专题10 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题10 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 有理数的混合运算的实际应用 题型七 有理数的新定义问题 题型八 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，数轴上点表示的数分别为，现有一动点以个单位每秒的速度从点向运动，另一动点以个单位每秒的速度从点向运动，当时，运动的时间为 (  ) A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）如下图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．动点Q从点A出发以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发．设运动时间为t秒（），当 时，点P、Q两点到点A的距离相等． 3．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足，动点M从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点N从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1） ； （2）当M，N两点相距9个单位长度时，t的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 5．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的四分之一，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原述．设运动的时间为t秒，问： (1)当动点P在上时，把点P到点A的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (2)当动点P在上时，把点P到点O的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (3)当点Q在上时，Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度与P，O两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为________（直接写出结果）． 6．（24-25六年级上·上海松江·期中）【知识拓展】 学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与5的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与 的两点间的距离；若，则的值为3或7． 【问题初探】： （1）若数轴上有两点A、B分别表示数和，则__________． （2）若，则的值为__________． 【拓展应用】 若数轴上有三点A、B、C分别表示数和和5． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度向点A方向移动，P到终点时两点同时停止，设移动时间为t秒． ①当t为多少时？求出此时t的值． ②当t为多少时？直接写出此时t的值． 7．（24-25六年级上·上海静安·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 8．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）已知，则的最大值是 ． 10．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0，________0，________0； (2)若，则________． (3)计算：． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 12．（24-25六年级上·上海静安·期末）为庆祝元旦节，近日某检修小组驾车从地出发，在东西走向的公路上检修路灯线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下表（单位：）． 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 行驶记录 (1)检修小组在第二次记录时距离地多远？ (2)收工时检修小组在地的正西方向还是正东方向？为什么？ (3)若每千米耗油，则这七次共耗油多少升？ 13．（24-25六年级上·上海崇明·期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 14．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 15．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（24-25六年级上·上海虹口·期中）填空（直接写出答案） （1） ； （2） ； （3） ；（n为正整数） （4）若a、b都是非零的有理数，那么的值是 ； （5）若a、b都是有理数，，化简 ． 17．（24-25六年级上·上海闵行·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 18．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)填空：________，________，________； (2)有理数，，在数轴上对应的点分别是，，，点为数轴上一动点，其对应的有理数为，当点在1到2之间运动时（即），请化简式子：． 19．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题． (1)请直接写出a、c的值，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 20．（2024六年级上·上海静安·专题练习）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 21．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． (1)如图1，①到5的距离是________；②x到的距离是________（用绝对值表示）；③若点P在点B右侧，化简________；④由图可知，的最小值是________； (2)请按照（1）问的方法思考：求的最小值是多少？ (3)如下图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小． ①汇合地点M的位置是________； A．在E，F之间               B．在F，G之间              C．在G，H之间 ②所有小朋友从小区门口到汇合地点的程之和的最小值是________． 【经典例题四 有理数的简便运算】 22．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图是佳佳的作业，他用了简便方法，依据是（　　） 解：原式= = = =． A．乘法交换律 B．乘法交换律与乘法分配律 C．乘法分配律 D．乘法结合律与乘法交换律 23．（24-25六年级上·上海长宁·期末）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 24．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）有个补充运算符号的游戏：在“129”中的每个内，填入“，，，”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：________（直接写出结果）； (2)若，则内的符号是________； (3)请在内填上“，”中的一个，使计算更加简便，然后计算：． 25．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）简便计算： (1)； (2)． 26．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小强：原式 小莉：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ (2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程． 27．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 28．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【经典例题五 有理数的规律计算问题】 29．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）用●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干实心圆与空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……前2019个圆中，有个空心圆（    ） A．672 B．673 C．1009 D．1010 30．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列各式：，，，，……，按照上面的规律，计算： ． 31．（24-25六年级上·上海杨浦·开学考试）（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 32．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）若，，，…，照此规律试求： (1)计算：__________； (2)计算：； (3)计算： 33．（24-25六年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 34．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 35．（24-25六年级上·上海静安·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【经典例题六 有理数的混合运算的实际应用】 36．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 37．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）某校初二年级名师生参加“研学旅行”活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐人） 中巴车 （最多可坐人） 小巴车 （最多可坐人） 每车租金（元天） 要完成这次“研学旅行”活动，一天租车的最低费用为 元． 38．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 39．（24-25六年级上·上海闵行·期中）海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 40．（24-25六年级上·上海普陀·期末）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km -8 -10 -14 0 +24 +31 +35 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 41．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 42．（24-25六年级上·上海虹口·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【经典例题七 有理数的新定义问题】 43．（24-25六年级上·上海崇明·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 45．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 46．（24-25六年级上·上海闵行·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 47．（24-25六年级上·上海金山·期中）对于有理数，，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)； (2)． 48．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 49．（24-25六年级上·上海宝山·期中）阅读下列新定义，利用新定义解决问题．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的连续除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把n（n为正整数）个a（）相除记作，读作“a的下n次方”． 【小试牛刀】 （1）直接写出计算结果：__________． （2）关于除方，下列说法正确的选项有_________（只需填入正确的序号）； ①任何非零数的下2次方都等于1； ②对于任何正整数n，； ③负数的下偶数次方结果是负数， 【探究解决】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． （1）写出将下列除方运算写成幂的形式的过程． ①； ②． （2）猜想（不必证明）：的幂的形式为________． 【经典例题八 新考向—材料阅读型问题】 50．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则____________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知_________． 51．（24-25六年级上·上海静安·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 52．（2024六年级上·上海青浦·模拟预测）【阅读】 ；；； 将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 53．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是： 故原式等于． 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ． 54．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读材料： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理，也可理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)若，则x的值是______． (2)同理表示数轴上有理数x所对应的点到5和所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x是______． (3)由以上探索猜想，若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，有最小值？如果有，直接写出最小值是多少？ 55．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数转换成为十进制数为______； 其他进制也有类似的算法 (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满进，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ (3)【拓展】除了以上例子，日常生活中还有哪些进制？请举例说明．（举个例子即可） 56．（24-25六年级上·上海闵行·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 有理数章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 数轴上的动点问题综合 题型二 绝对值的几何意义综合 题型三 绝对值化简问题综合 题型四 有理数的简便运算 题型五 有理数的规律计算问题 题型六 有理数的混合运算的实际应用 题型七 有理数的新定义问题 题型八 新考向—材料阅读型问题 【经典例题一 数轴上的动点问题综合】 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，数轴上点表示的数分别为，现有一动点以个单位每秒的速度从点向运动，另一动点以个单位每秒的速度从点向运动，当时，运动的时间为 (  ) A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算方法，解一元一次方程的综合，掌握两点之间距离的计算方法是解题的关键． 根据题意，设运动的时间为秒，分类讨论，第一种情况：相遇前；第二种情况：相遇后；根据两点之间距离的计算方法列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设运动的时间为秒， ∴点表示的有理数为：；点表示的有理数为：； ∴第一种情况：相遇前，，, 依题意有，， 解得； 第二种情况：相遇后，，， 依题意有，， 解得； 综上所述，运动的时间为秒或秒． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）如下图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．动点Q从点A出发以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发．设运动时间为t秒（），当 时，点P、Q两点到点A的距离相等． 【答案】2或8 【分析】本题考查非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．非负性求出的值，表示出表示的数，根据点P、Q两点到点A的距离相等，列出方程进行求解即可．掌握两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：，解得：或； 故答案为：2或8． 3．（24-25六年级上·上海闵行·开学考试）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足，动点M从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点N从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． （1） ； （2）当M，N两点相距9个单位长度时，t的值为 ． 【答案】 6或12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负性，解题的关键是用t表示出M，N表示的数； （1）根据偶次方和绝对值的非负性求解即可； （2）用t表示出M，N表示的数，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）， ，， ，， ， 故答案为：； （2）当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 的值为6或． 故答案为：6或． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 【答案】(1)15 (2)点M到A，B两点的距离之和 【分析】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和数轴上两点间距离． （1）代入两点间的距离公式即可求得的长； （2）根据表示的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，10， ∴； 故答案为：15； （2）解：式子表示的意义为：点到A，B两点的距离之和； 故答案为：点到A，B两点的距离之和． 5．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示，点B表示8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的四分之一，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原述．设运动的时间为t秒，问： (1)当动点P在上时，把点P到点A的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (2)当动点P在上时，把点P到点O的距离记为，则________（用t的代数式表示）； (3)当点Q在上时，Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度与P，O两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为________（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)； (3)1或 ． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系并列出方程是正确解答本题的关键． （1）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答； （2）根据路程、速度和时间的关系列式即可解答； （3）由Q在上可判定时间t的取值范围，然后根据点P的位置分类讨论，再根据P、O 两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）由题意可得：当动点P在上时，运动时间，点P到点A的距离， 故答案为：； （2）当动点P在上时，运动时间，则点P到点O的距离． 故答案为：； （3）由点Q在上时，则时间，所以， 当点P在上时，，由题意可得： ， 解得：； 当点P在 上时，，由题意可得： ， 解得：， 综上，t的值为1或 ， 故答案为：1或 ． 6．（24-25六年级上·上海松江·期中）【知识拓展】 学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与5的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与 的两点间的距离；若，则的值为3或7． 【问题初探】： （1）若数轴上有两点A、B分别表示数和，则__________． （2）若，则的值为__________． 【拓展应用】 若数轴上有三点A、B、C分别表示数和和5． 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度向点A方向移动，P到终点时两点同时停止，设移动时间为t秒． ①当t为多少时？求出此时t的值． ②当t为多少时？直接写出此时t的值． 【答案】（1）9；（2）或；（3）①或；②或 【分析】本题考查的知识点是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题关键是理解题意． （1）利用两点间距离公式直接计算即可； （2）去绝对值，解方程即可； 拓展应用：①根据两点间的距离公式得到，然后解方程即可； ②根据两点间的距离公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：9； （2）， 则或， 解得：或， 故答案为：或； 拓展应用：①∵ ∴， 解得：或； ②∵， ∴， 解得：或． 7．（24-25六年级上·上海静安·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 【答案】(1)4，7； (2)①2；②；③或6； (3) 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． （1）直接在数轴上表示有理数以及数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①根据阅读材料中关于绝对值的阐述进行解答即可；②直接运用数轴上两点间的距离公式解答即可；③根据绝对值的意义求解即可； （3）根据绝对值的意义化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得点B表示的数为4； A和B两点之间的距离为． 故答案为：4，7． （2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为2； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． ③表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13， 当时，，解得， 当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上所述：或6． 故答案为：或6． （3）解：∵动点M在A和B两点之间运动， ∴， ∴． 【经典例题二 绝对值的几何意义综合】 8．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点可以是N或P． 当原点在 M 时，，当原点在R时，，此时都不符合题意， 故原点只能是N或P． 故选：C． 9．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）已知，则的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 10．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且表示数的点、数的点与原点的距离相等． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0，________0，________0； (2)若，则________． (3)计算：． 【答案】(1)；；； (2)； (3) 【分析】（1）根据数轴判断a、b、c的符号和绝对值，进而即可判断各式的符号； （2）根据绝对值的意义，进行求解即可； （3）先去绝对值，再去括号计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴；；；； 故答案为：，，，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了根据数轴判断代数式的符号，绝对值的化简，有理数的运算法则，整式的计算等知识，根据数轴判断各式的符号是解题关键． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 12．（24-25六年级上·上海静安·期末）为庆祝元旦节，近日某检修小组驾车从地出发，在东西走向的公路上检修路灯线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下表（单位：）． 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 行驶记录 (1)检修小组在第二次记录时距离地多远？ (2)收工时检修小组在地的正西方向还是正东方向？为什么？ (3)若每千米耗油，则这七次共耗油多少升？ 【答案】(1)远 (2)正西方向，理由见解析 (3)升 【分析】（）根据正负数的意义和有理数的加法计算即可求解； （）把各数相加，根据结果即可判断求解； （）利用绝对值的意义求出总路程，再乘以油耗即可求解； 本题考查了正负数的意义，有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：检修小组在第二次记录时距离地远； （2）解：收工时检修小组在地的正西方向，理由如下： ∵， ∴收工时检修小组在地的正西方向； （3）解：， 答：这七次共耗油升． 13．（24-25六年级上·上海崇明·期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】(1)7， (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值方程是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离可直接进行求解； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出n的取舍范围，进而得出结果； （4）由（3）及绝对值的几何意义可进行求解 【详解】（1）解：数轴上表示5与的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：7；； （2）解： ， ∴或， ∴或； （3）解：由可知：数轴上表示n的数与2和的距离为5， ∴当时，则有，不符合题意； 当时，则有，符合题意； 当时，则有，不符合题意； ∴整数的n的值为； （4）解：由（3）及绝对值的几何意义可知：的最小值是4，即当x在1和之间时，且1和的距离为4，即， ∴或， ∴或． 14．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 【答案】（1）4；；（2）；（3）成立的x的值是或3 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键； （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和的两点之间的距离为； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离； （3）如图： 当时，， 当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 综上所述：成立的x的值是或3． 【经典例题三 绝对值化简问题综合】 15．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，化简绝对值，列举出所有可能结果，逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，所有的“调整和差操作”共有12种形式，运算A时，需考虑6种情况；运算B时，需考虑12种情况．得出： （1）当，时，； （2）当，时，； （3）当，时，； （4）当，时，； （5）当，时，； （6）当，时，； （7）当，时，； （8）当，时，； （9）当，时，； （10）当，时，； （11）当，时，； （12）当，时，； 综上，得8种不同运算结果，因此题目的说法③不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的和为，因此题目的说法①不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的差为，因此题目的说法②正确； 故选：B． 16．（24-25六年级上·上海虹口·期中）填空（直接写出答案） （1） ； （2） ； （3） ；（n为正整数） （4）若a、b都是非零的有理数，那么的值是 ； （5）若a、b都是有理数，，化简 ． 【答案】 / 3或 / 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的运用，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）第1个数与第2数之和为，第3个数与第4个数的和为，以此类推，得到50个相加，得到结果； （2）把原式看作一个整体，表示出它的2倍，再两式相减，得到结果； （3）根据最后一项可化简为分母是连续奇数，分子为1的两个数之差的形式，从而对原式变形，通过每一个式子相消的办法，得到结果； （4）分四种情况讨论a、b的正负，分别去掉绝对值符号，化简可得到结果； （5）根据新定义，对原式进行化简，即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2）令① 则，② ，得：， 即：； 故答案为：； （3）∵， ∴ 故答案为：； （4）若a、b都是非零的有理数， ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上所述，原式的值为3或； 故答案为：3或； （5）∵a、b都是有理数，则， ∴ 故答案为：． 17．（24-25六年级上·上海闵行·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 18．（24-25六年级上·上海松江·期末）已知是最小的正整数，且，，满足． (1)填空：________，________，________； (2)有理数，，在数轴上对应的点分别是，，，点为数轴上一动点，其对应的有理数为，当点在1到2之间运动时（即），请化简式子：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． （1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ， 根据题意得：，， ，，； 故答案为：；； （2）解：， 19．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题． (1)请直接写出a、c的值，______，______； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）； (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，5 (2)当，＝；当，＝ (3)的值随着时间t的变化而改变，理由见解析 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． （1）根据最小的正整数时 1 ， 即可得出的值， 根据绝对值和平方的非负性， 即可得出和是值； （2）根据题意进行分类讨论，当时，当时即可求解； （3）先得出秒后， 点表示的数为； 点表示的数为； 点表示的数为， 再得出和的表达式， 计算即可． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数，且a、c满足， ，，， 解得：，， 故答案为：，5； （2）解：∵点P在0到2之间运动即， 当，， ∴， 当，， ∴， 综上所述：当<，；当，； （3）解：此时，的值随着时间t的变化而改变，理由如下： 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ①当时，， 此时，的值随着时间t的变化而改变， ②当时，， 此时，的值随着时间t的变化而改变． ③当时，， 此时，的值随着时间t的变化而改变． 综上，此时，的值随着时间t的变化而改变． 20．（2024六年级上·上海静安·专题练习）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式； 综上，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)与4分别为与的零点值 (2)答案见解析 (3)有，6 【分析】（1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 求得，， 与4分别为与的零点值． （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ； （3）解：有，理由如下： 由（2）得出：对于任意有理数，有最小值，最小值为6． 21．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． (1)如图1，①到5的距离是________；②x到的距离是________（用绝对值表示）；③若点P在点B右侧，化简________；④由图可知，的最小值是________； (2)请按照（1）问的方法思考：求的最小值是多少？ (3)如下图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小． ①汇合地点M的位置是________； A．在E，F之间               B．在F，G之间              C．在G，H之间 ②所有小朋友从小区门口到汇合地点的程之和的最小值是________． 【答案】(1)；；；3 (2)5 (3)①B；② 【分析】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． （1）①根据两点之间的距离公式求解即可； ②根据两点之间的距离公式求解即可； ③若点P在点B右侧，得，，然后化简绝对值即可； ④由图1可知，当时，的最小，最小值为3； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）①如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和； ②由题意得，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【详解】（1）解：①到5的距离是； ②x到的距离是（用绝对值表示）； ③若点P在点B右侧，化简； ④由图可知， 当时，的最小， 原式， 则的最小值是3； 故答案为：；；；3； （2）解：的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； （3）解：①如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， 汇合地点的位置在F，G之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小， 故选：B； ②由题意得 ， 最小值为． 故答案为：． 【经典例题四 有理数的简便运算】 22．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图是佳佳的作业，他用了简便方法，依据是（　　） 解：原式= = = =． A．乘法交换律 B．乘法交换律与乘法分配律 C．乘法分配律 D．乘法结合律与乘法交换律 【答案】C 【分析】根据有理数乘法的运算律进行判定. 【详解】佳佳的作业,他用了简便方法,依据是乘法分配律, 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算,解决本题的关键是要熟练掌握运算法则和有理数乘法运算律. 23．（24-25六年级上·上海长宁·期末）读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ． 【答案】 【分析】根据求和公式写出分数的和的形式，根据分数的性质计算即可． 【详解】解：由题意得， = 故答案为： 【点睛】本题考查的是数字的变化类问题，根据题意写出分数的和的形式、并正确进行分解是解题的关键． 24．（2024六年级上·上海长宁·专题练习）有个补充运算符号的游戏：在“129”中的每个内，填入“，，，”中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：________（直接写出结果）； (2)若，则内的符号是________； (3)请在内填上“，”中的一个，使计算更加简便，然后计算：． 【答案】(1)0 (2)+ (3)；； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键： （1）先变减法为加法，再计算即可得到答案； （2）根据计算结果确定出□内的符号即可； （3）□内填上÷，利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可得到结果； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴内的符号是， 故答案为：； （3）解：由题意可得，括号里所有分数的分子都是，故内填， 原式 ． 25．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了有理数的乘法运算，有理数四则混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）利用乘法运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律简算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小强：原式 小莉：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？ (2)你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程； (3)你能用简便方法计算吗？如果能，请你写出解答过程． 【答案】(1)小莉 (2)有，见解析 (3) 【分析】（1）对比二者的运算过程的繁简程度即可判断； （2）将原数化为，用乘法分配律即可求解； （3）将原数化为，用乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 小强没有进行约分计算，导致数字偏大，运算量大；小莉将原数拆分后利用乘法分配律进行运算，简化了运算； 故小莉的解法比较简便； （2）解：还有其他的解法； 原式 ； （3）解：能； 原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，会利用运算律进行简便运算是解题的关键． 27．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 28．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【经典例题五 有理数的规律计算问题】 29．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）用●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干实心圆与空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……前2019个圆中，有个空心圆（    ） A．672 B．673 C．1009 D．1010 【答案】B 【分析】先观察实心圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……， 发现9个圆一循环，其中由空心球3个，计算2019÷9看商与余数，商是224，余数为3，在最后3个圆中由一个空心圆，为此共有空心圆：3×224+1计算即可． 【详解】观察实心圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○……， 发现9个圆一循环，其中由空心球3个，计算2019=9×224+3，在最后3个圆中由一个空心圆，为此共有空心圆：3×224+1=672+1=673个． 故选择：B． 【点睛】本题考查规律探索的问题，要仔细观察图形，从中发现规律，会用此规律进行探究，计算是关键． 30．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列各式：，，，，……，按照上面的规律，计算： ． 【答案】 【分析】根据式子的规律得出，进而化简式子，根据有理数的加减进行计算，最后求绝对值即可求解． 【详解】解：∵，，，，……， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，找到规律是解题的关键． 31．（24-25六年级上·上海杨浦·开学考试）（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了有理数的四则运算的应用，掌握有理数的运算法则是关键． （1）由，，，再总结可得规律即可确定字母的值； （2）根据（1）中规律可得：，，，再进一步计算即可． 【详解】解：（1）根据表格可知，， ， ， 图1中的规律为：两肩上的数字和等于头的数字； 根据规律补可得： ， ， ， （2）图2的6个数的平均数为：， 图1的6个数的平均数为：， ， 图2比图1中6个数的平均数大． 32．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）若，，，…，照此规律试求： (1)计算：__________； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的性质，利用绝对值的性质化简绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简绝对值，即得答案； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数加法的交换律与结合律简化计算，即得答案； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数加法的交换律与结合律简化计算，即得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为: ； （2）解： ； （3）解： ． 33．（24-25六年级上·上海宝山·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律总结归纳即可求解； （3）先将乘法化为加法，再结合分配律进行简便运算即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：归纳可得：第n个等式：， 故答案为：； （3）解： ． ； 34．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）（1）观察一列数1，3，9，27，81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是______；根据此规律，如果（n为正整数）表示这一列数的第n项，那么______，______．（直接写出结果） （2）为了求的值，可令则，因此，所以，即．仿照以上推理，计算，请写出计算过程． 【答案】（1）3；；；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为3；第三项与第二项之比为3；第四项与第三项之比为3；所以每一项与前一项之比是3，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】解： ∵，； ，； ，； ，； 以此类推：， ∴， 故答案为：3；；； （2）可令，则，因此，所以，即． 35．（24-25六年级上·上海静安·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 【经典例题六 有理数的混合运算的实际应用】 36．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 37．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）某校初二年级名师生参加“研学旅行”活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐人） 中巴车 （最多可坐人） 小巴车 （最多可坐人） 每车租金（元天） 要完成这次“研学旅行”活动，一天租车的最低费用为 元． 【答案】 【分析】此题主要考查了方案的设计与选择，有理数的四则混合运算，将名师生同时送到目的地，且花费是最少，只有优化租车方案方可达到节约，从同款型和不同车型组合两方面考虑求解，解题的关键是读懂题意，找出几种方案进行比较． 【详解】解：依题意得：租车费用最低的前题条件是将名师生同时送到目的地， 其方案如下： 全部一种车型： 小巴车座最少辆，其费用为：（元）， 中巴车座最少辆，其费用为：（元）， 大巴车座最少辆，其费用为：（元）， ∵， ∴同种车型应选取中巴车辆费用最少； 搭配车型： 辆座大巴车和辆座中巴车，其费用为：（元）， 辆座大巴车和辆座小巴车，其费用为：（元）， 辆座中巴车和辆座小巴车，其费用为：（元）， ∵， ∴搭配车型辆座大巴车和辆座小巴车费用最少， 综合两种情况，费用最少为元， 故答案为：． 38．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的定义进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 39．（24-25六年级上·上海闵行·期中）海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 【答案】(1)38.5元 (2)最高价格39.5元，最低价格31元 (3)877.4元 【分析】此题考查正数和负数的实际意义，有理数的加减法的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）用原价加上表格中前三个数据，求和即可； （2）分别求出每天的价格即可得到答案； （3）分别求出卖出的价格与买入的价格，两者相减即可得到答案． 【详解】（1）解：（元） 答：星期三收盘时，每股是38.5元； （2）周一价格：（元） 周二价格：（元） 周三价格：（元） 周四价格：（元） 周五价格：（元）； 答：最高价格：39.5元，最低价格31元； （3）卖出价格为：（元） 买入价格为：（元） ∴收益（元） 答：收益877.5元． 40．（24-25六年级上·上海普陀·期末）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km -8 -10 -14 0 +24 +31 +35 (1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？ 【答案】(1)408k (2)36.72元 【分析】（1）先算出以为标准天的基础路程，再加上每天与差值的和，得到总行驶路程． （2）根据总路程算出耗电量，再结合每千瓦时电费，求出总电费． 本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的运算法则，理清题目中的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ． ∴李明家的新能源汽车这7天一共行驶了． （2）解：． ∴李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是36.72元． 41．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 【答案】分钟 【分析】本题考查追及问题，求出需要追及的路程是解题的关键．根据速度×时间=路程，据此求出弟弟先走的路程即需要追及的距离，然后根据路程差÷速度差=追及时间，据此计算即可． 【详解】解： （分钟） 答：经过分钟以后哥哥可以追上弟弟． 42．（24-25六年级上·上海虹口·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)元； (2)元； (3)可能，方案见解析，费用为元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，理解题意并正确列式计算是关键． （1）按照电话订购的方式计算即可； （2）按照外卖APP购买方式付款即可； （3）制定方案，计算费用即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，需花费元； （2）（元）， 答：小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费元； （3）可能， 方案：通过外卖APP购买两单，一个三份，一个一份，再通过电话订购40份，需要花费 （元）， 【经典例题七 有理数的新定义问题】 43．（24-25六年级上·上海崇明·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 44．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键． 45．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 46．（24-25六年级上·上海闵行·期中）对于任意有理数和，定义一种新运算“”：，例如： (1)求的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律． 【答案】(1)3 (2) (3)，，不满足 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，乘法运算律．理解运算规则是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，由，作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，； ∴的值为3； （2）解： ， ∴的值为； （3）解：由题意知，， ， ∵， 不满足交换律． 47．（24-25六年级上·上海金山·期中）对于有理数，，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解答本题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 48．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 49．（24-25六年级上·上海宝山·期中）阅读下列新定义，利用新定义解决问题．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的连续除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把n（n为正整数）个a（）相除记作，读作“a的下n次方”． 【小试牛刀】 （1）直接写出计算结果：__________． （2）关于除方，下列说法正确的选项有_________（只需填入正确的序号）； ①任何非零数的下2次方都等于1； ②对于任何正整数n，； ③负数的下偶数次方结果是负数， 【探究解决】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：（幂的形式）． （1）写出将下列除方运算写成幂的形式的过程． ①； ②． （2）猜想（不必证明）：的幂的形式为________． 【答案】小试牛刀：（1）；（2）①②；探究解决：（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出新定义的计算法则是解本题的关键，难度适中，仔细审题即可． 小试牛刀： （1）直接利用除方的定义及乘方的运算法则计算即可； （2）利用除方的定义及乘方的运算法则逐一判断每个选项即可； 探究解决： （1）；； （2）． 【详解】解：小试牛刀 （1）， 故答案为：； （2）任何非零数的下2次方都等于1，选项①符合题意； 对于任何正整数，，选项②符合题意； 负数的下偶数次方结果是正数，选项③不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②， 故答案为：①②； 探究解决 （1）； ； （2）， 故答案为：． 【经典例题八 新考向—材料阅读型问题】 50．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则____________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，解题关键是理解倒数的定义：两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算，然后相加减即可； （3）由倒数的定义得出答案即可． 【详解】（1）解：根据倒数的定义我们知道，若， 则． 故答案为：； （2）原式 ； （3）结合（2），可知， 所以． 故答案为：． 51．（24-25六年级上·上海静安·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 52．（2024六年级上·上海青浦·模拟预测）【阅读】 ；；； 将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出规律即可； （2）根据（1）中的规律计算即可得解； （3）首先得出， 再进行计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴； （2） ； （3） ． 53．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是： 故原式等于． 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合计算，乘法分配律．读懂阅读材料，利用“倒数”求解是解题关键．根据阅读材料求出原计算式的倒数，即可求解． 【详解】原式的倒数是： ． ∴． 54．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）阅读材料： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离；同理，也可理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)若，则x的值是______． (2)同理表示数轴上有理数x所对应的点到5和所对应的两点距离之和为8，则所有符合条件的整数x是______． (3)由以上探索猜想，若点P表示的数为x，当点P在数轴上什么位置时，有最小值？如果有，直接写出最小值是多少？ 【答案】(1)或7 (2)、、、0、1、2、3、4、5 (3)当时取最小值，最小值为 【分析】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、数轴的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据数轴的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据数轴的性质分析，即可得到答案； （3）根据（2）的结论，根据数轴的性质分析，即可完成求解． 【详解】（1）解：∵，表示数轴上和的点之间的距离等于5， ∴或， 故答案为：或7； （2）解：∵， ∴结合题意得，符合条件的整数x，就是数轴上以表示5和的点为端点的线段上的所有整数， 即x的值为、、、0、1、2、3、4、5． （3）解：由题意可得，该算式表示数轴上点P到表示、3、5的距离的和， 可得当时取最小值， 即的最小值为：． 55．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例如，十进制数表示为：（规定当，）；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一．例如，二进制数转化为十进制数为：． (1)【发现】根据以上信息，将二进制数转换成为十进制数为______； 其他进制也有类似的算法 (2)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满进，用来记录他所放牧的羊的只数，由图知，他所放牧的羊的只数是多少？ (3)【拓展】除了以上例子，日常生活中还有哪些进制？请举例说明．（举个例子即可） 【答案】(1) (2)只 (3)①十二进制：用于表示月份，一年有个月；②六十进制：时间记量，小时分钟，分钟秒（答案不唯一） 【分析】（）根据二进制转换为十进制的方法计算即可； （）仿照二进制转换为十进制的方法计算即可； （）结合日常生活举例即可； 本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：转换成为十进制数为， 故答案为：； （2）解：∵满进，类似于四进制数，图示表示的四进制数为， ∴转化为十进制数为， ∴他所放牧的羊是只； （3）解：①十二进制：用于表示月份，一年有个月； ②六十进制：时间记量，小时分钟，分钟秒． 56．（24-25六年级上·上海闵行·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$