1.2一元二次方程的解法共4课时（知识点过关+ 知识拓展+探究创新 同步练习课时作业）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.2一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 知识点 直接开平方法 1．（2021秋•南皮县校级月考）老师出示问题：“解方程x2﹣4＝0．”四位同学给出了以下答案：甲：x＝2；乙：x1＝x2＝2；丙：x1＝x2＝﹣2；丁：x1＝2，x2＝﹣2．下列判断正确的是（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 2．（浙江中考）一元二次方程（x+6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣4 B．x﹣6＝4 C．x+6＝4 D．x+6＝﹣4 3．（2024秋•沭阳县校级月考）关于x的一元二次方程（x+2）2＝m﹣21可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 　 　 ． 4．用直接开平方法解下列方程： （1）81x2﹣25＝0； （2）（y﹣5）2﹣64＝0； （3）2（x﹣1）2﹣18＝0； （4）（3x﹣1）2＝（x+1）2． 5．（2022秋•汇川区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　） A．17 B．11 C．15 D．11或15 6．（2023•桐庐县一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　 　 ． 7．（河北中考）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，min{，}＝　　 ；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　 ． 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]在﹣2≤x＜2范围内的图象如图所示，试求在﹣2≤x＜2范围内满足[x]x2的x的值． 9．（2025春•嘉兴期末）已知关于x的方程a（x﹣m）2+k＝0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝1，x2＝4，则方程a（x﹣m﹣2）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝6 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝﹣1，x2＝2 10．（2025春•崇川区校级月考）关于x的方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m）2+b＝0的解是 　 ． 11．（2025春•崇川区校级月考）若方程（x+2）2＝m﹣1有解，则m的取值范围是 ． 12．（2025•广州模拟）定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　 　 ． 13．（2025春•招远市期中）关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　 ． 14．（2024秋•吉州区期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2＝0的解为　 　 ． 1.2一元二次方程的解法 第2课时 【配方法】 知识点1 用配方法解系数为1的一元二次方程 1．（2024秋•武邑县期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣4）2＝5 C．（x﹣4）2＝3 D．（x﹣2）2＝3 2．将下列各式配方： （1）x2﹣4x+　　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）x2+12x+　　 ＝（x+　 　 ）2； （3）x2x+　 ＝（x﹣　　 ）2； （4）x2+2x+　 ＝（x+　 ）2． 3．（2024秋•句容市期中）将一元二次方程x2﹣6x+m＝0化成（x﹣n）2＝4的形式，则m﹣n＝　2　 ． 4．配方法解下列方程： （1）x2+2x﹣8＝0； （2）x2+12x﹣13＝0； （3）（x）2＝4； （4）4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0． 知识点2 用配方法解系数为1的一元二次方程 5．（2024秋•秦淮区期中）下列解方程2x2﹣4x＝﹣1的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（　　） A．第一步：两边都除以2，得 B．第二步：配方，得，即 C．第三步：开平方，得 D．第四步：移项，得，即， 6．将下列各式配方： （1）2x2+5x+4＝2（x+　 ）2+　 ； （2）x2﹣x﹣5（x﹣　 ）2+　 ． 7．用配方法解下列方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）﹣3x2﹣6x+4＝0； （3）4x2﹣6x﹣3＝0． 8．（2024秋•无锡期中）若一元二次方程x2﹣4100625＝0的两根为x1＝2025，x2＝﹣2025，则方程x2﹣4x﹣4100621＝0的两根为 　 ． 9．（2023春•金牛区校级期中）已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足a2+b2＝6a+12b﹣45，则△ABC的周长是 　 　 ． 10．对于任意实数x，用配方法可说明代数式4x2﹣24x+37的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 11．（2023秋•台山市校级期中）阅读并回答问题： 小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程x2＝﹣1时，突发奇想：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x1＝i，x2＝﹣i是方程x2＝﹣1的两个根． 据此可知： （1）i可以运算，例如：i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，则i4＝　 　 ，i2011＝　 ，i2012＝　 ； （2）解方程：x2﹣4x+5＝0（根用i表示），请写出解题过程． 12．（2021春•江都区校级期中）先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴n＝3，m＝﹣3． 问题： （1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？ （3）根据以上的方法是说明代数式：2x2+8x+y2﹣8y+25的值一定是一个正数． 13．（2024秋•靖江市月考）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式，如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：当x＝　 时，代数式x2﹣4x+7有最　 　 （填“大”或“小”）值，这个最值为　 　 ； （2）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a＜2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．请指出图中哪条线段的长度是方程x2+2ax＝4的一个根，并说明理由 1.2 一元二次方程分解法 第3课时 公式法及一元二次方程根的判别式 知识点1 公式法 1．（2024秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　） A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8 2．（2024秋•乌当区月考）求方程2x2+7x+2＝0的根时，由求根公式得，则m的值为（　　） A． B． C．﹣7 D．7 3．（2023•台湾）利用公式法可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　） A． B． C． D． 4．（2022秋•丰顺县校级月考）关于x的方程2x2﹣4x﹣3＝0的正实数根的取值范围是x＜k﹣2，则整数k的最小值为 　 　 ． 5．用公式法解下列方程： （1）x2﹣x﹣2＝0； （2）x2﹣2x＝1． 知识点2 一元二次方程根的判别式 6．（2023•吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（　　） A．33 B．23 C．17 D． 7．（2024•自贡）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．（2024•徐州）关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k值为 　 　 ． 9．（2024•南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　 　 ． 10．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 11．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 12．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 13．（2021•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　） A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长 14．（2024秋•鼓楼区期中）若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　 　 ． 15．（2024秋•太和县期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x＝2，求m的值及方程的另一根． 16．（2023春•杨浦区校级期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0． 17．（2023秋•赣州期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边． （1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 1.2 一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法 知识点1 因式分解法 1．（2024秋•凤城市期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 2．（2024秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣2024x＝0的解是 　 ． 3．（2021•泰山区校级一模）三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0的解，则这个三角形周长为（　　） A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10 4．（2024秋•同安区期中）解方程：2x2＝8的根是：　 　 ，3x2＝x的根是： ． 5．（2021•丹东）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．用因式分解法解下列方程： （1）2x2+x（x﹣3）＝0； （2）（x﹣3）2+x2﹣9＝0； （3）2x（x﹣3）＝（3﹣x）2； （4）（2x﹣2）2＝x2+2x+1． 知识点2 用合适的方法解一元二次方程 7．（2023秋•确山县校级月考）解方程（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）的适当方法应该是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 8．用适当的方法解下列方程． （1）4x（x﹣3）﹣3（3﹣x）＝0； （2）2x2﹣3x﹣6＝0（配方法）； （3）（2x﹣1）2＝（3x+2）2； （4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＝0． 9．（2022春•龙游县校级月考）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A． B．24 C．或24 D．或24 10．（2023秋•南召县期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，2※3＝22﹣2×3＝﹣2，若（x﹣1）※（2x﹣1）＝﹣6，则x的值为 　 ． 11．（2023春•招远市期末）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝　 　 ． 12．（2023秋•细河区期末）我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法，有时用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解，对于一元二次不等式也可以用相类似的方法求解，那么一元二次不等式x2﹣5x+6＞0的解集是 　 　 ． 13．（2023秋•成县校级月考）阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0．即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 知识点 直接开平方法 1．（2021秋•南皮县校级月考）老师出示问题：“解方程x2﹣4＝0．”四位同学给出了以下答案：甲：x＝2；乙：x1＝x2＝2；丙：x1＝x2＝﹣2；丁：x1＝2，x2＝﹣2．下列判断正确的是（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 【分析】先移项，再两边开平方即可． 【详解】解：∵x2﹣4＝0， ∴x2＝4， 则x1＝2，x2＝﹣2， ∴丁正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（浙江中考）一元二次方程（x+6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝4，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣4 B．x﹣6＝4 C．x+6＝4 D．x+6＝﹣4 【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案． 【详解】解：（x+6）2＝16， 两边直接开平方得：x+6＝±4， 则：x+6＝4，x+6＝﹣4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看作一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 3．（2024秋•沭阳县校级月考）关于x的一元二次方程（x+2）2＝m﹣21可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 　m≥21　 ． 【分析】根据能用直接开平方法求解的一元二次方程特征即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程（x+2）2＝m﹣21可以用直接开平方法求解， 所以m﹣21≥0， 解得m≥21． 故答案为：m≥21． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知能用直接开平方法求解的一元二次方程特征是解题的关键． 4．用直接开平方法解下列方程： （1）81x2﹣25＝0； （2）（y﹣5）2﹣64＝0； （3）2（x﹣1）2﹣18＝0； （4）（3x﹣1）2＝（x+1）2． 【分析】（1）移常数项，二次项系数化为1，直接开平方求出x的值； （2）移常数项后直接开平方，求出y﹣5的值后再求y； （3）移常数项，二次项系数化为1，求出x﹣1的值后再求x； （4）直接开平方，得关于x的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：（1）81x2﹣25＝0 移项，得81x2＝25， ∴x2． ∴x1，x2； （2）（y﹣5）2﹣64＝0 移项，得（y﹣5）2＝64， ∴y﹣5＝±8． ∴y＝5±8． ∴y1＝13，y2＝﹣3．； （3）2（x﹣1）2﹣18＝0 移项，得2（x﹣1）2＝18， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， ∴x＝1±3． ∴x1＝4，x2＝﹣2； （4）（3x﹣1）2＝（x+1）2 ∴3x﹣1＝±（x+1）， ∴3x﹣1＝x+1或3x﹣1＝﹣x﹣1． ∴x1＝1，x2＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的直接开平方法．掌握直接开平方法的一般步骤是解决本题的关键． 5．（2022秋•汇川区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　） A．17 B．11 C．15 D．11或15 【分析】求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长． 【详解】解：（x﹣3）2＝4， x﹣3＝±2， 解得x1＝5，x2＝1． 若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15； 若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形， 则此三角形的周长是15． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的解．运用三角形的三边关系解决问题时常常把最长的边作为第三边，用剩下的两边相加与最长边比较大小来判断能否三角形． 6．（2023•桐庐县一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b，则2a+b的值为 　6　 ． 【分析】先利用直接开平方法解方程得到a＝2，b＝2，然后把它们代入2a+b中计算即可． 【详解】解：（x﹣2）2＝3， x﹣2＝±， 解得x1＝2．x2＝2， ∵方程（x﹣2）2＝3的两根为a、b，且a＞b， ∴a＝2，b＝2， ∴2a+b＝2（2）+26． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了解一元二次方程． 7．（河北中考）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，min{，}＝　　 ；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　2或﹣1　 ． 【分析】首先理解题意，进而可得min{，}，min{（x﹣1）2，x2}＝1时再分情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案． 【详解】方法一： 解：min{，}， ∵min{（x﹣1）2，x2}＝1， 当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1， ∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2， 则（x﹣1）2＝1， x﹣1＝±1， x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1， 解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去）， 当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2， 则x2＝1， 解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1， 综上所述：x的值为：2或﹣1． 故答案为：；2或﹣1． 【点睛】此题主要考查了实数的比较大小，关键是正确理解题意． 8．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]在﹣2≤x＜2范围内的图象如图所示，试求在﹣2≤x＜2范围内满足[x]x2的x的值． 【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x＜2时，则x2＝1；当0≤x＜1时，则x2＝0；当﹣1≤x＜0时，则x2＝﹣1；当﹣2≤x＜﹣1时，则x2＝﹣2；然后分别解关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1，x2（舍去）； 当0≤x＜1时，x2＝0，解得x1＝x2＝0； 当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解； 当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解； 所以方程[x]x2的解为x＝0或． 【点睛】本题考查了函数的图象，根据新定义和函数图象讨论是解题的关键．也考查了实数的大小比较． 9．（2025春•嘉兴期末）已知关于x的方程a（x﹣m）2+k＝0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝1，x2＝4，则方程a（x﹣m﹣2）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝6 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝﹣1，x2＝2 【分析】根据已知方程得出方程a（x﹣m﹣2）2+k＝0中x﹣2＝1或x﹣2＝4，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程a（x﹣m）2+k＝0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1＝1，x2＝4， ∴方程a（x﹣m﹣2）2+k＝0中x﹣2＝1或x﹣2＝4， 解得x1＝3，x2＝6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10．（2025春•崇川区校级月考）关于x的方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m）2+b＝0的解是　x＝1或x＝5　 ． 【分析】可把方程a（x+m）2+b＝0看作关于x﹣2的一元二次方程，从而得到x﹣2＝﹣1或x﹣2＝3，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程a（x+m）2+b＝0看作关于x﹣2的一元二次方程， ∵关于x的方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3， ∴关于x﹣2的方程a（x+m）2+b＝0的解是x﹣2＝﹣1或x﹣2＝3， ∴x＝1或x＝5． 故答案为：x＝1或x＝5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．可把方程a（x+m）2+b＝0看作关于x﹣2的一元二次方程，从而得到x﹣2＝﹣1或x﹣2＝3，解之即可得出结论． 11．（2025春•崇川区校级月考）若方程（x+2）2＝m﹣1有解，则m的取值范围是　m≥1　 ． 【分析】根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得． 【详解】解：方程（x+2）2＝m﹣1有解， ∴m﹣1≥0， ∴m≥1． 故答案为：m≥1． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键． 12．（2025•广州模拟）定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　﹣4或19　 ． 【分析】根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：∵，xΘ1＝17， ∴当x≥1时， xΘ1＝x﹣2×1＝17， ∴x＝19， 当x＜1时， xΘ1＝x2+1＝17， 解得x＝4（舍去）或﹣4． 综上所述，x的值为﹣4或19． 故答案为：﹣4或19． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 13．（2025春•招远市期中）关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　x＝±2　 ． 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵mx2+mx＝3x+12不含x的一次项， ∴m﹣3＝0， 解得m＝3， ∴3x2+3x＝3x+12， 解得x＝±2， 故答案为：x＝±2． 【点睛】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 14．（2024秋•吉州区期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2＝0的解为　﹣3或1　 ． 【分析】根据规定运算，将方程（x+1）*2＝0转化为一元二次方程求解． 【详解】解：根据规定运算，方程（x+1）*2＝0可化为（x+1）2﹣22＝0， 移项，得（x+1）2＝4， 两边开平方，得x+1＝±2， 解得x1＝1，x2＝﹣3， 故答案为：﹣3或1． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 1.2一元二次方程的解法 第2课时 【配方法】 知识点1 用配方法解系数为1的一元二次方程 1．（2024秋•武邑县期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣4）2＝5 C．（x﹣4）2＝3 D．（x﹣2）2＝3 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 2．将下列各式配方： （1）x2﹣4x+　4　 ＝（x﹣　2　 ）2； （2）x2+12x+　36　 ＝（x+　6　 ）2； （3）x2x+　　 ＝（x﹣　　 ）2； （4）x2+2x+　2　 ＝（x+　　 ）2． 【分析】根据配方法是平方和加减积的2倍，可得答案． 【详解】解：（1）（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2； （2）x2+12x+36＝（x+6）2； （3）x2x（x）2； （4）x2+2x+2＝（x）2； 故答案为：4，2；36，6；，；2，． 【点睛】本题考查了配方法，凑成平方和加减积的2倍是解题关键． 3．（2024秋•句容市期中）将一元二次方程x2﹣6x+m＝0化成（x﹣n）2＝4的形式，则m﹣n＝　2　 ． 【分析】由x2﹣6x+m＝0，可得（x﹣3）2＝9﹣m，进而求得m、n的值，然后作答即可． 【详解】解：x2﹣6x+m＝0， x2﹣6x+9＝9﹣m， （x﹣3）2＝9﹣m， ∵一元二次方程x2﹣6x+m＝0化成（x﹣n）2＝4的形式， ∴9﹣m＝4，n＝3， ∴m＝5，n＝3， ∴m﹣n＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程、完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式． 4．配方法解下列方程： （1）x2+2x﹣8＝0； （2）x2+12x﹣13＝0； （3）（x）2＝4； （4）4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0． 【分析】（1）（2）利用配方法解方程； （3）（4）利用直接开平方法解方程． 【详解】解：（1）x2+2x＝8， x2+2x+1＝9， （x+1）2＝9， x+1＝±3， 所以x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2+12x＝13， x2+12x+36＝49， （x+6）2＝49， x+6＝±7， 所以x1＝1，x2＝﹣13； （3）x＝±2， 所以x1，x2； （4）4（2x﹣1）2＝25（x+1）2． 2（2x﹣1）＝±5（x+1）， 所以x1＝﹣7，x2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程． 知识点2 用配方法解系数为1的一元二次方程 5．（2024秋•秦淮区期中）下列解方程2x2﹣4x＝﹣1的步骤中，依据是“平方根的意义”的是（　　） A．第一步：两边都除以2，得 B．第二步：配方，得，即 C．第三步：开平方，得 D．第四步：移项，得，即， 【分析】根据平方根的意义判断即可． 【详解】解：根据“平方根的意义”的步骤是选项C． 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法解方程的步骤． 6．将下列各式配方： （1）2x2+5x+4＝2（x+　　 ）2+　　 ； （2）x2﹣x﹣5（x﹣　　 ）2+　　 ． 【分析】（1）先提出2，再配方求解； （2）先提出，再配方求解． 【详解】解：（1）2x2+5x+4 ＝2（x2x）+4 ＝2（x）2+4 ＝2（x）2； 故答案为：，； （2）x2﹣x﹣5 （x2﹣3x）﹣5 （x2﹣3x）﹣5 （x）2， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 7．用配方法解下列方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）﹣3x2﹣6x+4＝0； （3）4x2﹣6x﹣3＝0． 【分析】（1）把方程左边的常数项移到右边，方程两边同时除以2，再加上进行配方，然后直接开平方，进行解答即可； （2）把方程左边的常数项移到右边，方程两边同时除以﹣3，再加上1进行配方，然后直接开平方，进行解答即可； （3）把方程左边的常数项移到右边，方程两边同时除以4，再加上进行配方，然后直接开平方，进行解答即可． 【详解】解：（1）方程化为x2x， 配方得：x2x， （x）2， ∴x±， ∴x1，x2＝1； （2）方程化为x2+2x， 配方得：x2+2x+11， （x+1）2， ∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣1； （3）方程化为x2x， 配方得：x2x， （x）2， ∴x±， ∴x1，x2． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解答本题的关键． 8．（2024秋•无锡期中）若一元二次方程x2﹣4100625＝0的两根为x1＝2025，x2＝﹣2025，则方程x2﹣4x﹣4100621＝0的两根为 　x1＝2027，x2＝﹣2023　 ． 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：x2﹣4x﹣4100621＝0， x2﹣4x＝4100621， x2﹣4x+4＝4100625， ∴（x﹣2）2＝4100625， ∴x﹣2＝±2025， ∴x1＝2027，x2＝﹣2023． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是配方法解方程的步骤． 9．（2023春•金牛区校级期中）已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足a2+b2＝6a+12b﹣45，则△ABC的周长是 　15　 ． 【分析】将a2+b2＝6a+12b﹣45变形转化为a2﹣6a+b2﹣12b+45＝0，根据完全平方公式平方得（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b值，依据三角形三边关系计算周长即可． 【详解】解：∵a2+b2＝6a+12b﹣45， ∴a2﹣6a+b2﹣12b+45＝0， ∴a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣6）2≥0， ∴a﹣3＝0，b﹣6＝0， ∴a＝3，b＝6， 根据三角形三边关系，6为腰， ∴三角形的周长＝6+6+3＝15． 故答案为：15 【点睛】本题考查了配方法以及非负数的性质，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 10．对于任意实数x，用配方法可说明代数式4x2﹣24x+37的值一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【分析】根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵4x2﹣24x+37＝4（x2﹣6x）+37 ＝4（x2﹣6x+9﹣9）+37 ＝4（x﹣3）2﹣36+37 ＝4（x﹣3）2+1 ∵（x﹣3）2≥0， ∴4（x﹣3）2+1≥1， ∴4x2﹣24x+37的值一定是正数， 故选：A． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 11．（2023秋•台山市校级期中）阅读并回答问题： 小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程x2＝﹣1时，突发奇想：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x1＝i，x2＝﹣i是方程x2＝﹣1的两个根． 据此可知： （1）i可以运算，例如：i3＝i2•i＝﹣1×i＝﹣i，则i4＝　1　 ，i2011＝　﹣i　 ，i2012＝　1　 ； （2）解方程：x2﹣4x+5＝0（根用i表示），请写出解题过程． 【分析】（1）原式各项根据阅读材料中的方法计算即可得到结果； （2）方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可． 【详解】解：（1）i4＝i2•i2＝1，i2011＝i2010•i＝﹣i，i2012＝（i2）1006＝1； 故答案为：1；﹣i；1； （2）方程整理得：x2﹣4x＝﹣5， 配方得：x2﹣4x+4＝﹣5+4，即（x﹣2）2＝﹣1， 开方得：x﹣2＝±i， 解得：x1＝2+i，x2＝2﹣i． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 12．（2021春•江都区校级期中）先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴n＝3，m＝﹣3． 问题： （1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝0，请问△ABC是怎样形状的三角形？ （3）根据以上的方法是说明代数式：2x2+8x+y2﹣8y+25的值一定是一个正数． 【分析】（1）将原式配方得（x﹣y）2+（y+2）2＝0，求出x，y的值，进而求解． （2）将原式配方得（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|＝0，求出a，b，c的值进而求解． （3）将原式配方得2（x+2）2+（y﹣4）2+1，由偶次方及绝对值的非负性求解． 【详解】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝（x﹣y）2+（y+2）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+2＝0， ∴x＝y＝﹣2， ∴xy＝（﹣2）﹣2． （2）a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|＝（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|＝0， ∴a＝b＝c＝3， ∴△ABC是等边三角形． （3）2x2+8x+y2﹣8y+25＝2（x2+4x+4）+y2﹣8y+16+1＝2（x+2）2+（y﹣4）2+1， ∴2（x+2）2+（y﹣4）2+1≥1， ∴原式的值一定为正数． 【点睛】本题考查偶次方及绝对值的非负性，解题关键是将各式配方求解． 13．（2024秋•靖江市月考）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式，如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：当x＝　2　 时，代数式x2﹣4x+7有最　小　 （填“大”或“小”）值，这个最值为　3　 ； （2）如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a＜2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．请指出图中哪条线段的长度是方程x2+2ax＝4的一个根，并说明理由 【分析】（1）利用配方法以及完全平方的非负性，进行求解即可； （2）根据矩形的性质，以及作图得到DF＝DC＝a，勾股定理求出BD的长，进而求出BF的长，配方法求出方程的根，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3≥3， ∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+7有最小值，为3， 故答案为：2、小、3； （2）BF的长为方程x2+2ax＝4的一个根，理由如下： ∵矩形ABCD中，AB＝a（a＜2），BC＝2， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝a，∠A＝90°， ∴， 由作图可知：DF＝DC＝a， ∴， ∵x2+2ax＝4， ∴x2+2ax+a2＝4+a2， ∴（x+a）2＝4+a2， ∴， ∴， ∴BF的长为方程x2+2ax＝4的一个根． 【点睛】本题考查配方法，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握配方法是解题的关键． 1.2 一元二次方程分解法 第3课时 公式法及一元二次方程根的判别式 知识点1 公式法 1．（2024秋•梁山县期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　） A．3，﹣4，8 B．3，4，8 C．3，4，﹣8 D．3，﹣4，﹣8 【分析】整理为一般式即可得出答案． 【详解】解：∵3x2﹣4x＝8， ∴3x2﹣4x﹣8＝0， 则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握如何找二次项系数，一次项系数和常数项． 2．（2024秋•乌当区月考）求方程2x2+7x+2＝0的根时，由求根公式得，则m的值为（　　） A． B． C．﹣7 D．7 【分析】利用公式法判断即可． 【详解】解：∵方程2x2+7x+2＝0的根时，由求根公式得， ∴m＝﹣7． 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023•台湾）利用公式法可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　） A． B． C． D． 【分析】利用公式法即可求解． 【详解】解：3x2﹣11x﹣1＝0， 这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0， ∴x， ∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b， ∴a的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 4．（2022秋•丰顺县校级月考）关于x的方程2x2﹣4x﹣3＝0的正实数根的取值范围是x＜k﹣2，则整数k的最小值为 　5　 ． 【分析】先求出一元二次方程的正实数解，进而即可得到答案． 【详解】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40， ∴， ∴方程2x2﹣4x﹣3＝0的正实数根为：， ∵， ∴， ∵， ∴k﹣2的最小值为3， ∴整数k的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，无理数的估算，不等式的性质，掌握公式法解一元二次方程是关键． 5．用公式法解下列方程： （1）x2﹣x﹣2＝0； （2）x2﹣2x＝1． 【分析】（1）直接利用公式法求解即可； （2）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用公式法求解即可． 【详解】解：（1）x2﹣x﹣2＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9， ∴x， ∴x1＝2，x2＝﹣1； （2）x2﹣2x＝1， x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8， ∴x1±， ∴x1＝1，x2＝1． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 知识点2 一元二次方程根的判别式 6．（2023•吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（　　） A．33 B．23 C．17 D． 【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值． 【详解】解：x2﹣5x+2＝0， ∵a＝1，b＝﹣5，c＝2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式． 7．（2024•自贡）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：关于x的方程x2+mx﹣2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣2， ∴Δ＝m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 8．（2024•徐州）关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根，则k值为 　±2　 ． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，可得出k2﹣4×1×1＝0，解之即可得出k的值． 【详解】解：∵关于x的方程x2+kx+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝k2﹣4×1×1＝0， 解得：k＝±2， ∴k的值为±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 9．（2024•南通）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　k＝﹣1（答案不唯一）　 ． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k＞0，解之即可得出k值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故答案为：k＝﹣1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 10．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论． 【详解】解：∵m﹣2n＝3， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1） ＝m2+4n2﹣4mn﹣4 ＝（m﹣2n）2﹣4 ＝32﹣4 ＝9﹣4 ＝5＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，关键是根的判别式的熟练应用． 11．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围； （2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0， 解得：k且k≠0； （2）当k＝1时， 原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0， 即x2﹣6x﹣5＝0， 移项得：x2﹣6x＝5， 配方得：x2﹣6x+9＝5+9， 即（x﹣3）2＝14， 直接开平方得：x﹣3＝± 解得：x1＝3，x2＝3． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0． 12．（2024•宿迁）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m≠0 【分析】先根据新定义得到x（mx）+x+1＝0，再把方程化为一般式，根据题意得到Δ＞0且m≠0，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得x（mx）+x+1＝0， 整理得mx2+x+1＝0， ∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4m•1＞0且m≠0， 解得m且m≠0． 故选：D． 【点睛】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键． 13．（2021•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（　　） A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长 【分析】根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可． 【详解】解：由勾股定理得，AB， ∴ADa， 解方程x2+2ax﹣b2＝0得x±a， ∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 14．（2024秋•鼓楼区期中）若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　﹣2　 ． 【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，Δ＜0，不符合题意；如果m≠1，解方程求出t的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可． 【详解】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t， 则t2+mt+1＝0①， t2+t+m＝0②， ①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1， 如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意； 如果m≠1，那么t＝1， 把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2． 故常数m的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 15．（2024秋•太和县期中）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x＝2，求m的值及方程的另一根． 【分析】（1）根据题意只需要证明Δ＝m2﹣4（2m﹣7）＞0即可； （2）把x＝2代入原方程求出m的值，进而根据根与系数的关系求出另一个根即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：Δ＝m2﹣4（2m﹣7） ＝m2﹣8m+28 ＝（m2﹣8m+16）+12 ＝（m﹣4）2+12， ∵（m﹣4）2≥0， ∴（m﹣4）2+12＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝2代入x2+mx+2m﹣7＝0得：22+2m+2m﹣7＝0， 解得， ∴原方程为， 设另一个根为x1， ∴， ∴，即另一个根为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解的定义． 16．（2023春•杨浦区校级期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0． 【分析】先求出“△”的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0， 分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，k2﹣4≠0， Δ＝[﹣（5k﹣2）]2﹣4（k2﹣4）•6＝（k﹣10）2， x， x1，x2； ②当方程是一元一次方程时，k2﹣4＝0且﹣（5k﹣2）≠0， 解得k＝±2， 当k＝2时，方程为﹣8x+6＝0， 解得x； 当k＝﹣2时，方程为12x+6＝0， 解得x． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键． 17．（2023秋•赣州期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边． （1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据方程的解把x＝1代入方程得到c﹣b＝0，即c＝b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形； （2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状． 【详解】解：（1）把x＝1代入方程得， a+c﹣2b﹣a+c＝0， 化简得c＝b， 则该三角形ABC的形状为等腰三角形． （2）由题意可得方程有两个相等的实数根， 则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式， Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0， 4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0， 化简可得b2+a2＝c2， 则该三角形ABC的形状为直角三角形． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 1.2 一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法 知识点1 因式分解法 1．（2024秋•凤城市期中）已知代数式﹣ax2+bx的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … ﹣ax2+bx … ﹣4 ﹣2 0 0 ﹣2 ﹣4 … A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【分析】根据表格数据即可求解． 【详解】解：由数据可得，当x＝﹣1或2时，﹣ax2+bx＝﹣2， ∴关于x的一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解是x1＝﹣1，x2＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值和一元二次方程的解，关键是观察表格，理解代数式﹣ax2+bx值和一元二次方程﹣ax2+bx+2＝0的解的关系． 2．（2024秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣2024x＝0的解是 　x1＝2024，x2＝0　 ． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：x2﹣2024x＝0， ∴（x﹣2024）x＝0， ∴x1＝2024，x2＝0； 故答案为：x1＝2024，x2＝0． 【点睛】本题考查解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 3．（2021•泰山区校级一模）三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0的解，则这个三角形周长为（　　） A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10 【分析】先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否能组成三角形，最后求出即可． 【详解】解：x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0， 解得：x＝4或2， ①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； ②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4＝10， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 4．（2024秋•同安区期中）解方程：2x2＝8的根是：　x1＝2，x2＝﹣2　 ，3x2＝x的根是：　x1＝0，x2　 ． 【分析】第一个方程两边除以2变形后，利用平方根定义开方即可求出解；第二个方程右边移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：2x2＝8， 变形得：x2＝4， 开方得：x1＝2，x2＝﹣2； 3x2＝x， 移项得：3x2﹣x＝0， 分解因式得：x（3x﹣1）＝0， 可得x＝0或3x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2． 故答案为：x1＝2，x2＝﹣2；x1＝0，x2 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法及直接开平方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 5．（2021•丹东）若实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】通过解一元二次方程可得出k，b的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，此题得解． 【详解】解：∵实数k、b是一元二次方程（x+3）（x﹣1）＝0的两个根，且k＜b， ∴k＝﹣3，b＝1， ∴函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 6．用因式分解法解下列方程： （1）2x2+x（x﹣3）＝0； （2）（x﹣3）2+x2﹣9＝0； （3）2x（x﹣3）＝（3﹣x）2； （4）（2x﹣2）2＝x2+2x+1． 【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （4）两边直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵2x2+x（x﹣3）＝0， ∴x（3x﹣3）＝0， 则x＝0或3x﹣3＝0， 解得x1＝0，x2＝1； （2）∵（x﹣3）2+x2﹣9＝0， ∴2x（x﹣3）＝0， 则x＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝0，x2＝3； （3）∵2x（x﹣3）＝（3﹣x）2， ∴2x（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 则（x﹣3）（x+3）＝0， ∴x﹣3＝0或x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3； （4）∵（2x﹣2）2＝x2+2x+1， ∴（2x﹣2）2＝（x+1）2， 则2x﹣2＝x+1或2x﹣2＝﹣x﹣1， 解得x1＝3，x2＝1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 知识点2 用合适的方法解一元二次方程 7．（2023秋•确山县校级月考）解方程（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）的适当方法应该是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【分析】由方程两边有公共因式5x﹣1，知原方程将右边移项至左边后，利用因式分解法求解最简单． 【详解】解：∵方程两边有公共因式5x﹣1， ∴原方程将右边移项至左边后，利用因式分解法求解最简单， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 8．用适当的方法解下列方程． （1）4x（x﹣3）﹣3（3﹣x）＝0； （2）2x2﹣3x﹣6＝0（配方法）； （3）（2x﹣1）2＝（3x+2）2； （4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＝0． 【分析】（1）变形后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）先两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）4x（x﹣3）﹣3（3﹣x）＝0， （x﹣3）（4x+3）＝0， x﹣3＝0，4x+3＝0， x1＝3，x2； （2）2x2﹣3x﹣6＝0， 2x2﹣3x＝6， x2x＝3， 配方得：x2x+（）2＝3+（）2， （x）2， 开方得：x±， x1，x2； （3）（2x﹣1）2＝（3x+2）2， 两边开方得：2x﹣1＝±（3x+2）， 解得：x1＝﹣3，x2； （4）（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+6＝0， 分解因式得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）＝0， x﹣1﹣2＝0，x﹣1﹣3＝0， x1＝3，x2＝4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 9．（2022春•龙游县校级月考）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A． B．24 C．或24 D．或24 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高＝2，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：x2﹣16x+60＝0， （x﹣6）（x﹣10）＝0， x﹣6＝0或x﹣10＝0， 所以x1＝6，x2＝10， 当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高2，此时三角形的面积8×28， 当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积8×6＝24． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系． 10．（2023秋•南召县期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，2※3＝22﹣2×3＝﹣2，若（x﹣1）※（2x﹣1）＝﹣6，则x的值为 　3或﹣2　 ． 【分析】根据新运算列方程并解方程即可． 【详解】解：由题意可得（x﹣1）2﹣（x﹣1）（2x﹣1）＝﹣6， 整理得：x2﹣x﹣6＝0， 解得：x＝3或x＝﹣2， 故答案为：3或﹣2． 【点睛】本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 11．（2023春•招远市期末）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝　6　 ． 【分析】由题意可以知道O是原点，且O是AB的中点，就有A、B表示的数互为相反数，就可以表示出A点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可． 【详解】解：∵O是原点，且是AB的中点， ∴OA＝OB， ∵B点表示的数是x， ∴A点表示的数是﹣x． ∵B是AC的中点， ∴AB＝BC， ∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x）， 解得：x1＝0，x2＝6． ∵B异于原点， ∴x≠0， ∴x＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各个点表示的数是关键． 12．（2023秋•细河区期末）我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法，有时用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解，对于一元二次不等式也可以用相类似的方法求解，那么一元二次不等式x2﹣5x+6＞0的解集是 　x＞3或x＜2　 ． 【分析】根据“两数相乘，同号得正”列出不等式组，再分别求解可得． 【详解】解：x2﹣5x+6＞0可化为（x﹣2）（x﹣3）＞0， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②， 解不等式组①，得：x＞3， 解不等式组②，得x＜2， 故一元二次不等式2x2﹣5x+6＜0的解集为x＞3或x＜2． 故答案为：x＞3或x＜2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．（2023秋•成县校级月考）阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 【分析】此题要求学生学以致用，要按照要求解题，解题的关键是正确拆项，拆项、分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0，找到公因式2x+3，提公因式即可解得． 【详解】解：6x2+7x﹣3＝0， 拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0， 提公因式3x（2x+3）﹣（2x+3）＝0， 再提公因式得（2x+3）（3x﹣1）＝0， 即2x+3＝0，3x﹣1＝0， x1，x2． 【点睛】此题考查了学生的分析能力与学以致用的能力，解此题的关键是正确拆项． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$