专题01 集合的参数的求法（专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题01 集合中的参数问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据元素和集合的关系求参数 1 题型二、根据集合中元素的个数求参数 2 题型三、根据集合的相等求参数 3 题型四、根据集合的包含关系求参数 4 题型五、含参数的集合相关题型 5 题型六、根据集合并集的结果求参数 6 题型七、根据集合的交集结果求参数 7 题型八、根据集合补集的结果求参数 10 题型九、集合交并补混合运算求参数 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据元素和集合的关系求参数 1．（2025•甘肃校级三模）已知集合，，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】由，得到，再根据集合的运算得解． 【解答】解：易知，， 由得，则， 所以，． 故选：． 2．（2025•红河州四模）已知集合，若，则　　 A． B． C．或 D．或 【分析】由题意可知，求出的取值范围即可． 【解答】解：因为， 所以， 解得． 故选：． 3．（2025春•河南月考）已知集合，若且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果． 【解答】解：根据题意，集合，若且， 则有，解可得． 故选：． 题型二、根据集合中元素的个数求参数 4．（2025春•衡阳期末）设集合，，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．，， 【分析】转化为无解，利用根的判别式进行求解． 【解答】解：集合，， 可得无解， 所以△，解得． 故选：． 5．（2025春•长沙校级月考）已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是 　　． 【分析】分析可知集合对应的区间长度在，之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可． 【解答】解：因为集合中的元素恰有两个整数， 所以， 解得， ①当时，集合中的两个整数分别为2、3， 则， 解得， ②当时，此时，符合题意， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 6．（2025春•永州校级期末）已知集合，，若集合有且仅有2个子集，则的取值是　　 A．1 B． C．0，1 D．，0，1 【分析】若有且仅有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 【解答】解：由题意可得，集合为单元素集， （1）当时，，此时集合的两个子集是，， （2）当时则△解得， 当时，集合的两个子集是，， 当，此时集合的两个子集是，． 综上所述，的取值为，0，1． 故选：． 题型三、根据集合的相等求参数 7．（2025•宁夏三模）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 【分析】根据即可得出，解出，并检验是否满足集合元素的互异性即可． 【解答】解： ， 解得，或3， 不满足集合元素的互异性，应舍去， ． 故选：． 8．（2025春•丽江校级期末）若集合，，，集合，且，则　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可． 【解答】解：因为，根据题意，故， 所以，0，，，， 则，即， 当时，与集合的互异性矛盾，故舍去； 当，时，，0，，，，符合题意， 所以． 故选：． 9．（2025春•贵阳校级月考）已知实数集合，，，，，，若，则　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【解答】解：当，时，，，不符集合元素的互异性， 当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 所以，，． 故选：． 题型四、根据集合的包含关系求参数 10．（2025春•五华区校级月考）设集合，．若，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【分析】解不等式化简集合，，根据包含关系即可列出关于的不等式． 【解答】解：由题意可知，集合，， 又因为， 所以， 解得， 即实数的取值范围是，． 故选：． 11．（2025春•凌源市期末）已知集合，2，，集合，．若，则实数的取值集合为　　 A． B． C．， D． 【分析】由题意得或，求出即可． 【解答】解：若，则或，解得， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且． 故选：． 12．（2025春•保定期末）已知集合，，且，则实数的取值范围为　　 A． B．或 C． D．或 【分析】利用一元二次不等式的解法即可化简集合，再利用，即可得出结果． 【解答】解：集合， 因为，所以，解得． 故选：． 13．（2025春•安康期末）设集合，，若，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据题意和子集的概念列出不等式组，求解即可． 【解答】解：因为，，且， 所以， 解得， 即的取值范围是，． 故选：． 14．（2025春•南京期末）设集合，0，，，，且，则实数的值是　　 A． B．0 C．1 D．2 【分析】根据集合间的关系列方程并检验，可得实数的值． 【解答】解：由，可得或，解得或2， 当时，不符合集合元素的互异性，舍去， 故． 故选：． 题型五、含参数的集合相关题型 15．（2025春•浙江月考）已知集合，，，，则　　 A． B．，C．， D．， 【分析】由已知直接利用交集运算的定义得答案． 【解答】解：，，，， ，． 故选：． 16．（2025春•南京校级月考）已知集合，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合，，，， 则， 则． 故选：． 17．（2025•西湖区校级模拟）设全集，集合，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】化简集合，再利用集合之间的包含关系即可得到结果． 【解答】解：集合，， ，，， 则集合是集合的子集，即． 故选：． 题型六、根据集合并集的结果求参数 18．（2025春•滨州期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 【分析】利用并集定义、不等式的性质直接求解． 【解答】解：集合，，，则 ， 实数的取值范围为，． 故选：． 19．（2025春•常德期末）已知集合，，，若，则实数的取值所组成的集合是　　 A．， B．， C．，0， D．，0， 【分析】根据可得出，然后可讨论是否为时，显然满足题意；时，可得出或，然后解出的值，从而可得出实数的值所组成的集合． 【解答】解：，， 当时，，满足条件； 当时，或，解得或； 综上可得，实数的取值所组成的集合是：，2，． 故选：． 20．（2025•湖北模拟）已知集合，，，，，，则中的元素个数至少为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先根据求出且，再根据可得与0，，均互异，结合特例可得正确的选项． 【解答】解：集合，，，，， 由中元素的互异性可得，，故且， 而，故当且时，与0，，均互异， 故中至少有4元素，取，此时，2，，，， 此时有4个元素，故中的元素个数至少为4个． 故选：． 21．（2025春•沙坪坝区校级期末）已知集合，，，若，2，，则所有满足条件的实数组成的集合为　　 A． B． C．， D．，2， 【分析】化简集合，根据集合，的关系可得组成的集合． 【解答】解：集合，，， 若，2，， 则所有满足条件的实数组成的集合为，2，． 故选：． 题型七、根据集合的交集结果求参数 22．（2025•临清市校级模拟）已知集合，，，，，，且，则　　 A．，， B．，， C．或20 D．，16，，， 【分析】由交集的结果分类讨论集合与元素的关系，由此即可列式求解，但要注意检验，由此即可得解． 【解答】解：由题意集合，，，，，，且， 当时，，此时集合，16，，，，，且，满足题意； 当时，，此时集合，，，，，，且，，不满足题意； 综上所述，当且仅当，即集合，16，，，，，此时有，16，，，， 对比选项可得只有选项符合题意． 故选：． 23．（2025春•普陀区校级期末）设集合，，，若中恰有一个整数，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D． 【分析】先化简，，求集合，利用中恰含有一个整数，即可求实数的取值范围． 【解答】解：由中不等式变形得：， 解得：或，即或， 函数的对称轴为，， 如图示： 由对称性可得，要使恰有一个整数， 即这个整数解为2， （2）且（3）， 即，解得：， 即， 故选：． 24．（2025•丽江校级一模）若集合，9，，，，则满足的实数的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据已知条件，推得，再分类讨论，即可求解． 【解答】解：， 则， 当，即时，，9，，，，满足题意， 当，即或， 当时，，9，，，，满足题意， 当时，集合中的元素不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，或， 故满足的实数的个数为2． 故选：． 25．（2025春•内蒙古期末）已知集合，，，且的元素个数为2，则的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 【分析】依据题意得到，计算即可． 【解答】解：集合，，，且的元素个数为2， 则，得． 则的取值范围为． 故选：． 26．（2025春•大同期末）已知集合，，若，则实数的取值是　　 A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 【分析】由题设可得，，根据交集的结果及集合的描述求参数值，即可得． 【解答】解：集合，， 因为，所以集合是集合的子集， 的子集有，，，，，显然集合最多有一个元素， 所以的可能取值有、、0． 故选：． 题型八、根据集合补集的结果求参数 27．（2023秋•小店区月考）若，2，3，，，，，求，的值． 【分析】根据补集的概念，求得集合，再结合一元二次方程韦达定理可得解． 【解答】解：，，由补集的定义可得，， 方程的两根为2，3； ，解得，． ，． 28．（2023秋•黄浦区校级期末）若全集，，，，，且，求实数的值． 【分析】根据补集运算求解即可． 【解答】解：由题意可知：，， 则，解得， 所以实数的值为． 题型九、集合交并补混合运算求参数 29．（2025春•乌兰察布校级期末）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）当时，，解得；当时，或，由此能求出实数的取值范围； （2），，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围． 【解答】解：（1）集合，，， 当时，，解得； 当时，或， 解得， 实数的取值范围是，，； （2），， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，实数的取值范围是，． 30．（2025春•顺庆区校级月考）集合，． （1）若，4，，，求实数的值； （2）已知，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可； （2）由得，从而求得的取值范围． 【解答】解：（1）因为，所以，且， 由，可得，解得：或． 由，所以，解得， 所以实数的值为1； （2）集合， 集合． 因为，所以，从而， 解得所以实数的取值范围为． 31．（2025春•镇海区校级期中）设集合，．若，求实数的取值范围． 【分析】结合集合的包含关系，即可求解． 【解答】解：由知． 当为空集时，，解得； 当非空时，需满足，解得， 故实数的取值范围为． 32．（2024秋•浦东新区校级期末）已知集合，，．若，求实数的取值范围． 【分析】根据列出不等式组，求出的取值范围即可． 【解答】解：，， 因为，所以， 解得， 所以实数的取值范围为，． 33．（2025春•滨湖区校级月考）设全集为，集合．若，求实数的取值范围． 【分析】根据，讨论的取值情况，即可求出实数的取值范围． 【解答】解：因为，且， 所以时，，此时，满足题意； 由，解得； 由，解得； 综上，实数的取值范围是或． 34．（2024秋•湖北期末）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合中恰有3个整数，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出集合，然后结合集合包含关系即可求解； （2）结合集合的交集运算确定整数，进而对集合端点位置进行分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）由，可得或，即或； 由，得或， 解得或， 故的范围为或； （2）集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位， 故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知， ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知， 综上可知的范围为，，． 题型十、集合的新定义问题 35．（2025春•秦淮区校级月考）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，下列结论正确的是　　 A． B． C．整数，属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，，则 【分析】由“类”的定义代入计算可判断、、，分别验证选项的充分性和必要性可判断． 【解答】解：整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即， 对于，因为，所以，错误． 对于，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以，又， 所以，错误． 对于，若，，，1，2，3，则，，，， 所以； 若，则，，不妨设，，1，2，3， 则，，所以，， 所以，除以4所得的余数相同，即，属于同一“类”． 故整数，属于同一“类”的充要条件是“”， 错误． 对于，由题意可设，，，， 则， 因为，所以，正确． 故选：． 36．（2025•广东模拟）用（A）表示非空集合中元素个数，定义，若，，且，则实数的所有取值为　　 A．0 B．0， C．0， D．，0， 【分析】根据，，，且，可知集合要么是单元素集合，要么是三元素集合，进而可得或，求解即可得的所有可能值． 【解答】解：由于等价于①或②， 又由，，且， 集合要么是单元素集合，要么是三元素集合， 集合是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根， ； 集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根， 即， 解得， 综上所述或， 故选：． 一．选择题（共6小题） 1．（2023•甲卷）设集合，，，，为整数集，则　　 A．， B．， C．， D． 【分析】根据集合的基本运算，即可求解． 【解答】解：，，，， 或，，又为整数集， ，． 故选：． 2．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 【分析】根据题意可得或，然后讨论求得的值，再验证即可． 【解答】解：依题意，或， 当时，解得， 此时，，，0，，不符合题意； 当时，解得， 此时，，，，，符合题意． 故选：． 3．（2021•乙卷）已知集合，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】分别讨论当是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可． 【解答】解：当是偶数时，设，则， 当是奇数时，设，则，， 则， 则， 故选：． 4．（2020•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可． 【解答】解：取：，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，排除， ，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，排除； ，4，8，，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除； 故选：． 5．（2017•新课标Ⅱ）设集合，2，，．若，则　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】由交集的定义可得且，代入二次方程，求得，再解二次方程可得集合． 【解答】解：集合，2，，． 若，则且， 可得，解得， 即有，． 故选：． 6．（2025•宁夏三模）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 【分析】根据即可得出，解出，并检验是否满足集合元素的互异性即可． 【解答】解： ， 解得，或3， 不满足集合元素的互异性，应舍去， ． 故选：． 二．填空题（共2小题） 7．（2023•上海）已知集合，，，，且，则　2　． 【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解． 【解答】解：集合，，，，且， 则． 故答案为：2． 8．（2020•上海）集合，，，2，，若，则　3　． 【分析】利用集合的包含关系即可求出的值． 【解答】解：，且，，， 故答案为：3． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合中的参数问题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据元素和集合的关系求参数 1 题型二、根据集合中元素的个数求参数 1 题型三、根据集合的相等求参数 2 题型四、根据集合的包含关系求参数 2 题型五、含参数的集合相关题型 2 题型六、根据集合并集的结果求参数 3 题型七、根据集合的交集结果求参数 3 题型八、根据集合补集的结果求参数 4 题型九、集合交并补混合运算求参数 4 题型十、集合的新定义问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据元素和集合的关系求参数 1．（2025•甘肃校级三模）已知集合，，若，则　　 A． B． C． D． 2．（2025•红河州四模）已知集合，若，则　　 A． B． C．或 D．或 3．（2025春•河南月考）已知集合，若且，则　　 A． B． C． D． 题型二、根据集合中元素的个数求参数 4．（2025春•衡阳期末）设集合，，则的取值范围是　　 A． B． C．， D．，， 5．（2025春•长沙校级月考）已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是 　　． 6．（2025春•永州校级期末）已知集合，，若集合有且仅有2个子集，则的取值是　　 A．1 B． C．0，1 D．，0，1 题型三、根据集合的相等求参数 7．（2025•宁夏三模）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 8．（2025春•丽江校级期末）若集合，，，集合，且，则　　 A．1 B． C．2 D． 9．（2025春•贵阳校级月考）已知实数集合，，，，，，若，则　　 A． B．0 C．1 D．2 题型四、根据集合的包含关系求参数 10．（2025春•五华区校级月考）设集合，．若，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 11．（2025春•凌源市期末）已知集合，2，，集合，．若，则实数的取值集合为　　 A． B． C．， D． 12．（2025春•保定期末）已知集合，，且，则实数的取值范围为　　 A． B．或 C． D．或 13．（2025春•安康期末）设集合，，若，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 14．（2025春•南京期末）设集合，0，，，，且，则实数的值是　　 A． B．0 C．1 D．2 题型五、含参数的集合相关题型 15．（2025春•浙江月考）已知集合，，，，则　　 A． B．， C．， D．， 16．（2025春•南京校级月考）已知集合，，，，则　　 A． B． C． D． 17．（2025•西湖区校级模拟）设全集，集合，，，，则　　 A． B． C． D． 题型六、根据集合并集的结果求参数 18．（2025春•滨州期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 19．（2025春•常德期末）已知集合，，，若，则实数的取值所组成的集合是　　 A．， B．， C．，0， D．，0， 20．（2025•湖北模拟）已知集合，，，，，，则中的元素个数至少为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 21．（2025春•沙坪坝区校级期末）已知集合，，，若，2，，则所有满足条件的实数组成的集合为　　 A． B． C．， D．，2， 题型七、根据集合的交集结果求参数 22．（2025•临清市校级模拟）已知集合，，，，，，且，则　　 A．，， B．，， C．或20 D．，16，，， 23．（2025春•普陀区校级期末）设集合，，，若中恰有一个整数，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D． 24．（2025•丽江校级一模）若集合，9，，，，则满足的实数的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2025春•内蒙古期末）已知集合，，，且的元素个数为2，则的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 26．（2025春•大同期末）已知集合，，若，则实数的取值是　　 A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 题型八、根据集合补集的结果求参数 27．（2023秋•小店区月考）若，2，3，，，，，求，的值． 28．（2023秋•黄浦区校级期末）若全集，，，，，且，求实数的值． 题型九、集合交并补混合运算求参数 29．（2025春•乌兰察布校级期末）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 30．（2025春•顺庆区校级月考）集合，． （1）若，4，，，求实数的值； （2）已知，求实数的取值范围． 31．（2025春•镇海区校级期中）设集合，．若，求实数的取值范围． 32．（2024秋•浦东新区校级期末）已知集合，，．若，求实数的取值范围． 33．（2025春•滨湖区校级月考）设全集为，集合．若，求实数的取值范围． 34．（2024秋•湖北期末）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合中恰有3个整数，求实数的取值范围． 题型十、集合的新定义问题 35．（2025春•秦淮区校级月考）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，下列结论正确的是　　 A． B． C．整数，属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，，则 36．（2025•广东模拟）用（A）表示非空集合中元素个数，定义，若，，且，则实数的所有取值为　　 A．0 B．0， C．0， D．，0， 一．选择题 1．（2023•甲卷）设集合，，，，为整数集，则　　 A．， B．， C．， D． 2．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 3．（2021•乙卷）已知集合，，，，则　　 A． B． C． D． 4．（2020•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 5．（2017•新课标Ⅱ）设集合，2，，．若，则　　 A．， B．， C．， D．， 6．（2025•宁夏三模）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 二．填空题 7．（2023•上海）已知集合，，，，且，则　　． 8．（2020•上海）集合，，，2，，若，则　　． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$