抛运动规律、运动的合成与分解、动 能定理、功能关系等知识。这类试题综合性 较强,难度较大,是高考的考查热点之一。 考点一:磁场与磁场的组合 实质上,磁场与磁场的组合问题是带电 粒子在两个有界磁场中的圆周运动问题,带 电粒子在两个磁场中的速度大小相同,但轨 迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分 利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的 特点,根据几何知识寻找边角关系。 例 1 如图1所示,三块挡板 MN、 AM 和AN 围成截面边长L=1.2 m的等边 三角形,挡板 MN 水平,C、P、Q 分别是挡板 MN、AM、AN 中点处的小孔,三个小孔处于 同一竖直面内。三角形AMN 内分布着垂直 于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B1; 三角形 AMN 外和挡板 MN 以下区域分布 着垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度 B2=3B1。一比荷 q m=1×10 8 C/kg的带正 电的粒子以初速度v=4×105 m/s从小孔C 进入磁感应强度为B1 的匀强磁场,经磁场偏 转后直接垂直于挡板 AN 经过小孔Q 进入 磁感应强度为B2 的匀强磁场。已知粒子最 终又回到了C 点。设粒子与挡板碰撞过程 中没有动能损失,且所带电荷量保持不变,不 计粒子自身重力和挡板厚度,取π=3。求: (1)磁感应强度B1。 (2)粒子回到C 点的过程中,在磁感应 强度为B2 的匀强磁场中的运动时间。 解析:(1)粒子在两个有界磁场中的运动 轨迹如图2所示。设粒子在磁感应强度为 B1 的匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半 径为R1,根据几何关系得R1= L 2=0.6 m, 图1 图2 根据洛伦兹力提供向心力得qvB1=m v2 R1 ,解 得 B1= 2 3×10 -2 T。 (2)因为B2=3B1=2×10-2 T,所以粒子 在磁感应强度为B2 的匀强磁场中运动时有 qvB2=m v2 R2 ,解得R2=0.2 m。粒子在磁感 应强度为B2 的匀强磁场中的运动周期T2= 2πR2 v ,运动时间t= 180°+300°+180° 360° T2= 5.5×10-6 s。 考点二:电场与磁场的组合 求解带电粒子在电场与磁场的组合场中 运动问题的思路如图3所示。 图3 类型1:先电场后磁场 例 2 如图4所示,在x 轴上方分布着 竖直向上的匀强电场,在x 轴下方分布着垂 直于Oxy 平面向外的匀强磁场,y 轴上的M 点到坐标原点O 的距离L=1 m。现有一质 量m=1×10-8 kg,电荷量q=-1×10-6 C 的粒子,以垂直于y 轴方向的初速度v0= 22 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2025年7—8月 10 m/s,从 M 点射入电场。已知电场强度 E=0.5 N/C,磁感应强度B=0.05 T,不计粒 子自身重力,求: (1)粒子第一次进入磁场时的速度。 (2)粒子第四次经过x 轴所需的时间和 位置坐标。(结果可以用π表示) 图4 图5 解析:(1)粒子的运动轨迹如图5所示。 粒子先在电场中做类平抛运动,设它第一次 经过x 轴上的N 点进入磁场,则xON=v0t1, yOM= 1 2at 2 1,其中yOM=L=1 m,a=q E m ,解 得t1=0.2 s,xON=2 m。根据平抛运动规律 得 vy vx =2 yOM xON =1,其中vx=v0=10 m/s,因 此粒子经过 N 点时的速度vN= v2x+v2y = 102 m/s,方向与x 轴成45°夹角斜向下。 (2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动,设 其轨迹圆半径为 R,则qvNB= mv2N R ,解得 R=22 m。设粒子第二次经过x 轴上的P 点进入电场,根据几何关系得xNP=4 m,根 据对称性可得,粒子再次以与x 轴成45°夹角 的速度进入电场后做类斜抛运动,即粒子的 运动轨迹具有周期性。粒子第四次经过x 轴 时有x=3xON+2xNP=14 m,其位置坐标为 (14 m,0)。粒子在磁场中的运动周期 T= 2πR vN ,运动时间t2= T 4= π 10 s,因此粒子总的 运动时间t=3t1+2t2= 0.6+ π 5 s。 类型2:先磁场后电场 例 3 如图6所示,在 Oxy 平面(纸 面)内,x>0空间存在方向垂直于纸面向外 的匀强磁场,第三象限空间存在方向沿x 轴 正方向的匀强电场。一质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子(不计重力),以大小为v、方 向与y 轴正方向的夹角θ=60°的速度沿纸面 从坐标为(0,3L)的P1 点进入磁场区域,然 后从坐标为(0,- 3L)的P2 点进入电场区 域,最后从x 轴上的P3 点(图中未画出)垂直 于x 轴射出电场。求: (1)磁感应强度B。 (2)粒子从P1 点运动到P2 点所用的时 间t。 (3)电场强度E。 图6 图7 解析:(1)粒子的运动轨迹如图7所示, 在磁场中的轨迹圆的圆心为O1,对应半径为 R,根据几何关系得Rsin θ= 3L,解得R= 2L。根据 洛 伦 兹 力 提 供 向 心 力 得qvB= mv2 R ,解得B= mv 2qL 。 (2)粒子从P1 点运动到P2 点所用的时 间t= 2π-2θ 2π T ,又有 T= 2πR v = 4πL v ,解得 t= 8πL 3v 。 (3)粒子进入电场后做类斜抛运动,设粒 子在电场中的运动时间为t',根据运动的合成 与分解得vcos θ·t'=3L,vsin θ-at'=0,根 据牛顿第二定律得qE=ma,解得E= mv2 4qL 。 总结:求解带电粒子在组合场中的运动 问题,一般按照画运动轨迹示意图→找关键 点→划分运动过程的步骤进行分析与处理。 图8 1.如 图 8 所 示,在 Oxy 平面(纸面)内,OP 与x 轴正方向间的夹角 θ=53°,在x 轴上方与OP 所夹范围内(含边界)存在 (下转第33页) 32 物理部分 经典题突破方法 高考理化 2025年7—8月 (上接第23页) 垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度 B=0.1 T。第二象限内存在平行于y 轴向 下的匀强电场,电场强度E= 83 40×10 5 V/m。 一带电微粒以初速度v0=5×106 m/s从 x 轴上的a(L,0)点平行于OP 射入磁场,并从 OP 上的b点垂直于OP 离开磁场,与y 轴交 于c点,最后回到x 轴上的d 点(图中未标出 b、d两点)。已知L=1.25 m,sin 53°=0.8, cos 53°=0.6,不计微粒自身重力,求: (1)微粒的比荷qm 。 (2)d 点与O 点的距离l。 图9 2.如图9所示,一虚线 将Oxy 平面(纸面)分为两 部分,虚线交y 轴于P 点, 交x 轴于 Q 点,∠PQO= 60°。虚线上方区域存在垂 直于PQ 连线指向左下方的 匀强电场,电场强度为E;虚 线下方区域存在垂直于纸面向里的匀强磁 场,磁感应强度未知。一电荷量为q(q>0)、 质量为m 的粒子从P 点以初速度v0 沿x 轴 正方向射入电场区域,不计粒子自身重力,此 后运动过程中其轨迹与虚线的第一个交点 为 M,第二个交点为 N(图中未标出 M、N 两点)。 (1)求从P 点到M 点的过程中,粒子离 虚线的最远距离。 (2)若PM=MN,求磁感应强度B。 (3)若 磁 感 应 强 度 B= 3E v0 且 PQ= 33mv20 qE ,求粒子第一次到达x轴所用的时间。 参考答案: 1.(1)qm=5×10 7 C/kg;(2)l=4 m。 2.(1)smax= 3mv20 8qE ;(2)B= 2E v0 ;(3)t= 2(63+π)mv0 3qE 。 (责任编辑 张 巧) 33 物理部分 创新题追根溯源 高考理化 2025年7—8月