1.3勾股定理的应用 教学设计 2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

1.3勾股定理的应用 教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一 课题 勾股定理应用 课时 1 课标要求 课程标准要求学生不仅要掌握勾股定理本身及其逆定理的内容，更要经历定理的发现、证明和应用过程，在这个过程中发展数学思维能力，学会运用数学知识解决实际问题，并体会数学的文化价值和应用价值。 教材分析 本节是义务教育课程标准北师大版教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第三节．具体内容：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题；能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解；在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养学生的转化、推理能力。 学情 分析 学生已有知识基础（优势与起点）： 图形认知基础；面积计算经验；代数初步知识；初步的逻辑思维能力。  可能存在的困难与挑战（学习难点）： 定理适用条件的把握；定理的证明理解；计算能力的差异；实际应用与建模。 核心素养目标 1． 准确运用勾股定理及逆定理。 2． 经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。 3． 培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 教学重点 掌握勾股定理及其逆定理，应用“数形结合”的思想来解决 教学难点 正确运用勾股定理及其逆定理。 教学 准备 课件及预习单 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 课前检测： 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　D　） A．25 B．14 C．7 D．7或25 2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　A　） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 3 .∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24，　则∆ABC的面积为　120　　 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　A　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 完成检测题 通过检测题帮助学生复习勾股定理及勾股定理的逆定理，激发学生学习兴趣； 二、引新 问题导入 装修师傅离叔叔要检测装饰板AD和CB是否分别垂直AB (1)如果只带了一把圈尺，能替他完成任务吗？ （2）现测得AB长40cm,AD长30cm,B、D之间的距离50cm,AD垂直AB 吗？ （3）如果离叔叔只带了一把20cm的刻度尺，那么他能检测出AD和AB是否垂直？ 解：（1）可以完成。具体方法是分别测量AD、AB及BD的长度，若满足AD² + AB² = BD²，则AD垂直于AB；同理测量BC、AB及AC的长度，判断是否满足勾股定理。 （2）能。计算得：30² + 40² = 900 + 1600 = 2500，而50² = 2500，满足勾股定理，因此△ABD是直角三角形，A=90°，故AD垂直于AB。 （3）能。虽然刻度尺仅20cm。例如：AB上取一点E,使AE=12cm,在AD上取一点F,使AF=16cm，在量出EF之间的距离，如果EF=20cm,则AD垂直于AB,因为12² + 16² = 20² ，故AD垂直于AB 同理检测BC和AB是否垂直。 1、 小组讨论如何帮助装修师傅解决问题。提出方案。 2、 实施方案。 通过小组讨论，明晰勾股定理逆定理的运用，体现数形结合思想。 三、探究 1尝试与思考 如图1--17，正方形ABCD的边长是8厘米，E是AD边上的中点，将这张纸翻折使点C刚好落在E点，折痕交AB于G,交CD于F,能否求出DF的长？ 解：E是AD的中点，DE=4cm. 设DF=xcm，则CF=(8-x)cm 根据翻折的性质EF=CF=8-x 根据勾股定理 即求得x=3 所以DE=3cm 2、 典例精析 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺 由勾股定理得， 24=2x， x＝12. 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 1、完成尝试与思考，小组讨论解决问题用到的知识点和解决问题用到的数学思想。 2、完成例题的学习，提出质疑。 通过尝试与思考、 例题的学生，体会翻折的性质和用勾股定理、方程解决问题思想。培养学生分析问题解决问题的能力。 四、尝试 基础达标： 1．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题．其中的丈、尺是长度单位，一丈＝10尺）设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（  A  ） A．x＋6＝（10﹣x） B．x﹣6＝（10﹣x） C．x＋6＝（10﹣x） D．x﹣6＝（10﹣x） 2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　A　） A．5m B．6m C．3m D．7m 第2题 第3题 3．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为（ A  ） A．1500m B．1200mC．1000mD．800m 4．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　C　） A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m 能力提升： 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上的点，连接CD、CE，先将边AC沿CD折叠，使点A的对称点A′落在边AB上；再将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B′落在CA′的延长线上，若AC＝15，BC＝20，则线段B′E的长为 4 解答提示:根据翻折性质AC=CA′,BC=CB′,AD=DA′, B′E=BE，∠ADC=90°，∠DCE=45°△CD是等腰直角三角形，CD=DE,在△ABC中用勾股定理求出AB=25,根据一面积两算法求出CD=15×20÷25=12，在△CDA中用勾股定理求出DA=9,,BE=AB-AD-DE=4,故B′E=4 拓展迁移： 6．如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则： （1）E站应建在距A站多少千米处？ （2）DE和EC垂直吗？说明理由． 解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE=CE， ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°， ∴AE+AD=DE，BE+BC=EC， ∴AE+AD=BE+BC， 设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x）， ∵DA=8km，CB=6km， ∴x+8=（14-x）+6，解得：x=6， ∴AE=6km． 答：E站应建在距A站6千米处； （2）DE和EC垂直，理由如下： 过D点作CE∥AB，交AD于E，连接DC 在△EDC中，∠CED=90° 即DE⊥EC． 【证明DE⊥EC，也可用三角形全等来证明，∠AED+∠ BEC=90°因而DE、EC互相垂直】 学生完成课堂练习。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1、数学思想：建模思想、方程思想 2、注意：运用勾股定理解决实际问题时， ①、没有图的要按题意画好图并标上字母； ②、有时必须设好未知数，并根据勾股定理 列出相应的方程式才能做出答案。 学生畅所欲言本节课运用到的知识和解决问题用到的数学方法。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 勾股定理的运用 1、 找到（或判断）直角三角形 2、 分清直角边和斜边 3、 建立方程求出未知数 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1. 一座桥长12m,一艘小船自桥北岸出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南岸9m,则小船实际行驶了   15       m. 2.如图,在一次冰雪灾害中,一棵树在离地面3m处被折断,树的顶端落在离树干底部4m处,那么这棵树折断之前的高度是    8      m. 3.一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是( D ) A. 3cm B. πcm C. 6cm D. 8cm 4如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下 的最长木棒长为（　C　） A、11cm B、12cm C、13cm D、14cm​ 5.如图所示，在长方形ABCD中，AD=6,AB=10，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为( C ) A. B. C. D. 能力提升： 6. 如图,某工厂大门的上面是半圆,下面是长方形.一辆装满货物的卡车,高2.5m,宽1.6m.这辆卡车能否通过厂门?请说明理由. 解:这辆卡车能通过厂门. 理由如下: 如图,M,N为卡车的宽度,过点M,N作AB的垂线交半圆于点C,D,过点O作OECD,垂足为E,连接OC, 则CD=MN=1.6m,AB=2m, 所以CE=DE=0.8m,OC=OA=AB=1m. 在RtOCE中,=-=-=,所以OE=0.6m. 所以CM=2.3+0.6=2.9m>2.5m. ​所以这辆卡车能通过厂门. 拓展迁移： 7.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响． (1)学校是否会受到影响？请说明理由． (2)如果受到影响，则影响时间是多长？ 解：（1）学校受到噪音影响．理由如下： 作AB⊥MN于B，如图， ∵PA=120m，∠QPN=30°，∴AB=PA=60m， 而60m＜100m， ∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受 到噪音影响； （2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图， ∵AB⊥CD， ∴CB=BD， 在Rt△ABC中，AC=100m，AB=60m， CB=80m， ∴CD=2BC=160m， ∵消防车的速度5m/s， ∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间=160÷5=32（秒）， ∴学校受影响的时间为32秒． 教学反思 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$