第07讲 直线与圆的位置关系（2）（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第07讲 直线与圆的位置关系（2） 课程标准 学习目标 ①切线长及切线长定理 ②三角形的内切圆与内心 ③弦切角与弦切角定理 1. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用。 2. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其解决相关题目。 3. 掌握弦切角的定义以及弦切角定理，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 切线长及切线长定理 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。 2. 切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作 2 条，它们的长度 相等 。圆心和这一点的连线 平分 两 条切线的夹角。 即PA ＝ PB，∠APO ＝ ∠BPO。 推广：由切线长定理的结论可得： ①△APO ≌ △BPO∠AOP ＝ ∠BOPAM (⌒) ＝ AM (⌒)AB ⊥ OP。 【即学即练1】 1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长． 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案． 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 知识点02 三角形的内切圆与内心 1. 三角形内切圆的定义： 如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。 2. 三角形的内心： 三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角 角平分线 的交点，到三角形三边的距离 相等 。 特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为 或 。 4. 三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。 【即学即练1】 3．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【分析】根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝50°，根据内心的概念得到∠CAB+∠ABC＝100°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵∠AIB＝130°， ∴∠IAB+∠IBA＝50°， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝100°， ∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝80°， 故选：D． 【即学即练2】 4．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点O为△ABC内心，连接BO并延长交AC于点D，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，则CF＝（　　） A． B．1 C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形内心的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M， ∵BD过△ABC内心O， ∴BD是∠ABC的平分线， 即∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°， ∵BD⊥AF， ∴∠AEB＝∠FBE＝90°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴BF＝AB＝2， 在Rt△ABM中，AB＝2，∠ABM＝60°， ∴BM＝AB＝1，AM＝AB＝， 在Rt△AMC中，∠C＝45°， ∴MC＝AM＝， ∴BC＝BM+MC＝1+， ∴FC＝BC﹣BF＝1+﹣2＝﹣1． 故选：C． 【即学即练3】 5．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（　　）（结果保留π） A．π B．2π C．3π D．4π 【分析】直接利用正方形的判定方法以及切线的性质得出四边形ECFO为正方形，进而得出正方形边长即可得出答案． 【解答】解：连接OE、OF， ∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴AB＝5， ∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点， ∴EB＝DB，CE＝CF，AD＝AF，OE⊥BC，OF⊥AC， 又∵∠C＝90°，OF＝OE， ∴四边形ECFO为正方形， ∴设OE＝OF＝CF＝CE＝x， ∴BE＝4﹣x，FA＝3﹣x； ∴DB＝4﹣x，AD＝3﹣x， ∴3﹣x+4﹣x＝5， 解得：x＝1， 则⊙O的面积为：π． 故选：A． 知识点03 弦切角及弦切角定理 1. 弦切角的定义： 如图，像∠ACP这样顶点在 圆上 ，一边与圆 相交 ，一边与圆 相切 的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 2. 弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数 相等 。等于弦所对的圆心角度数的 一半 。 【即学即练1】 6．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【分析】连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，再利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠A＝25°，根据弦切角定理得到∠BOC＝25°，然后根据三角形外角性质计算∠D的度数． 【解答】解：连接OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°， ∴∠BCD＝∠A＝25°， ∵∠OBC＝∠BCD+∠D ∴∠D＝65°﹣25°＝40°． 故选：C． 题型01 利用切线长定理求线段长度或图形周长 【典例1】如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　） A．12 B．6 C．8 D．4 【分析】由PA，PB分别和⊙O切于A，B两点与DE是⊙O的切线，根据切线长定理，即可得PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，又由△PDE的周长为12，易求得PA+PB＝12，则可求得答案． 【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点， ∴PA＝PB， ∵DE是⊙O的切线， ∴DA＝DC，EB＝EC， ∵△PDE的周长为12， 即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6． 故选：B． 【变式1】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　7　． 【分析】由切线长定理得AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，根据已知条件，先求出BD，即BF的长，再求出CE＝4，即CF的长，求和即可． 【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线， ∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF， ∵AB＝4，AC＝5，AD＝1， ∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4， ∴BC＝BF+CF＝3+4＝7． 【变式2】如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝　5　cm． 【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解． 【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E； ∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B； ∴PA＝PB； 同理，可得：DE＝DA，CE＝CB； 则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）； ∴PA＝PB＝5cm， 故答案为：5． 【典例2】如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 【分析】根据切线长定理得到AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，进而求出AD+BC，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F， ∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF， ∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25， ∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50， 故选：D． 【变式1】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　20　cm． 【分析】利用切线长定理，可以得到：PA＝PB，AE＝EC，FC＝FB，据此即可求解 【解答】解：∵PA，PB是圆的切线． ∴PA＝PB 同理，AE＝EC，FC＝FB． 三角形PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+PF+CF+EC＝PE+AE+PF+FB＝PA+PB＝2PA＝20cm． 故答案是20． 【变式2】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长． 【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a， ∵CE与半圆O相切于点F， ∴AE＝EF，BC＝CF， ∵EF+FC+CD+ED＝12， ∴AE+ED+CD+BC＝12， ∵AD＝CD＝BC＝AB， ∴正方形ABCD的边长为4； 在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1， ∵AE+EF+FC+BC+AB＝14， ∴直角梯形ABCE周长为14． 故选：C． 题型02 利用内切圆性质求角度 【典例1】如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（　　） A．40° B．55° C．65° D．70° 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A，根据多边形的内角和定理求出∠EOF，根据圆周角定理求出∠EDF即可． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠A＝70°， ∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F， ∴∠OEA＝∠OFA＝90°， ∴∠EOF＝360°﹣∠A﹣∠OEA﹣∠OFA＝110°， ∴∠EDF＝∠EOF＝55°． 故选：B． 【变式1】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝　62°　． 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，接着利用四边形内角和计算出∠BAD+∠ADC＝236°，所以∠3+∠4＝118°，然后根据三角形内角和计算∠AOD的度数． 【解答】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【变式2】在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，I是△ABC的内心，则∠AIB＝　120°　，∠BIC＝　110°　，∠CIA＝　130°　． 【分析】先求出∠C，再由I是△ABC的内心，得∠AIB＝180°﹣（∠A+∠B），∠BIC＝180°﹣（∠C+∠B），∠CIA＝180°﹣（∠C+∠A）． 【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝60°， ∵I是△ABC的内心，∴∠AIB＝180°﹣（∠A+∠B）＝120°， ∠BIC＝180°﹣（∠C+∠B）＝110°， ∠CIA＝180°﹣（∠C+∠A）＝130． 故答案为120°，110°，130°． 【变式3】已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 【分析】连接OB、OC，如图，利用内心的性质和三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠BAC＝125°，利用点O是△BCP的外心，然后根据圆周角定理得到∠BPC＝∠BOC． 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵O是△ABC的内心， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°+∠BAC＝90°+×70°＝125°， ∵点O是△BCP的外心， ∴∠BPC＝∠BOC＝×125°＝62.5°． 故选：C． 【变式4】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 【分析】根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系． 【解答】解：∵点O是△ABC的外心， ∴∠AOB＝2∠C， ∴∠C＝∠AOB， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA， ∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA） ＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）， ＝180°﹣（180°﹣∠C） ＝90°+∠C， ∴2∠AIB＝180°+∠C， ∵∠AOB＝2∠C， ∴∠AIB＝90°+∠AOB， ∴4∠AIB﹣∠AOB＝360°． ∵∠AIB＝125°， ∴∠AOB＝140°． 故选：D． 题型03 利用内切圆性质求线段 【典例1】已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】设这个三角形的内切圆半径是rcm，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r， ∵三角形周长为12，面积为6， ∴×12r＝6， 解得r＝1． 故选：D． 【变式1】如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【分析】连结BI，先由△ABC是等边三角形证明∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，则∠D＝∠C＝60°，再根据三角形的内心的定义证明∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，即可证明AD是△ABC外接圆的直径，再证明△DBI是等边三角形，则DI＝BI，即可证明DI＝AI＝AD＝2，则BD＝DI＝2． 【解答】解：如图，连接BI， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°， ∴∠D＝∠C＝60°， ∵点I为等边△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°， ∴AD是△ABC外接圆的直径， ∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°， ∴△DBI是等边三角形， ∴DI＝BI， ∵∠IAB＝∠IBA， ∴AI＝BI， ∴DI＝AI＝AD＝2， ∴BD＝DI＝2， ∴线段DB的长为2， 故选：A． 【变式2】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　14　． 【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5， ∴△ABC的周长＝AD+DB+BC+CF+AF＝AD+AF+BC+（BD+CF）＝14， 故答案为：14． 【变式3】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r． 【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD＝CF＝（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长． 【解答】解：如图； 在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm； 根据勾股定理AB＝＝15cm； 四边形OFCD中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°； 则四边形OFCD是正方形； 由切线长定理，得：AD＝AE，CD＝CF，BE＝BF； 则CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）； 即：r＝（12+9﹣15）＝3． 当AC＝b，BC＝a，AB＝c， 由以上可得： CD＝CF＝（AC+BC﹣AB）； 即：r＝（a+b﹣c）． 则⊙O的半径r为：（a+b﹣c）． 【变式4】如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离． 【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理得到AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝10，则外心O为AB的中点，BO＝AB＝5，连接OI，设⊙I的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形IDCE为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，利用AF+BF＝AB得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1， 在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO＝． 【解答】解：连接ID、IE、IF，如图， ∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°， ∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝＝10， ∴外心O为AB的中点， ∴BO＝AB＝5， 连接OI，如图， 设⊙I的半径为r， ∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F， ∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF， 而∠C＝90°， ∴四边形IDCE为正方形， ∴DC＝CE＝r， ∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r， ∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r， 而AF+BF＝AB， ∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2， ∴BF＝6﹣r＝4， ∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1， 在Rt△IOF中，IF＝2，OF＝1， ∴IO＝＝， 即Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离为． 题型04 利用弦切角定理求角度 【典例1】如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 　55　度． 【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出∠A＝∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠A与∠B互余，计算即可求解． 【解答】解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°， ∴∠A＝∠PCB＝35°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴35°+∠B＝90°， 解得∠B＝55°． 故答案为：55． 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由弦切角定理圆周角定理得∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B，再由AB为直径，得∠ACB＝90°，则∠B、∠D、∠ACM，都是∠BCN的余角． 【解答】解：∵直线MN切⊙O于C点， ∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°． 故选：C． 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数． 【解答】 解：连接BC， ∵DB、DE分别切⊙O于点B、C， ∴BD＝DC， ∵∠ACE＝25°， ∴∠ABC＝25°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°， ∴∠D＝50°． 故选：A． 【变式3】如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝　40°　． 【分析】连接BD，由圆内接四边形的性质，求得∠BAD，再由弦切角定理得∠ADP＝∠ABD，从而得出答案． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°， ∴∠BAD＝50°， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠40° ∵PD切⊙O于D， ∴∠ADP＝∠ABD＝40°， 故答案为：40°． 【变式4】如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【分析】根据弦切角的性质，得∠DAE＝∠B，再由已知条件可得∠DAE＝∠B＝∠BAE，从而求出∠ABD． 【解答】解：∵AC是⊙O切线， ∴∠DAE＝∠B， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠B＝∠BAE， ∵BD⊥AC， ∴∠DAE＝∠B＝∠BAE＝30°． 故选：A． 1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　） A．40° B．150° C．130° D．100° 【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出∠OBC+∠OCB＝50°，则由三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB， ∴， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝130， 故选：C． 2．已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案． 【解答】解：∵一个三角形的内心与外心重合， ∴该三角形是等边三角形， 根据题意，如图，△ABC是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝2， ∵∠ABC＝60°，OB平分∠ABC， ∴， 在Rt△OBD中， OB＝2OD＝4， ∴△ABC的外接圆半径为4， ∴它的外接圆的面积为π×42＝16π， 故选：D． 3．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　） A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化 【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案． 【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm， ∴设E、F分别是⊙O的切点， 故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE， ∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）． 故选：A． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　） A．44 B．42 C．46 D．47 【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD+BC＝AB+CD＝22， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44， 故选：A． 5．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 【分析】连接OA，OB，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB；据此即可求解． 【解答】解：连接OA，OB，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB， ∵∠P＝40°， ∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°， ∴； △PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10， 故选：D． 6．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 【分析】延长ID到M，使DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题． 【解答】解：延长ID到M，使DM＝ID，连接CM． ∵I是△ABC的内心， ∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB， ∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB， ∴∠DIC＝∠DCI， ∴DI＝DC＝DM， ∴∠ICM＝90°， ∴CM＝＝8， ∵AI＝2CD＝10， ∴AI＝IM， ∵AE＝EC， ∴IE是△ACM的中位线， ∴IE＝CM＝4， 故选：C． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的边角关系和性质求出BC，AD，BD，CD，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示S△ABD，S△ACD，由S△ABD＝S△ACD可求出答案． 【解答】解：如图，连接OA，OB，OD，IA，IC，ID，过点O，点I分别作BC的垂线，垂足分别为M，N， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12， ∴BC＝＝13， ∵AD为中线， ∴AD＝BD＝CD＝BC＝， ∵S△ABD＝S△ACD，即（AB+BD+AD）•OM＝（AC+AD+CD）•IN ∴×（5+13）r1＝×（12+13）r2， ∴＝． 故选：C． 8．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　） A．97° B．104° C．116° D．142° 【分析】先根据直径所对的圆周角为直角得出角BAD的度数，根据角平分线的定义得出角BAF的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角ABD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角AFB的度数． 【解答】解：∵BD是圆O的直径， ∴∠BAD＝90°， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝45°， ∵直线ED为圆O的切线， ∴∠ADE＝∠ABD＝19°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°． 故选：C． 9．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（　　） A．145° B．140° C．135° D．130° 【分析】连接AM，BN，根据弦切角定理得∠BAE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE）；结合MA⊥AB，NB⊥AB可得∠AMN+∠BNM＝180°，所以进一步推导得∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，则∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°，利用三角形内角和可得∠AEB的值． 【解答】解：连接AM，BN， ∵∠BAE＝∠AME，∠ABM＝∠BNE， ∴∠BAE+∠ABE＝（∠AME+∠BNE）， ∵MA⊥AB，NB⊥AB， ∴MA∥NB， ∴∠AMN+∠BNM＝180°． ∵∠MEN＝90°， ∴∠EMN+∠ENM＝90°， ∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝×90°＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°． 故选：C． 10．抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点C．若抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大时，求a的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．二人答案合在一起才正确 D．二人答案合在一起也不正确 【分析】由二次函数解析式得出A（1，0），B（3，0），C（2，﹣a），由△ABC内心与外心重合，得出△ABC是等边三角形，从而得出C到x轴的距离为，由抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大，即可得出答案． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧）， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴AB＝2， ∵y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x﹣2）2﹣a， ∴顶点C（2，﹣a）， ∵A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，内心与外心重合， ∴△ABC是等边三角形， ∴C到x轴的距离为， ∵抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大， ∴， 解得：或， 故选：C． 11．如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO＝10cm，∠APB＝40°，则△PED的周长＝　16cm　；∠DOE的度数 　70°　． 【分析】连接OA，OB，根据勾股定理可得PA＝8cm，再由切线长定理可得PA＝PB，DA＝DF，FE＝BE，可求出△PED的周长；再证明△AOD≌△FOD，可得∠AOD＝∠DOF，从而得到∠AOB＝2∠DOE，即可求解． 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵AO＝6cm，PO＝10cm， ∴， ∵PA，PB，DE为⊙O切线， ∴PA＝PB，DA＝DF，FE＝BE，∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴△PED的周长＝PE+EF+FD+PD＝PA+PB＝2PA＝16cm， 即△PED的周长为16cm； ∵AD＝FD，OD＝OD，OA＝OF， ∴△AOD≌△FOD（SSS）， ∴∠AOD＝∠DOF， 同理∠EOF＝∠EOB， ∴∠AOB＝2（∠FOD+∠EOF）＝2∠DOE， ∵∠APB＝40°，∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝140°， ∴， 故答案为：16cm；70°． 12．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　25π　． 【分析】设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，得到四边形OECF是正方形，求得CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，根据全等三角形的性质得到EM＝NF，得到OE＝5，进而求出⊙O的面积． 【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F， 连接OE，OF， 则四边形OECF是正方形， ∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠EOM＝∠FON， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴EM＝NF， ∴CM+CN＝CE+CF＝10， ∴OE＝5， ∴⊙O的面积为25π， 故答案为：25π． 13．如图，已知半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝　30　度． 【分析】在Rt△AOB中，已知了直径AB和OA的长，即可求得∠OAB、∠OBA的度数；而由弦切角定理知∠OAB＝∠BOC，进而可由三角形的外角性质求出∠ACO的度数． 【解答】解：∵AB＝2，OA＝， ∴cos∠BAO＝＝， ∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°； ∵OC是⊙M的切线， ∴∠BOC＝∠BAO＝30°， ∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°． 故答案为：30． 14．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 　62.5°　． 【分析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出∠OAC+∠OCA，即可求出∠AOC，然后根据圆周角定理得出答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OA，OC是△ABC的角平分线， ∴，． ∵∠B＝70°， ∴∠BAC+∠BCA＝110°， ∴， ∴∠AOC＝180°﹣55°＝125°， ∴． 故答案为：62.5°． 15．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　35°　． 【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出∠AOB＝125°，再由切线长定理得到BD＝BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF＝90°，则∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°． 【解答】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线， ∴， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝110°， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝125°， ∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， 又∵OD＝OE， ∴OB是DE的垂直平分线， ∴OB⊥DE，即∠OHF＝90°， ∴∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°， 故答案为：35°． 16．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q． （1）求证：OQ＝PQ； （2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长． 【分析】（1）欲证明OQ＝PQ，只要证明∠QOP＝∠QPO即可； （2）设OA＝r．在Rt△PCQ中，利用勾股定理构建方程求出r，再证明四边形OPDB是平行四边形，求出OP即可解决问题； 【解答】（1）证明：连接OP． ∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C， ∴PA＝PC，OA⊥PA， ∵OA＝OC，OP＝OP， ∴△OPA≌△OPC（SSS）， ∴∠AOP＝∠POC， ∵QP⊥PA， ∴QP∥BA， ∴∠QPO＝∠AOP， ∴∠QOP＝∠QPO， ∴OQ＝PQ． （2）设OA＝r． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵OB∥QD， ∴∠QDC＝∠B， ∵∠OCB＝∠QCD， ∴∠QCD＝∠QDC， ∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP， ∴OC＝DP＝r， ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°， 在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2， ∴（6+r）2＝62+（2r）2， r＝4或0（舍弃）， ∴OP＝＝4， ∵OB＝PD，OB∥PD， ∴四边形OBDP是平行四边形， ∴BD＝OP＝4． 17．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明： （1）OA所在的直线经过点I； （2）点D是IE的中点． 【分析】（1）连接OA、OB、OC、AI，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AO平分∠BAC，再由点I是△ABC的内心，证明AI平分∠BAC，所以AO与AI在同一条直线上，即可证明OA所在的直线经过点I； （2）连接OD，推导出∠OAD+∠AOD＝90°，则∠OAD+∠ABD＝90°，再证明∠ABD＝∠EAD，则∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°，再推导出∠DIA＝∠DAI，则ID＝AD，由∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°，证明∠E＝∠DAE，则ED＝AD，所以ID＝ED，即可证明点D是IE的中点． 【解答】证明：（1）连接OA、OB、OC、AI， ∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO平分∠BAC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∴AO与AI在同一条直线上， ∴OA所在的直线经过点I． （2）连接OD，则OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴2∠OAD+∠AOD＝180°， ∴∠OAD+∠AOD＝90°， ∵∠ABD＝∠AOD， ∴∠OAD+∠ABD＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD＝∠CAD，∠EAD＝∠CAD， ∴∠ABD＝∠EAD， ∴∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°， ∵∠DIA＝∠ABD+∠BAO＝∠CAD+∠CAO＝∠DAI， ∴ID＝AD， ∵∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°， ∴∠E＝∠DAE， ∴ED＝AD， ∴ID＝ED， ∴点D是IE的中点． 18．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠ABC+∠BCD＝180°，则有∠OBE+∠OCF＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长； （3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长． 【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°； （2）由（1）知，∠BOC＝90°． ∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm， ∴BE+CG＝BC＝10cm． （3）∵BC与⊙O相切于点F， ∴OF⊥BC， ∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8． ∴OF＝4.8cm． 19．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 【分析】（1）根据切线长定理和三角形的周长可解答； （2）①先根据三角形内角和定理可得∠PCD+∠PDC＝140°，由平角的定义得∠ACD+∠BDE＝220°，由切线长定理：圆外一点与圆心的连线平分切线所成的夹角可得∠ACO＝∠DCO＝∠ACD，∠BDO＝∠EDO＝∠BDE，从而可以解答； ②根据平角的定义和三角形的内角和定理可解答． 【解答】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD， ∵△PCD的周长为10， ∴PC+CD+PD＝10， ∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10， ∴PA＝5； （2）①∵∠P＝40°， ∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°， ∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°， ∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴∠ACO＝∠DCO＝∠ACD，∠BDO＝∠EDO＝∠BDE， ∴∠OCD+∠ODC＝×220°＝110°， ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°； ②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED ＝180°﹣﹣ ＝180°﹣90°+∠ACD﹣90°+∠BDE ＝×220° ＝110°． 20．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）求证：DE＝CD； （3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OD交BC于H，根据圆周角定理和切线的判定即可证明； （2）连接BD，由点E是△ABC的内心，得到∠ABE＝∠CBE，∠DBC＝∠BAD，推出∠BED＝∠DBE，根据等角对等边得到BD＝DE，即可得到结论； （3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图， ∵点E是△ABC的内心 ∴AD平分∠BAC， 即∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴OD⊥BC，BH＝CH， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， ∴DG是⊙O的切线； （2）证明：连接BD， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DBC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE， 即∠BED＝∠DBE， ∴BD＝DE， ∵， ∴BD＝CD， ∴DE＝CD； （3）解：连接OD，OB，如图， 由（1）得OD⊥BC，BH＝CH， ∵BC＝8， ∴BH＝CH＝4， ∵DE＝2，BD＝DE， ∴BD＝2， 在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2， ∴（2）2＝42+HD2，解得：HD＝2， 在Rt△BHO中， r2＝BH2+（r﹣2）2，解得：r＝5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线与圆的位置关系（2） 课程标准 学习目标 ①切线长及切线长定理 ②三角形的内切圆与内心 ③弦切角与弦切角定理 1. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用。 2. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其解决相关题目。 3. 掌握弦切角的定义以及弦切角定理，并能够在题目中熟练应用。 知识点01 切线长及切线长定理 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。 2. 切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作 条，它们的长度 。圆心和这一点的连线 两 条切线的夹角。 即PA PB，∠APO ∠BPO。 推广：由切线长定理的结论可得： ①△APO △BPO∠AOP ∠BOPAM (⌒) AM (⌒)AB OP。 【即学即练1】 1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练2】 2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 知识点02 三角形的内切圆与内心 1. 三角形内切圆的定义： 如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。 2. 三角形的内心： 三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角 角平分线 的交点，到三角形三边的距离 相等 。 特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为 或 。 4. 三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。 【即学即练1】 3．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【即学即练2】 4．如图，△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点O为△ABC内心，连接BO并延长交AC于点D，过点A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，则CF＝（　　） A． B．1 C． D． 【即学即练3】 5．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（　　）（结果保留π） A．π B．2π C．3π D．4π 知识点03 弦切角及弦切角定理 1. 弦切角的定义： 如图，像∠ACP这样顶点在 ，一边与圆 ，一边与圆 的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 2. 弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数 。等于弦所对的圆心角度数的 。 【即学即练1】 6．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 题型01 利用切线长定理求线段长度或图形周长 【典例1】如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（　　） A．12 B．6 C．8 D．4 【变式1】如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　． 【变式1】 【变式2】 【变式2】如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝　 　cm． 【典例2】如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 【变式1】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为　 　cm． 【变式2】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 题型02 利用内切圆性质求角度 【典例1】如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（　　） A．40° B．55° C．65° D．70° 【变式1】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝　 　． 【变式1】 【变式3】 【变式2】在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，I是△ABC的内心，则∠AIB＝　 　，∠BIC＝　 　，∠CIA＝　 　． 【变式3】已知O是△ABC的内心，∠BAC＝70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为（　　） A．50° B．55° C．62.5° D．65° 【变式4】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为（　　） A．120° B．125° C．135° D．140° 题型03 利用内切圆性质求线段 【典例1】已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　 　． 【变式3】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r． 【变式4】如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离． 题型04 利用弦切角定理求角度 【典例1】如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 　 　度． 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【变式3】如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD＝130°，则∠ADP＝ 　． 【变式4】如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为（　　） A．40° B．150° C．130° D．100° 2．已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 3．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　） A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化 4．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　） A．44 B．42 C．46 D．47 5．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 6．如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，点E为弦AC的中点，连接CD，EI，IC，当AI＝2CD，IC＝6，ID＝5时，IE的长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3.5 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝5，AC＝12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1、r2，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　） A．97° B．104° C．116° D．142° 9．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（　　） A．145° B．140° C．135° D．130° 10．抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）与x轴交于点A、B（A在B左侧），A、B两点与抛物线的顶点构成的三角形，当内心与外心重合时，此时抛物线顶点记为点C．若抛物线的顶点到x轴的距离比点C到x轴的距离大时，求a的取值范围．甲求得；乙求得．下列说法正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．二人答案合在一起才正确 D．二人答案合在一起也不正确 11．如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO＝10cm，∠APB＝40°，则△PED的周长＝　 　；∠DOE的度数 　 　． 第11题 第12题 第13题 12．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　 　． 13．如图，已知半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝　 　度． 14．如图，在△ABC中，∠B＝70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，OC．交⊙O于E，D两点．点F是上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 　 　． 第14题 第15题 15．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　 　． 16．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q． （1）求证：OQ＝PQ； （2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长． 17．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明： （1）OA所在的直线经过点I； （2）点D是IE的中点． 18．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 19．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 20．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D、过D作直线DG∥BC． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）求证：DE＝CD； （3）若DE＝2，BC＝8，求⊙O的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$