精品解析：湖北省水果湖高级中学2025-2026学年高三上学期摸底数学试卷

湖北省水果湖高中2026届高三学情卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合即可求出答案 【详解】由可得，所以， 则. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法，和复数的模长计算方法求解. 【详解】由，得，所以. 故选:A. 3. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为. 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 4. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的概念求得，从而求出，再利用向量数量积的运算律展开运算即可. 【详解】因为平面向量，是两个单位向量， 故在上的投影向量为, 所以, 所以, 故选：B. 5. 一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数、中位数的定义逐项判断. 【详解】令样本数据总个数为 对于A，，A不是； 对于B，，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是. 故选：C 6. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 7. 如图，正方形 的边长为 ，取 的各边中点 作第二个正方形 ，然后再取 的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去， 那么所有的正方形的面积之和趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为， 则第个正方形的对角线长为， 所以第全正方形的边长为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以若这个作图过程可以一直继续下，则所有这些下方形的面积之和将趋近于常数. 故选：B 8. 在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（ ） A. B. C. 平面PAD D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，设点M是对角线AC上一点，满足，则有，要使平面，则需使，根据各选项条件，判断是否可以推得即可. 【详解】设点M是对角线AC上一点，满足，则有平面，平面，进而平面，要使平面，则平面平面，需使. 对于A，在四边形ABCD中，由，，可得，故A 正确； 对于B，因为，又因为，但与不一定相等，所以不一定是平行四边形，从而得不到，故B错误； 对于C，因为平面PAD，平面ABCD，平面平面，所以，结合B项分析，可得C错误； 对于D，结合B项分析，同样得不到，故D项错误． 故选：A． 二、多选题 9. A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 的对称中心为 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的周期判断A；根据正切函数的性质求解判断BCD. 【详解】的最小正周期，则，故A正确； 由，得， 所以的定义域为，故B错误； 由，解得， 所以的对称中心为，故C正确； 当时，得，从而无意义， 因此区间不可能是的单调递增区间，故D错误， 故选：AC. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】作差比较可判断A；构造函数，利用导数求单调性可判断B；作商比较，结合基本不等式可判断C；构造函数，利用导数判断单调性可判断D. 【详解】对A：因为，则， 所以，所以，A错误； 对B：记，则， 所以在上单调递减， 又，所以，即，即，B正确； 对C：因为，所以，， ，因，故等号不成立， 则，所以，C正确； 对D：记，则， 记，则，故， 所以在上单调递减，， 则，所以在单调递减， 又，所以，即，即，D错误. 故选：BC. 11. 群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 【答案】ABD 【解析】 【分析】依据群的定义，对每个选项中的集合和相应运算进行逐一分析，判断是否满足群的四个条件，进而确定该集合关于给定运算是否构成群. 【详解】对于A选项： 因为，可以计算里面任意两个元素的乘积结果都属于集合. 因为数的乘法满足结合律，对于复数也不例外. 存在，对于，当时，. 当时，;当时，. 集合也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，所以A选项正确. 对于B选项： 对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律. 存在，对于，有. 对于任意的，存在，使得. 所以有理数集关于数的加法构成群，B选项正确. 对于C选项： 取，无意义，不满足对任意的， 有，所以不满足封闭性，C选项错误. 对于D选项： 任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律. 对于任意的，存在使得. 满足.所以D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 13. 已知函数，的定义域均为R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点s，t，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由的最小值为求出，又由为偶函数，为奇函数，推出是以4为周期的周期函数，即得的对称轴即可求解. 【详解】由函数的最小值为， 得，解得， 又，故，所以，对称轴为． 因为函数为偶函数，所以，可得； 因为函数为奇函数，所以，可得， 又，所以，即， 所以，故函数是以4为周期的周期函数， 由，得函数关于对称， 所以函数关于对称，故关于对称， 所以． 故答案为：10. 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【详解】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角所对的边分别是，已知. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1） 因为，所以， 即，所以， 又因为， 所以或（舍），从而. （2）. 【解析】 【分析】（1）先切化弦，再利用两角和差的余弦公式得出，最后结合余弦函数的性质即可； （2）先利用结合正余弦定理可得，再将代入化简即可得，再分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 利用正弦定理得，即，即， 又因为，所以，代入上式得. 若，则，所以； 若，则，所以， 又有意义，故，故不符合题意. 综上所述，. 16. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 【答案】（1） （2） 依题意过点的直线斜率存在，设， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 即的中点横坐标为， 又，所以 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据即可判断. 【小问1详解】 依题意可得，，又，所以， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 17. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 【答案】（1） （2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据题干条件直接计算即可； （2）写出零假设，列联表，计算卡方对比即可得出结论； （3）先得出，进一步列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； 【小问2详解】 零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． 【小问3详解】 现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则， 所以， 令，解得， 故使事件“”概率最大的的值为20． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； （3）若有两个零点，且，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围； （3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省水果湖高中2026届高三学情卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 4. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 1 5. 一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 7. 如图，正方形 的边长为 ，取 的各边中点 作第二个正方形 ，然后再取 的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去， 那么所有的正方形的面积之和趋近于（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（ ） A. B. C. 平面PAD D. ， 二、多选题 9. A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 的对称中心为 D. 在区间上单调递增 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“•”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元．则称G关于“•”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. （为虚数单位）关于数的乘法构成群 B. 有理数集关于数的加法构成群 C. 关于数的除法构成群 D. 正实数集关于数的乘法构成群 三、填空题 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 13. 已知函数，的定义域均为R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点s，t，则__________． 14. 已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则_____________． 四、解答题 15. 记的内角所对的边分别是，已知. （1）证明：； （2）若，求. 16. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 17. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； （3）若有两个零点，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $