专题08 有理数数轴上的动点问题模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年六年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版五四制2024）

专题08 有理数数轴的动点问题模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的数是 ． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，数轴上一动点沿数轴向右移动4个单位长度到达点，再向左移动10个单位长度到达点．    (1)若点表示的数为0，则点，点表示的数分别为________，________； (2)若点，点表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)在（1）的条件之下，若电动蚂蚁小米从点出发，以每秒0.3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只电动蚂蚁小粒从点出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设两只电动蚂蚁在数轴上的点相遇，求点表示的数． 【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】 【例2】（24-25六年级上·上海崇明·期中）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B．-405 C． D． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，数轴上两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（是整数）处，那么线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足点A与点M的距离等于点B与点M的距离，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的有 ．（填序号） ①若，，则； ②当时，； ③若，点B与点M的距离是点O与点M的距离的3倍，则； ④当，时，将点B水平右移2个单位至点B1，再将点水平右移2个单位至点，以此类推，…且满足点与点M的距离等于点与点M的距离，则数轴上与对应的点表示的数为．    3．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（    ） 甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为； 乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为； 丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ．    3．（24-25六年级上·上海静安·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且满足．P，Q是数轴上的动点．表示点A和点B之间的距离． (1)点A表示的数为_______，点B表示的数为_______，_______； (2)若点P以2个单位长度/秒从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过4秒相遇，请求出点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？ 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，点A，C，B在数轴上表示的数分别是，1，5．动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．当点P，Q到点C的距离相等时，t的值是 ．    3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）学习完数轴与线段的相关知识后，善思小组进行了以下综合性学习探究．已知点，，在数轴上表示的数分别为，，．某同学将刻度尺如图1放置，使刻度尺上的数字0与数轴上的点对齐，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点、是数轴上从点出发的两个动点，设运动时间为． (1)刻度尺上的表示数轴上的______个单位长度，点表示的数为_______： (2)如图2，当点、分别运动到、的中点时，求线段的长度； (3)如图3，点、从点同时出发，若点以每秒1个单位长度匀速向点运动，碰到点后立即返回并以原速运动到终点；点以每秒2个单位长度匀速向点运动，碰到点后立即返回并以原速运动到终点当点、的距离为3个单位长度时，运动时间为多少？ 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（    ） ①当时，； ②当时，若a为奇数，且，则或5； ③若，，则； ④当，时，将点B水平右移3个单位至点，再将点水平右移3个单位至点，以此类推，…且满足，则数轴上与对应的点表示的数为． A．1 B．2 C．3 D．4 2． （24-25六年级上·上海普陀·期末）数轴上有、、三个动点，其中点，点在起始位置所表示的数分别为6和，点在、两点之间．点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动；点以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点相遇后立即返回向左运动，与点相遇后又立即返回向右运动，依此方式在、两点之间往返运动，若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．M、N两点分别从O、B出发以、的速度同时沿数轴负方向迅速运动（M在线段上，N在线段上），P是线段的中点，若M、N运动到任一时刻时，总有为定值，则、满足的数量关系是 ． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，点O为原点，A，B为数轴上两点，AB=18，且OA=2OB．点A，B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，同时点P从原点O以4个单位秒的速度向右运动若存在常数m，使得3AP+2BP-mOP为定值，则m的值= ．（A、B、P任意两点相遇时所有点停止运动）． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点P表示的数为 (用含t的式子表示)； (2)当t为何值时，； (3)若M为的中点，N为中点，点P在运动的过程中，求线段的长度是否和t的取值有关．若有关，用含t的代数式表示，若无关，求出的长． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【问题背景】 已知点、、在数轴上表示的三个数分别为、、，若点在原点的左侧，距离原点个单位长度，点在原点的右侧，距离原点个单位长度，点在点的右侧． 【初步探究】 （1）填空：___________，___________，、两点间的距离为___________； （2）若数轴上的点到､两点的距离相等，且点与点不重合，用含的代数式表示点到点的距离； 【深度拓展】 （3）若将数轴上两点间的距离用这两点的字母表示（如点和点之间的距离表示为），点以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，同时点以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从原点开始以每秒个单位的速度沿数轴向右移动，数轴上的点和点分别满足和，通过计算说明的结果与点､､运动的时间无关．                                             【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点、、、都在数轴上，点、点表示的数分别为和4．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为多少？ 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点A，B之间的距离记为． (1)直接写出a，b，c的值； (2)点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Р和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为______，点B，P之间的距离为_________； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． (3)点G在数轴上，，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m、n，且m、n满足：． (1)填空： _________，_________； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示，放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A时，点A所对应的数为n，由此可得这个木棒的长为_________个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大时，我就119岁啦！”求爷爷的年龄． (3)在（2）①的条件下，当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记木棒运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，则 ． (2)数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为8，则 ． (3)点A、B分别以2个单位长度/分，1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以个单位长度/分的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停往返于点A与点B之间，当点A与点B重合时，A、B、P同时停止运动，求此过程中点P所经过的总路程是多少？ 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒． (1)求点A，B两点之间的距离； (2)若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，点P立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？ (3)若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位长度/秒，点M、N分别是、的中点，设运动的时间为，在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 2．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知数轴上点A对应的数是20，点B对应的数是﹣30，甲从A点出发以每秒1个单位长度的速度匀速运动，乙从B出发以每秒3个长度单位的速度匀速运动，若甲乙两人同时出发 （1）若甲和乙在数轴上运动3秒后， ①它们相距最远时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 ②它们距离最近时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 （2）若甲和乙同时向右，出发多少秒后，甲和乙相距20个长度单位？ （3）若甲和乙进行匀速往返跑训练，甲从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……；乙从B点起跑，到达A点后，立即转身跑向B点，到达B点后，又立即转身跑向A点……；两人同时出发，问：起跑后两人第二次相遇的时间是多少？ 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度，已知点B的速度是点A的速度的4倍（速度单位：单位长度/秒）．    (1)点A的速度：______单位长度/秒，点B=______单位长度/秒． (2)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在线段AB的中点？ (3)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，点B到原点的距离是点A到原点的距离的3倍？ (4)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止运动，若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）数轴上一个动点A，先向右移动5个单位长度达到点B，再向左移动8个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（    ） A． B． C．1 D．11 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（    ） ①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 5．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段上一动点．点P从点O出发沿的方向以每秒2个单位的速度向A运动，B是线段的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过5秒）．若点P在运动过程中，当时，则运动时间t的值为______． A．秒 B．秒 C．3秒或7秒 D．秒或秒 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）数轴上有一个动点向左移动2个单位长度到达，再向右移动4个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为 ． 7．（24-25六年级上·上海虹口·期中）已知数轴上、两点对应数分别为、4，有一动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点的距离是1时，点的运动时间的值为    8．（24-25六年级上·上海青浦·期末）在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ，当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ； 9．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，个单位长度，A，B，C三点所对应的数分别为a，b，c，且．动点P， Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点重合时，P，Q两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点P，Q满足，则此时动点Q在数轴上对应的数是 ． 10．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，O为原点，动点P从A出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，动点Q从B出发以每秒1个单位长度向左匀速运动，设运动时间为秒，当t= 秒时，P、Q之间的距离为3个单位长度；当t= 秒时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小． 11．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 12．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，其中是最大的负整数，是最小的正整数． (1)________，________； (2)用“<”将，，，连接起来； (3)点为数轴上一动点，则的最小值为________． 13．（24-25六年级上·上海崇明·期中）如图，A，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）．试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； 14．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 15．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 有理数数轴的动点问题模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据点的移动方向列式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得点表示的数为， 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数字类的规律探索，根据题意可知每6秒点P完成一次前进和一次后退运动，且每6秒内点P向数轴正方形运动2个单位，再由即可得到答案． 【详解】解：∵动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动， ∴每6秒点P完成一次前进和一次后退运动，且每6秒内点P向数轴正方形运动2个单位， ∵， ∴为， 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C．若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴和相反数的定义，本题的解题关键是求出A点表示的数．先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故答案为：2． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，数轴上一动点沿数轴向右移动4个单位长度到达点，再向左移动10个单位长度到达点．    (1)若点表示的数为0，则点，点表示的数分别为________，________； (2)若点，点表示的数互为相反数，求点表示的数； (3)在（1）的条件之下，若电动蚂蚁小米从点出发，以每秒0.3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只电动蚂蚁小粒从点出发，以每秒0.2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设两只电动蚂蚁在数轴上的点相遇，求点表示的数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用及相反数．关键是能根据题意列出算式，是一道比较容易出错的题目． （1）依据点表示的数为0，利用数轴上两点间距离的求法，可得点、点表示的数； （2）设点表示的数为，则点表示的数是；点表示的数是，依据点表示的数互为相反数，列方程求解可得点表示的数； （3）由（1）知，点与点之间的距离是10，根据两值蚂蚁运动路程之和为10可求出相遇时间，进而得到其中一只蚂蚁的运动距离，最后结合数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为0， ∵， ∴点表示的数为4， ∵， ∴点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为， 点表示的数是；点表示的数是； 点，点表示的数互为相反数， ，解得 ∴点表示的数； （3）解：由（1）知，点与点之间的距离是10， ， 则电动蚂蚁小米从点出发，以每秒0.3个单位长度的速度沿数轴向左运动时，运动距离为， 点表示的数为4， 点表示的数是． 【经典例题二 单动点问题（规律变化类）】 【例2】（24-25六年级上·上海崇明·期中）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是（    ） A． B．-405 C． D． 【答案】B 【分析】根据每向左运动3秒就向右运动2秒，可得每经过5秒就向左移动1个单位，根据2021÷5=404……1可得答案． 【详解】∵动点每向左运动3秒就向右运动2秒， ∴每经过5秒就向左移动1个单位， ∴2021÷5=404……1，即经过404个5秒后，又向左移动1秒， ∴404+1=405个单位， ∴动点运动到第2021秒时所对应的数是-405， 故选：B． 【点睛】本题考查·数轴及数字变化规律，正确得出动点的运动规律是解题关键． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，数轴上两点的距离为3，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（是整数）处，那么线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，数轴上的动点问题，根据题意找出一般规律是解题关键．通过前三次的跳动情况发现，第次动点从点跳动到的中点处时，，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， 第1次动点跳动到的中点处时，； 第2次动点从跳动到的中点处时，； 第3次动点从点跳动到的中点处时，； …… 观察可知，第次动点从点跳动到的中点处时，； 故选：C 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足点A与点M的距离等于点B与点M的距离，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的有 ．（填序号） ①若，，则； ②当时，； ③若，点B与点M的距离是点O与点M的距离的3倍，则； ④当，时，将点B水平右移2个单位至点B1，再将点水平右移2个单位至点，以此类推，…且满足点与点M的距离等于点与点M的距离，则数轴上与对应的点表示的数为．    【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用， ①根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”列式求解即可； ②根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”列式求解即可； ③根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”列出一元一次方程求解即可； ④设表示的数字为p，表示的数字为q，根据题意表示出，然后根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”得到，然后代数求解即可； 利用数形结合思想和正确分析出等量关系解答是解题的关键． 【详解】①∵点A与点M的距离等于点B与点M的距离， ∵，， ∴，故①正确； ②当时， ∴，解得，故②错误； ③若， ∴， ∴或 解得或，故③错误； ④设表示的数字为p，表示的数字为q， 根据题意得， ∵点与点M的距离等于点与点M的距离 ∴，即 解得， ∴数轴上与对应的点表示的数为，故④正确． 综上所述，正确的有①④． 故答案为：①④． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 【答案】(1)，7，12 (2) (3)点P对应的有理数分别是和 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用． （1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A，B两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ∴A，B两点之间的距离为， 故答案为：，7，12； （2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数， ∴ ， 所以当运动到2025次时，求点M所对应的数为； （3）解：设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和． 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据数轴正确列方程是解题关键．设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数分别为，根据、两点间的距离列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数分别为， 、两点间的距离为12个单位长度， ， 解得：， ∴点在数轴上表示的数为 故选：D． 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（    ） 甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为； 乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为； 丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确 【答案】A 【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可． 【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图： 甲说法正确； 当点C在射线AB上运动时，如下图： 乙说法不正确； 当点C在射线BA上运动时，如下图： 丙说法不正确 故选A 【点睛】此题考查了数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解． 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）已知：如图所示，A、B是数轴上的两个点，点A所表示的数为，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q、M从点A向右运动，且点M的速度是点Q速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了数轴及有理数在数轴上的表示，一元一次方程的应用，设点Q速度为个单位每秒，则M点速度为个单位每秒，根据题干：当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度，列方程解出a，进而得到的长度，再求出点P到点A所需的时间，即可求解． 【详解】解：设点Q速度为个单位每秒，则M点速度为个单位每秒， ∵当运动时间为2秒和4秒时，点M和点P的距离都是6个单位长度， ∴, 解得： ∴ ∴点P运动到点A所需时间为： ∴点Q表示的数为： 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海静安·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且满足．P，Q是数轴上的动点．表示点A和点B之间的距离． (1)点A表示的数为_______，点B表示的数为_______，_______； (2)若点P以2个单位长度/秒从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过4秒相遇，请求出点Q的运动速度； (3)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？ 【答案】(1)；15；20 (2)3单位长度/秒 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用、绝对值的性质，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据绝对值和完全平方的非负性求出a，b，再利用距离公式求出即可； （2）设点Q的运动速度为单位长度/秒，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）根据题意，可得出点P表示的数为，再表示出、，再根据列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， 点A表示的数为，点B表示的数为15，． 故答案为：；15；20． （2）解：设点Q的运动速度为单位长度/秒， 由题意得，， 解得：， 点Q的运动速度为3单位长度/秒． （3）解：点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则点P表示的数为， ，， 由题意得，， 或， 解得：或， 当或时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分点M原点左边或右边两种情况讨论，由题意列出方程可求解． 【详解】解：当点M在原点左边， 由题意得：2（6-3t）=4+t， 解得：t=； 当点M在原点右边， 由题意得：2（3t-6）=4+t， ∴t=， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由题意，先求出AB的长度，然后对P、Q两点的运动方向进行分析：当P、Q相向运动时可判断①；当点P在前，点Q在后运动可判断②；当点Q在前，点P在后可判断③；当P、Q反向运动或相向运动相遇后时，可判断④． 【详解】解：根据题意， ∵点A表示4，点B表示2， ∴， 当点P、Q相向运动时，设t秒后P、Q重合， ∴， ∴；故①正确； 当点P在前，点Q在后运动时，设t秒后P、Q重合， ， ∴；故②正确； 当点Q在前，点P在后时，设t秒后， ∴， ∴；故③正确； 当P、Q反向运动时，设t秒后， ∴， ∴； 当P、Q两点相遇后再相距18，则 ， ∴； ∴④的说法错误； ∴正确的说法有①②③； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，解题的关键是把各个距离用含有t的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任务． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，点A，C，B在数轴上表示的数分别是，1，5．动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B匀速运动，设点P的运动时间为．当点P，Q到点C的距离相等时，t的值是 ．    【答案】或或或4 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清动点的运动方向、速度、时间以及两个动点的运动是属于相遇问题还是属于追及问题．依据题意，按点P在上运动和点P在上运动分类讨论，又分为点C在P、Q两点之间和P、Q两点重合，分别列方程求出相应的t的值． 【详解】解：由题意得：， 点P在上运动时， 当时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 当时，若点P在点C右侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 点P在上运动 当时，若点P在点C右侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 当时，若点P在点C左侧，点Q在点C右侧， 根据题意得， 解得； 综上所述，t的值为或或或4． 故答案为：或或或4． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期末）学习完数轴与线段的相关知识后，善思小组进行了以下综合性学习探究．已知点，，在数轴上表示的数分别为，，．某同学将刻度尺如图1放置，使刻度尺上的数字0与数轴上的点对齐，发现点对齐刻度，点对齐刻度．点、是数轴上从点出发的两个动点，设运动时间为． (1)刻度尺上的表示数轴上的______个单位长度，点表示的数为_______： (2)如图2，当点、分别运动到、的中点时，求线段的长度； (3)如图3，点、从点同时出发，若点以每秒1个单位长度匀速向点运动，碰到点后立即返回并以原速运动到终点；点以每秒2个单位长度匀速向点运动，碰到点后立即返回并以原速运动到终点当点、的距离为3个单位长度时，运动时间为多少？ 【答案】(1)1； (2) (3)点、的距离为3个单位长度时，或或 【分析】（1）根据点对齐刻度，点对齐刻度得出，再根据B、C之间有个单位长度，即可得出答案； （2）根据中点定义求出，，再根据线段间的数量关系，求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论：当点B向点A运动时，当点N从点C向点A运动，与点M相遇前，当点N从点C向点A运动，与点M相遇后，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点对齐刻度，点对齐刻度， ∴， ∵，在数轴上表示的数分别为，， ∴B、C之间有个单位长度， ∴刻度尺上的表示数轴上的1个单位长度， 点表示的数； （2）解：∵点、分别运动到、的中点， ∴，， ∴； （3）解：当点B向点A运动时，根据题意得： ， 解得：， 当点N从点C向点A运动，与点M相遇前，根据题意得： ， 解得：； 当点N从点C向点A运动，与点M相遇后，根据题意得： ， 解得：； 综上分析可知：点、的距离为3个单位长度时，或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，用数轴上点表示有理数，线段中点的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）已知数轴上三点表示的数分别为，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为的中点，点始终为的中点，点在从点运动到点的过程中，则线段的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点中点的计算公式，设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为，再根据数轴上两点中点计算公式得到点M表示的数为，点N表示的数为，则． 【详解】解；设运动时间为t，点P的运动速度为v，则点P表示的数为， ∵点始终为的中点，点始终为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 故选：A． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（    ） ①当时，； ②当时，若a为奇数，且，则或5； ③若，，则； ④当，时，将点B水平右移3个单位至点，再将点水平右移3个单位至点，以此类推，…且满足，则数轴上与对应的点表示的数为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，可得，从而得到，可得①正确；当时，，根据，可得，再由a为奇数，可得②错误；根据，可得，再分两种情况，可得或2，故③错误；根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为，从而得到，可得点对应的数为，从而得到④正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵a为奇数， ∴，故②错误； ∵， ∴， 当点M在原点右侧时，，即， ∵， ∴，即； 当点M在原点左侧时，，即， ∵， ∴，即； ∴或2，故③错误； 当，时，， 根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点对应的数为， ∴点表示的数为 ，故④正确； ∴正确的有①④，共2个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 2．（24-25六年级上·上海普陀·期末）数轴上有、、三个动点，其中点，点在起始位置所表示的数分别为6和，点在、两点之间．点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动；点以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点相遇后立即返回向左运动，与点相遇后又立即返回向右运动，依此方式在、两点之间往返运动，若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴．由题意可知，三点的相遇点恰好为点，的相遇点，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由两点相遇时表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， ， 相遇点所表示的数为． 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)10；16 (2)不变，，理由见解析 (3)P，Q两点间的距离为t或或 【分析】本题主要考查数轴上动点问题，两点之间距离的计算方法，代数式表示数量关系，掌握数轴特点，两点之间距离的计算方法，代数式表示数量关系的方法是解题的关键． （1）根据材料中提供的方法计算两点间的距离，即可求解； （2）由题意可分别求出运动后点A、点B、点C表示的数，分别计算出，再计算出即可作出判断； （3）由题意，用含t的式子分别表示点P、点Q表示的数，当点Q追上点P时，得到关于t的方程，可求得，据此进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：10；16； （2）解：不变； 理由如下： 因为经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是， 所以，， 所以， 所以的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是， 当点Q追上点P时，， 解得． ①当时，点Q还在点A处，所以； ②当时，点P在点Q的右边，所以； ③当时，点Q在点P的右边，所以． 综上所述，P，Q两点间的距离为t或或． 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知点O为数轴原点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且．M、N两点分别从O、B出发以、的速度同时沿数轴负方向迅速运动（M在线段上，N在线段上），P是线段的中点，若M、N运动到任一时刻时，总有为定值，则、满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、整式的加减无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据非负数的和为0，各项都为0即可确定a、b的值，进而确定点A、B表示的数，然后确定点M、N表示的数，再根据P是线段的中点确定点P表示数，然后表示出，最后根据为定值确定、的关系． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点A、B表示的数分别为、5， 设运动时间为t，则表示，点N表示，点P表示， ∴， ∵为定值， ∴，即． 故答案为：． 1．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，点O为原点，A，B为数轴上两点，AB=18，且OA=2OB．点A，B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行，同时点P从原点O以4个单位秒的速度向右运动若存在常数m，使得3AP+2BP-mOP为定值，则m的值= ．（A、B、P任意两点相遇时所有点停止运动）． 【答案】 【分析】先根据点的运动，设运动时间为t，用t表示出AP、BP、OP的长度，再对原式进行化简，令t前面的系数为0，那么结果就是定值，就可以得到m的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 设运动时间为t， ， ， ， ， 要使其为定值，则与t的取值无关，所以t前面的系数为0，即，解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是掌握动点路径的表示方法，以及根据结果是定值求未知参数的方法． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点P表示的数为 (用含t的式子表示)； (2)当t为何值时，； (3)若M为的中点，N为中点，点P在运动的过程中，求线段的长度是否和t的取值有关．若有关，用含t的代数式表示，若无关，求出的长． 【答案】(1) (2)当t为3或6 (3)线段的长度和t的取值无关，线段的长为4 【分析】（1）利用点P表示的数等于点A表示的数加上点P的运动速度点P的运动时间，即可用含t的代数式表示的出点P表示的数； （2）利用数轴上两点距离计算公式用含的式子分别表示出，再根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点P表示的数为，结合“M为的中点，N为中点”，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长，进而可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示的出点P表示的数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示的出点M，N表示的数． 【详解】（1）解：由题意得，当运动时间为秒时，点P表示的数为 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∵， ∴，即或， 解得：或 答：当t为3或6时，； （3）解：当运动时间为秒时，点P表示的数为， 为中点，N为中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 线段的长度和t的取值无关，线段的长为 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）【问题背景】 已知点、、在数轴上表示的三个数分别为、、，若点在原点的左侧，距离原点个单位长度，点在原点的右侧，距离原点个单位长度，点在点的右侧． 【初步探究】 （1）填空：___________，___________，、两点间的距离为___________； （2）若数轴上的点到､两点的距离相等，且点与点不重合，用含的代数式表示点到点的距离； 【深度拓展】 （3）若将数轴上两点间的距离用这两点的字母表示（如点和点之间的距离表示为），点以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，同时点以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，点从原点开始以每秒个单位的速度沿数轴向右移动，数轴上的点和点分别满足和，通过计算说明的结果与点､､运动的时间无关． 【答案】（1），， （2）或 （3）见解析 【分析】（1）根据数轴的特点写出、两点表示的有理数，再根据距离公式求出两点之间的距离； （2）点到､两点的距离相等得点表示的数为，再分两种情况讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；即可解答； （3）设运动的时间为秒，则点运动秒后对应的点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为，化简即可求解． 【详解】解：（1）点在原点的左侧，距离原点个单位长度， ， 点在原点的右侧，距离原点个单位长度， ， 、两点间的距离为， 故答案为：，，； （2）点到､两点的距离相等， 点表示的数为，                 当点在点的右侧时，点到点的距离为；                     当点在点的左侧时，点到点的距离为； 点到点的距离为或；                    （3）设运动的时间为秒，则点运动秒后对应的点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为，点运动秒后对应点表示的数为， ，           ， 点表示的数为，点表示的数为， ，                     ， 的结果与点、、运动的时间无关． 【点睛】本题考查了用有理数表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离，列代数式，整式的加减运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25六年级上·上海嘉定·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)3 (3)存在，，此时值为 【分析】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． （1）根据得，计算即可． （2）设表示的数为表示的数为，小火车的长度为，根据题意，建立方程计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点P表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：设A表示的数为，B表示的数为，小火车的长度为l， 根据题意，得， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． （3）解：存在，，此时值为， 理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒， ∴， 根据题意，得到点Q表示的数是，点P示的数是， ∴， ∴ ， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，，点、、、都在数轴上，点、点表示的数分别为和4．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形． (1)点表示的数为______，点表示的数为______． (2)当时，求的值． (3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为． ①的最大值为______．持续的时间为______秒； ②当时，点所表示的数为多少？ 【答案】(1)， (2)或 (3)①，  ②或 【分析】本题考查有理数与数轴之间的关系，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题关键是表示出运动后点表示的数． （1）根据有理数与数轴之间的关系，以及两点之间的距离，表示出点，点表示的数即可； （2）根据运动情况得到点表示的数为，点表示的数为．结合建立方程求解，即可解题； （3）①根据运动情况可知，当长方形运动到内部时，重叠部分的面积最大，结合长方形面积公式求解即可，再利用当与重合时，重叠部分的面积开始为最大值，当与重合时，重叠部分的面积最大值情况结束，设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．结合运动情况建立方程求解，即可解题； ②根据运动情况可知，当时，重叠部分的另一边为，结合设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：点、点表示的数分别为和4，，， ， 点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：，． （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为． ， ， 即或或或， 解得或或或， 综上所述或． （3）解：由运动情况可知，当长方形运动到内部时，重叠部分的面积最大， 的最大值为， 当与重合时，重叠部分的面积开始为最大值，当与重合时，重叠部分的面积最大值情况结束， 设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ，解得； ，解得； 持续的时间为（秒）， 故答案为：，； ②解：根据运动情况可知，当时， ， 重叠部分的另一边为， 设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 即或， 解得或， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图1，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，b满足，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点A，B之间的距离记为． (1)直接写出a，b，c的值； (2)点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，同时，点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Р和点Q的速度分别为4个单位长度/秒和个单位长度/秒．设点P运动的时间为t秒． ①t秒时，点P表示的数为______，点B，P之间的距离为_________； ②当点Q追上点P之后，的值与t的值无关，求m的值． (3)点G在数轴上，，将数轴在点O，G，B各折一下，得到如图2的“折线数轴”．点M从点A出发沿着“折线数轴”运动至点C，同时点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，点M，N的初始速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，两点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍，离开折线OGB后速度恢复为初始速度．当点M和点N相遇时，直接写出此时点M表示的数． 【答案】(1)；16；20 (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用非负数的性质和数轴上的点的特征解答即可； （2）①根据移动的方向在原数上减运动的距离即可； ②计算的值，合并后利用t的系数为0，解方程即可得出结论； （3）根据题意求得相遇的时间，求得线段长度，再利用数轴上的点的特征解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∵点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等，点C在数轴的正半轴上， ∴． （2）①∵点P从点A出发，沿着数轴负方向匀速运动，速度为4个单位长度/秒， ∴t秒时，点P表示的数为， 点B，P之间的距离为． 故答案为：；； ②点Q从点C出发，沿数轴负方向匀速运动，点Q表示的数为， 当点Q追上点P之后，，， ∴， ∵的值与t的值无关， ∴， ∴． ∴m的值为秒时，当点Q追上点P之后，的值与t的值无关． （3）解：点G在数轴上，， ∴， ∴点G对应的数为8． ∵点M从点A出发沿着“折线数轴”运动，初始速度为4个单位长度/秒，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点M运动到点O用时为5（秒），点M从点O到点G用时4（秒）， ∵点N从点C出发沿着“折线数轴”向点A运动，初始速度为2个单位长度/秒，上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度2倍， ∴点N运动到点B用时为2（秒），点N从点B到点G用时8（秒）， ∴当点M到达点G时，点N在BG上，没有到达点G，此时M，N在BG上相距1个单位长度， ∴点M和点N相遇用时（秒）， ∴， ∴点M表示的数为8． 【点睛】本题考查了数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，利用数轴上的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）已知M、N两点在数轴上所表示的数分别为m、n，且m、n满足：． (1)填空： _________，_________； (2)①问题探究：将一根木棒如图1所示，放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A时，点A所对应的数为n，由此可得这个木棒的长为_________个单位长度； ②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大时，我就119岁啦！”求爷爷的年龄． (3)在（2）①的条件下，当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记木棒运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②爷爷的年龄是岁 (3)，定值为 【分析】（1）由非负性可求，的值； （2）①由题意可得，即可求解； ②由题意列出方程，即可求解； （3）用参数分别表示出，的长度，即可求解． 【详解】（1）， ，， ，； 故答案为：12，； （2）①由题意得：， ， 木棒的长为：5个单位长度， 故答案为：5； ②设小明今年岁，爷爷今年岁， 根据题意可得， 解得： ， 答：爷爷的年龄是岁； （3）由题意可得，， ，且的值与它们的运动时间无关， ， ． 【点睛】本题考查了考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，绝对值和平方的非负性，列出正确的方程是本题的关键． 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，则 ． (2)数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为8，则 ． (3)点A、B分别以2个单位长度/分，1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以个单位长度/分的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停往返于点A与点B之间，当点A与点B重合时，A、B、P同时停止运动，求此过程中点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1) (2)3或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到A、B两点之间的距离为，则，据此求解即可； （2）分当P在之间时，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时，三种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）先求出点A与点B重合的时间，即点P的运动时间，再根据路程等于速度乘以时间即可得到答案． 【详解】（1）解：∵数轴上有两点A、B，对应的数分别为，2， ∴A、B两点之间的距离为， ∵P到A、B两点的距离相等， ∴， ∴点P对应的数为，即， 故答案为：； （2）解：①当P在之间时，，不符合题意． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为3或时，点P到A、B两点距离之和为8； 故答案为：3或； （3）解：分， ∴运动6分钟时，点A和点B重合 由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴点P的运算时间为6分， 又∵整个运动过程中点P的速度保持不变， ∴当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是． 1．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒． (1)求点A，B两点之间的距离； (2)若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，点P立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？ (3)若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位长度/秒，点M、N分别是、的中点，设运动的时间为，在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)P走的路程为270 (3)②正确，证明见解析，值为2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，整式加减的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质求出，的值，利用两点间的距离公式即可求出点，两点之间的距离； （2）设点运动时间为秒时，，两点相距个单位长度，依此列出方程，解方程求出的值，再根据路程速度时间即可求解； （3）先求出运动秒后、、三点所表示的数为，，，再利用利用中点的定义得出表示的数为，M表示的数为，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴点A，B对应的数分别是，200， ∴ ∴点A，B两点之间的距离为300； （2）设点运动时间为秒时，，两点相距个单位长度， 由题意得， 解得， 则此时点移动的路程为． 走的路程为； （3）结论②正确，，证明如下： 运动秒后、、三点所表示的数为，，， ， ，， ，， 为中点，为中点， 表示的数为，M表示的数为， ，， ． 2．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）已知数轴上点A对应的数是20，点B对应的数是﹣30，甲从A点出发以每秒1个单位长度的速度匀速运动，乙从B出发以每秒3个长度单位的速度匀速运动，若甲乙两人同时出发 （1）若甲和乙在数轴上运动3秒后， ①它们相距最远时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 ②它们距离最近时，甲所在的位置对应的数是 ，乙所在的位置对应的数是 （2）若甲和乙同时向右，出发多少秒后，甲和乙相距20个长度单位？ （3）若甲和乙进行匀速往返跑训练，甲从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……；乙从B点起跑，到达A点后，立即转身跑向B点，到达B点后，又立即转身跑向A点……；两人同时出发，问：起跑后两人第二次相遇的时间是多少？ 【答案】（1）①23，-39；②-21，17；（2）15或35；（3）37.5s 【分析】（1）①当它们相距最远时，甲和乙背道而驰，即甲沿数轴正方向爬行，乙沿数轴负方向爬行，由此分别求出它们所在的位置对应的数；②当它们相距最近时，乙追赶甲，它们同向而行，即甲和乙都沿数轴正方向爬行，由此分别求出它们所在的位置对应的数； （2）分两种情况进行讨论； （3）第二次相遇时，两人路程和是3×50=150. 【详解】∵甲从A点出发以每秒1个单位长度的速度爬行，乙从B点出发以每秒3个单位长度的速度运动，若它们同时出发运动3秒，∴甲运动路程：1×3=3， 乙运动路程：3×3=9， ①当它们相距最远时，甲和乙背道而驰，即甲沿数轴正方向爬行，乙沿数轴负方向爬行， 此时甲所在的位置对应的数为20+3=23，乙所在的位置对应的数为−30−9=−39； ②当它们相距最近时，乙追赶甲，它们同向而行，即甲和乙都沿数轴正方向爬行，此时甲所在的位置对应的数为20-3=17，乙所在的位置对应的数为−30+9=-21. （2）设t秒后，甲和乙相距20个长度单位. 由题意可知，当乙未追上甲，S甲=t，S乙=3t， S乙-S甲=50-20， 即3t-t=30，得t=15. 当乙追上甲并超过甲20个单位时，S乙-S甲=50+20 即3t-t=70，得t=35. 当t=15或35. （3）设x秒时两人第二次相遇， （3+1）x=3×50 x=37.5（s） 答：第二次相遇时需要37.5s. 【点睛】本题考查的知识点是数轴的应用，解题的关键是熟练的掌握数轴的应用. 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度，已知点B的速度是点A的速度的4倍（速度单位：单位长度/秒）．    (1)点A的速度：______单位长度/秒，点B=______单位长度/秒． (2)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在线段AB的中点？ (3)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，点B到原点的距离是点A到原点的距离的3倍？ (4)若A、B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止运动，若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)1，4 (2)秒 (3)或21秒 (4)100单位长度 【分析】（1）设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度，根据3秒后，两点相距15个单位长度列出方程，解方程即可； （2）设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间，根据两个点到原点距离相等，列出方程，解方程即可； （3）设秒时，点B到原点的距离是点A到原点的距离的3倍，分①点A和点B分别在原点两侧②点A和点B分别在原点左侧两种情况列方程并解方程即可解决； （4）先求出点追上点A所用的时间，根据这个时间恰好是点从开始运动到停止运动所花的时间，求出点C运动的路程即可． 【详解】（1）解：设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度， 依题意有：， 解得：， 点A的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度； （2）解：设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间， 根据题意，得， 解得， 即运动秒时，原点恰好处在A、两点的正中间； （3）解：设t秒时，点B到原点的距离是点A到原点的距离的3倍， ①点A和点B分别在原点两侧，即时， 根据题意，得， 解得：， ②点A和点B分别在原点左侧，即时， 根据题意，得：， 解得：， 所以当运动 或21秒时，点B到原点的距离是点A到原点的距离的3倍； （4）解：设运动y秒时，点B追上点A，根据题意，得： ， 解得：， 即点B追上点A共用去5秒，而这个时间恰好是点C从开始运动到停止运动所花的时间，因此点C行驶的路程为： (单位长度) ． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的点的表示，数轴上两点之间的距离，行程问题的相遇问题和追及问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键． 1．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）数轴上一个动点A，先向右移动5个单位长度达到点B，再向左移动8个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（    ） A． B． C．1 D．11 【答案】C 【分析】设数轴上的动点A表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可． 【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是， 由于右移动5个单位长度到点， ∴点表示的数是， 再向左移动8个单位长度到， ∴点表示的数是． ∵点表示数是， ∴，即， ∴点A表示的数是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如下图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点A表示的数为，根据题意，列方程求解即可． 【详解】解：设点A表示的数为，根据题意可得：， 解得， 故选：C 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题以及一元一次方程的求解，解题的关键是理解题意，正确列出方程． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，A、B是数轴上两点，P，Q是数轴上的两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上移动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上移动．若P，Q两点同时开始和结束移动，设移动时间为t秒．下列四位同学的判断中正确的有（    ） ①小聪：若点P，Q相对而行，当时，点P和点Q重合； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动，当时，点P和点Q重合； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动，当时，点P，Q之间的距离为8； ④小俐：当时，点P，Q之间的距离可能为6 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据4位同学的描述分别列式求解判断即可． 【详解】解：①小聪：若点P，Q相对而行， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ∴点P和点Q重合， ∴①正确； ②小明：若点P，Q沿x轴向左移动， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ∴点P和点Q重合， ∴②正确； ③小伶：若点P，Q沿x轴向右移动， 当时， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ， ∴点P，Q之间的距离为8， ∴③正确； ④小俐：当时， 若点P，Q相对而行， P点所在的位置为：，Q点所在的位置为：， ， ∴此时点P，Q之间的距离为6， ∴④正确． 综上所述，正确的有①②③④，有4个． 故选：D． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意正确列出算式求解． 4．（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由2022÷4=505……2，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为+1，表示的数为+3，表示的数为0，表示的数为，表示的数为+1，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵2022÷4=505……2， ∴， ∴在数轴上表示的数为2023， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出点表示的数的循环规律是解题的关键． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段上一动点．点P从点O出发沿的方向以每秒2个单位的速度向A运动，B是线段的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过5秒）．若点P在运动过程中，当时，则运动时间t的值为______． A．秒 B．秒 C．3秒或7秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】先求出点B和动点P所表示的数，再根据PB＝2列方程求解即可． 【详解】解：∵B是线段OA的中点， ∴点B表示的数是5， ∵动点P所表示的数是2t，PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2或2t−5＝2， 解得t＝或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，找出等量关系列出方程是解题的关键． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）数轴上有一个动点向左移动2个单位长度到达，再向右移动4个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．可设这个数是，则． 【详解】解：设点对应的数为， 则：， 解得：， 所以点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴，掌握数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加是解题的关键． 7．（24-25六年级上·上海虹口·期中）已知数轴上、两点对应数分别为、4，有一动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点的距离是1时，点的运动时间的值为    【答案】2或3 【分析】点P运动后表示的数是，分两种情况：当点P在点B左侧时，当点P在点B右侧时，列方程求解． 【详解】解：点P运动后表示的数是， 当点P在点B左侧时，，得； 当点P在点B右侧时，，得； 故答案为：2或3． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，列一元一次方程解动点问题，正确理解动点问题是解题的关键． 8．（24-25六年级上·上海青浦·期末）在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“联动点”．当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ，当时，点A关于点B的“联动点”P在数轴上表示的数为 ； 【答案】 1 【分析】根据b值分别将将点A向右移动2个单位长度，将点A向左移动2个单位长度即可得到结果． 【详解】解：∵当时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P； ∴当时，P表示的数是； ∵当时，将点A向左移动个单位长度，得到点P； ∴当时，P表示的数是； 故答案为：1；． 【点睛】本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是理解“联动点”的意义． 9．（24-25六年级上·上海闵行·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，个单位长度，A，B，C三点所对应的数分别为a，b，c，且．动点P， Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点重合时，P，Q两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点P，Q满足，则此时动点Q在数轴上对应的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解二元一次方程组，根据题意易得，则，得出，和，联立求解得出，进而得出，设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q标示的数为，根据数轴上两点之间距离的表示方法得出，，根据，列出方程求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴联立得：， 解得：， ∴， 设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q标示的数为， ∴，， ∵， ∴， 即或， 解得：或， ∴点Q标示的数为，或， 故答案为：或． 10．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，O为原点，动点P从A出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，动点Q从B出发以每秒1个单位长度向左匀速运动，设运动时间为秒，当t= 秒时，P、Q之间的距离为3个单位长度；当t= 秒时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小． 【答案】 或 【分析】分相遇前和相遇后两种情况，根据路程速度=时间，计算可得当秒或时，P、Q之间的距离为3个单位长度，当点P和点Q相遇时，点P到点Q的距离是0，点P到点A，B的距离为线段的长度，此时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小，即可得答案． 【详解】解：点A表示的数为，点B表示的数为8， 的长度为20， 相遇前P、Q之间的距离为3个单位长度，，相遇后P、Q之间的距离为3个单位长度，， 当秒或时，P、Q之间的距离为3个单位长度； 当点P和点Q相遇时，点P到点Q的距离是0，点P到点A，B的距离为线段的长度20，所以点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小， ， 当秒时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小， 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查了数轴上的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解当点P和点Q相遇时，点P到点Q、点A和点B三个点的距离之和最小． 11．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 12．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，其中是最大的负整数，是最小的正整数． (1)________，________； (2)用“<”将，，，连接起来； (3)点为数轴上一动点，则的最小值为________． 【答案】(1)；1； (2)； (3)2． 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值以及数轴，正确得出、的值是解答本题的关键． （1）根据最大的负整数为，最小的正整数为1可得答案； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果；（3）根据数轴上两点之间的结论解答即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是最小的正整数， ∴，， 故答案为：，1； （2）解：由题意可知，即， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，当点在、之间时，的最小，的最小值为2． 故答案为：2． 13．（24-25六年级上·上海崇明·期中）如图，A，两点在数轴上分别表示有理数，，且满足，点为原点．    (1)请直接写出______，______； (2)一动点从出发，以每秒个单位长度向左运动，一动点从出发，以每秒个单位长度向左运动，设运动时间为（秒）．试探究：、两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）先表示出运动秒后点对应的数为，点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9， ∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，， 解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒． 14．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 15．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如果有理数、在数轴上分别表示点、，那么线段的中点在数轴上表示的数为，线段的长度表示为．如图，设，两点在数轴上表示的数，满足，、是数轴上的两个动点，点从点出发，以单位长度秒的速度往右运动，到达点后立即停止，点从点出发，以单位长度秒的速度往左运动，到达点后立即原路原速返回．已知、两点同时出发同时停止，设运动时间为秒． (1)当时，求线段的中点表示的数和线段的长度； (2)在运动过程中，求当为何值时，点恰好是线段的中点； (3)在运动过程中，当为何值时，线段、恰好相差个单位长度，请直接写出的值． 【答案】(1)线段的中点表示的数为，线段的长度为； (2)或； (3)或或． 【分析】（）由绝对值及偶次幂非负性，，则求出秒后，两点表示的数为，两点表示的数为，然后利用题意即可求解； （）分两种情况当时，当时，分别列出方程即可求解； （）分两种情况当时，当时，分别列出方程即可求解； 本题考查了数轴上表示数，绝对值及偶次幂非负性，一元一次方程的应用，线段中点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴秒后，两点表示的数为，两点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的长度为； （2）解：（秒），（秒）， 由题意可得，当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点恰好是线段的中点有两种情况： 当时，，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上所述，当的值为或时，点恰好是线段的中点； （3）解：由（）可得， 当时，， 此时只能，即，解得， 而当时，， 此时，即，解得或， ∴的值为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$