22.1.3 二次函数y=ax²+k图象和性质 课件 2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3 二次函数 y=ax2+k的图象和性质 人教版九年上数学 江苏省南通市如皋市磨头镇磨头初级中学 二次函数y=ax²的图象及其性质？ 性质： 1、顶点坐标和对称轴？ 2、位置和开口方向？ 3、增减性和极值？ 一般地，二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线； 复习引入 探索新知 例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1， y=2x2 -1的图象. 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 描点、连线，画出这两个函数的图象. y=2x2 +1 y=2x2 -1 y=2x2 +1 y=2x2 -1 思考：抛物线y = 2x2+1，y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2+1 y=2x2 -1 向上 向上 y轴 y轴 （0,1） （0,-1） 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a>0)的性质是什么? 归纳小结 二次函数y=ax2 +k的图象和性质： y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k y=2x2 +1 y=2x2 -1 y=2x2 思考：抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？ ①开口方向和大小相同； ②对称轴相同； ③顶点纵坐标不同. 思考：抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？ y=2x2 +1 y=2x2 -1 y=2x2 y=2x2 y=2x2+1 向上平移 1个单位长度 y=2x2 y=2x2-1 向下平移 1个单位长度 y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时， 向上平移k个单位长度得到 当k<0时， 向下平移∣k∣个单位长度得到 思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？ 上下平移规律：上加下减常数项. 1.函数 的图象的顶点坐标是______，对称轴是____，开口向____ . 2.函数 的图象的顶点坐标是______，对称轴是____，开口向____ . 随堂练习 3.由抛物线y=2x2向____平移 个单位可得到y=2x²-3 4.函数 的图象 可由抛物线 向____平移___个单位得到的. 5.在坐标系中,作 的图象，则它们 ( ) A．都是抛物线开口向上 B．顶点都在原点 C．都是关于y轴对称 D．以上都不对 7.若抛物线 的顶点在x轴下方，则m的值为________. 6.将抛物线y=3x2+5向下平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______. 课堂小结 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点的位置； 3.对称轴是y轴. 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与y=ax2的关系 平移规律： k正向上； k负向下. $$