专题03 方程与不等式（辽宁专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题01 方程与不等式 考点01 不等式的解集 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）不等式的解集是 ． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）不等式组的解集是 ． 考点02 不等式的解集与数轴 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．（2023·辽宁营口·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点03 二元一次方程组小题 6．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”设有只鸡，只兔，根据题意，可列方程组为 ． 考点04 分式方程小题 9．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ． 10．（2023·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·辽宁·中考真题）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 考点05 一元二次方程小题 12．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 13．（2023·辽宁阜新·中考真题）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．    考点06 一元二次的根与含参问题 15．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 16．（2023·辽宁沈阳·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ． 17．（2023·辽宁阜新·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 . 18．（2023·辽宁营口·中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 19．（2023·辽宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 考点07 一元一次方程与不等式的应用 20．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 21．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 考点08 二元一次方程与不等式的应用 22．（2023·辽宁·中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元 (1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？ 23．（2023·辽宁·中考真题）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元． (1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ (2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 考点09 分式方程的应用 24．（2023·辽宁丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米? 25．（2023·辽宁阜新·中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 26．（2023·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 27．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件． 考点10 一元二次方程的应用 28．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 考点11 一元二次方程与二次函数最值问题 29．（2023·辽宁·中考真题）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 30．（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 31．（2023·辽宁·中考真题）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 32．（2023·辽宁锦州·中考真题）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？ 33．（2023·辽宁鞍山·中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．    (1)求与的函数解析式． (2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 34．（2023·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … (1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）． (2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？ 35．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 方程与不等式 考点01 不等式的解集 1．（2023·辽宁阜新·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先移项合并同类项，然后再将未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 未知数系数化为1得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确计算． 2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】按解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，再根据写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 考点02 不等式的解集与数轴 4．（2023·辽宁沈阳·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，掌握大于折线向右是解本题的关键．由包含分界点用实心点，大于折线向右，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴1处是实心点，且折线向右． 故选：D． 5．（2023·辽宁营口·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】解出不等式组的解集，在数轴上表示，含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴数轴表示如下所示：    故选B． 【点睛】本题考查了数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点． 考点03 二元一次方程组小题 6．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 7．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可． 【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷， 根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得 根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得， 可列 故选：C． 【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 8．（2023·辽宁沈阳·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”设有只鸡，只兔，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 考点04 分式方程小题 9．（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解一元一次方程，最后再检验． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 10．（2023·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输kg货物，由题意，得： ； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 11．（2023·辽宁·中考真题）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为， 依题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 考点05 一元二次方程小题 12．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 13．（2023·辽宁阜新·中考真题）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 时，羊圈的面积最大．    【答案】15 【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解． 【详解】解：设为，面积为， 由题意可得：， 当时，取得最大值， 即时，羊圈的面积最大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 考点06 一元二次的根与含参问题 15．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 16．（2023·辽宁沈阳·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即 ， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 17．（2023·辽宁阜新·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 . 【答案】k<- 【分析】根据一元二次方程跟的判别式，可得关于k的一元一次不等式进行求解即可. 【详解】根据题意得， ， 解得：k<-， 故答案为：k<-. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记方程有两个不相等的实数根， 方程有两个相等的实数根，方程没有实数根， 方程有实数根是解题的关键. 18．（2023·辽宁营口·中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 19．（2023·辽宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． 考点07 一元一次方程与不等式的应用 20．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 21．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 考点08 二元一次方程与不等式的应用 22．（2023·辽宁·中考真题）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元 (1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？ 【答案】(1)A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元； (2)至少购进A种礼品盒15盒． 【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，根据题意列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元， 根据题意得：， 解得：， 答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元； （2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒， 根据题意得：， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小整数解为15， ∴至少购进A种礼品盒15盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键． 23．（2023·辽宁·中考真题）某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元． (1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ (2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 【答案】(1)36；20 (2)31 【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论; （2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论. 【详解】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元， 根据题意得， ，解得: ， 答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元； （2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31. 答：最多可购买甲种驱蚊手环31个. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式. 考点09 分式方程的应用 24．（2023·辽宁丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米? 【答案】施工队原计划每天改造6米． 【分析】设施工队原计划每天改造米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：，解方程并检验可得答案． 【详解】解：设施工队原计划每天改造米， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：施工队原计划每天改造6米． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程． 25．（2023·辽宁阜新·中考真题）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)求：足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元； (2)学校最多可以购买70个足球． 【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元； （2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26．（2023·辽宁锦州·中考真题）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少元？ 【答案】A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元 【分析】设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元，，再利用“采购相同数量的A，B两种品牌篮球，分别需要花费9600元和7200元”，列方程，解方程即可． 【详解】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （元）． 所以，A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设出恰当的未知数，确定相等关系是解题的关键． 27．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件． 【答案】乙每小时加工个这种零件． 【分析】设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，利用“甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等”列分式方程即可求解． 【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：乙每小时加工个这种零件． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程进行求解． 考点10 一元二次方程的应用 28．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 考点11 一元二次方程与二次函数最值问题 29．（2023·辽宁·中考真题）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 【答案】(1)（其中，且x为整数） (2)当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由已知得， 解得， 因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）； （2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W， 由题意得， ， W关于x的二次函数图象开口向上， ，且x为整数， 当时，W取最大值，最大值为1800， 即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，列出周利润W关于x的二次函数关系式是解题的关键． 30．（2023·辽宁营口·中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案． 【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出：， 整理得：， 根据二次函数的性质得出：当时，利润最大， 最大利润为：， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 31．（2023·辽宁·中考真题）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】(1) (2)护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意设， 由表知，当时，；当时，； 以上值代入函数解析式中得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）解：设销售利润为W元， 则， 整理得：， 由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则， ∵，， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，且最大值为2400； 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 32．（2023·辽宁锦州·中考真题）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元 【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴求y与x之间的函数关系式为； （2）解：设日销售利润为w， 由题意得： ， ∴当时，w有最大值，最大值为810， ∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键． 33．（2023·辽宁鞍山·中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．    (1)求与的函数解析式． (2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元 【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解； （2）设销售销这种荔枝日获利元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， ∵改函数图象经过点和点 ∴ 解得： ∴与的函数解析式为； （2）解：设销售销这种荔枝日获利元， 根据题意，得， ，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵销售价格不高于18元/kg， 当时，有最大值为元， 当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键． 34．（2023·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … (1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）． (2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． ①求：三月份每件产品的成本是多少万元？ ②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)①20万元；②，四月份最少利润是500万元． 【分析】（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求解； （2）①利用（1）中结论求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程即可；②列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：①将代入，得（件）， 设三月份每件产品的成本是a万元， 由题意得， 解得， 即三月份每件产品的成本是20万元； ②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为， 由题意得：， 则抛物线的对称轴为，且，开口向下， 则时，取得最小值， 此时，， 即四月份最少利润是500万元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式． 35．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)6元 (3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； （3）解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 二、解答题 三、填空题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$