24.1.2垂直于弦的直径 课后作业（知识梳理+习题精选）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径 课后作业 （一）知识梳理 1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 ． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 ． 推论2：弦的垂直平分线 ，并且平分弦所对的 ． 推论3：平分弦所对一条弧的直径， ，并且平分弦所对的另一条弧． 2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 ． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造 ，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． （二）知识精练 一、单选题 1．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），并量得两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 3．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1或7 B．7 C．1 D．3或4 4．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 5．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 6．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，的弦，为的中点，且，则的半径为（    ）    A．8 B．6 C．5 D．4 二、填空题 9．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 ． 10．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 11．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F，BD=5，则OF= ． 12．小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端，量得弧的中心C到的距离，，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 ． 三、解答题 13．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 14．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF． 15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？ 16．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施．    (1)求拱桥所在圆的半径； (2)若某次洪水中，拱顶离水面只有，即，通过计算说明是否需要采取紧急措施． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答． 如图，作辅助线；首先根据题意求出线段的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点D； 则， 设的半径为r，则， 在直角中，， 由勾股定理得 解得：． 故选：D． 2．C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 3．A 【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心两侧时；②当AB、CD在圆心同侧时；利用垂径定理及勾股定理求出答案. 【详解】解：①当AB、CD在圆心两侧时； 过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示： ∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8， ∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上， ∴EF为AB、CD之间的距离 在Rt△OEC中，由勾股定理可得： OE2＝OC2﹣CE2 ∴OE3， 在Rt△OFA中，由勾股定理可得： OF2＝OA2﹣AF2 ∴OF4， ∴EF＝OE+OF＝3+4＝7， AB与CD的距离为7； ②当AB、CD在圆心同侧时； 同①可得：OE＝3，OF＝4； 则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1； 综上所述：AB与CD间的距离为1或7． 故选：A. 【点睛】此题考查圆的垂径定理、直角三角形的勾股定理，解题中注意运用分类讨论的思想避免漏解. 4．D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 5．D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 6．A 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 7．C 【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径，为弦，于点E， ，， B、D选项结论成立，不符合题意； ， ， A选项结论成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键． 8．C 【分析】连接，，由和是的半径，则，利用垂径定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图所示：    和是的半径， ， 又为的中点，且， ，， ， 在中，，， ， 的半径为：5， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握勾股定理及垂径定理，借助辅助线解决问题是解题的关键． 9．7 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 10． 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 11． 【分析】利用垂径定理可得，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题． 【详解】∵直径AB⊥弦CD， ∴， ∴BD=BC=5， ∵OF⊥AC， ∴AF=FC， ∵OA=OB， ∴OF是三角形ABC的中位线 , ∴2OF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 12．10 【分析】利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， ∵C为弧的中心，， ∴延长必过圆的圆心，设圆心为，连接，如图， ∴， 由勾股定理，得：， 即：， 解得：； ∴圆形瓦片所在圆的半径为：； 故答案为：10． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 13．证明见解析. 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 14．见解析． 【分析】分别连接OA、OC，证明Rt△AEO≌Rt△CFO，可得OE＝OF． 【详解】分别连接OA、OC， ∵＝， ∴AB＝CD， ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴AE＝CF ， 又∵OA＝OC， ∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL）， ∴OE＝OF． 【点睛】本题主要考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 15．寸 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设圆O的半径的长为x，则 ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得： 所以（寸）． 16．(1) (2)不需要 【分析】（1）由垂径定理可得，设拱桥所在圆的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求解即可获得答案； （2）首先求得，，在中，由勾股定理可得，易知，即可获得结论． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，连接，如下图，    由题意易知，点共线，且，则， 设拱桥所在圆的半径为，则， 在中，， 由勾股定理，可得，即， 解得， 所以，拱桥所在圆的半径为； （2）连接，如图， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴不需要采取紧急措施． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解题关键是运用垂径定理和勾股定理求得拱桥所在圆的半径． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$