专题21：直角三角形的性质（讲义） 2025--2026学年沪教版八年级数学上册

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题21 直角三角形的性质 知识点一、直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 知识点二、直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 题型01：直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图1-1-2,在△ABC中,∠A+∠B=90°,那么△ABC是直角三角形吗? 【例2】如图，在中，，于点D，，则的度数是 ． 【例3】如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【跟踪训练】 1．在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 2.一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 3.直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　） A．65° B．50° C．55° D．60° 4．如图，在△ABC中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 题型02：锐角互余的三角形是直角三角形 【例4】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【例5】如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【跟踪训练】 1．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 2．已知△ABC的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型03：利用“斜边的中线等于斜边的一半”进行有关计算 【例6】如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 【例7】如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿及在竹竿滑动过程中的情况是（　　） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【跟踪训练】 1．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，D在上，且，，则 ． 3．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 题型04：利用“斜边的中线等于斜边的一半”进行有关证明 【例8】如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    【例9】如图，已知的两条高为BE、CF，M、N分别为BC、EF的中点． 判断：MN与EF的位置关系并证明． 【例10】如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 【跟踪训练】 1.如图所示，已知CD是△ABC的AB 边上的中线，且CD=AB，求证：△ABC是直角三角形. 2.如图，已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点．求证：MN⊥BD．A B C D M N 3.已知：如图在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE， DG⊥CE，垂足为点G．A B C D E G 求证：∠AEC=3∠DCE． 4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 题型05：含30度角的直角三角形的有关计算 【例11】等腰三角形的顶角为，腰长为6，则它底边上的高等于（　　） A．3 B．8 C．9 D．7 【例12】已知直角三角形斜边上的高线为2，斜边上的中线长3，则直角三角形的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【例13】如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【例14】如图，在△ABC中，，，于点，交于点，如果，求的长． 【例15】如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【跟踪训练】 1.在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 2.如图，在中，，若，，则的长为 ． 3.如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 4.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型06：含30度角的直角三角形的有关证明 【例16】已知：如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：．A B C D N M 【例17】如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结 DF,求证:AC=DF。 【跟踪训练】 1.已知如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB上一点， 且BD =AB．求证：CD⊥AB． A B C D E 2.如图，在中，，是的中点，交于点．求证：． 题型07：直角三角形的性质综合 【例18】已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ． 【例19】如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 【跟踪训练】 1.如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ． 2. 如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（   ） A．1 B．1或 C．1或2 D．2或 一、选择题 （2024-25存志中学八年级期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是( ) A．40° B．50° C．60° D．140° （2024-25进华中学八年级期末）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ） A．17° B．34° C．56° D．124° （2024-25上汇中学八年级期末）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ） A．140° B．160° C．170° D．150° （2024-25上海实验中学八年级期末）如图，如果CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠A=50°，那么∠CDB等于（   ） 版权所有 A．100°     B.110°     C.120°     D.130° 5．（2024-25闵行区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　） ①∠DCB=∠A； ②∠DCB=∠ACE； ③∠ACD=∠BCE； ④∠BCE=∠BEC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024上·上海·期中）如图，在四边形中，，点分别是对角线的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7.（2024-25建平中学八年级期末）在直角三角形中，一个锐角为57°，则另一个锐角为　 　． 8.（2024-25延安中学八年级期末）在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是________，________． www-2-1-cnjy-com 9.（2024-25上海课时练习）如果一个三角形的一边中线等于这边的一半，这个三角形为________三角形． 10.（2024-25上海课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，AC=10,则BD=________。 11.（2024-25上海课时练习）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=　　　　　　度．【来源：21cnj*y.co*m】 12.（2024-25华育中学月考）在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是 ________ ​ 【出处：】 13.．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）在中，若，于，，，则 ． 14．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）如图，在中，，于H，如果,那么 度． 15．（2024-25上宝中学月考）若中，，且最长边为，则最短边长为______. 16．（2024-25华育中学期末）等腰三角形的底角为15°，腰长为24cm，则这个三角形的面积为____________． 17．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是 ° 18．（2022上·上海虹口·八年级校考期中）在中，，，，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交于点M，交于点N，那么 ． 19．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 20．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 21．（23-24八年级上·上海青浦·期末）中，，，作线段的垂直平分线交于D，交于E，，则 ．    22．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知，在中，，，垂足为H，，且，那么 ． 23．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 24．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高 （结果用含字母的代数式表示）． 3、 解答题 25．（2024上·宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 26．（2024上·徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 27．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图是等边三角形，M，N分别在，上，且，，交于点E，于D． 求证： (1)； (2)． 28.已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题21 直角三角形的性质 知识点一、直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角互余。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 知识点二、直角三角形的判定 （1）有两个角互余的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 题型01：直角三角形的两个锐角互余 【例1】如图1-1-2,在△ABC中,∠A+∠B=90°,那么△ABC是直角三角形吗? 【详解】在 Rt△ABC中,因为∠A+∠B+∠C=180°,又∠A+∠B=90°,所以∠C=90°,于是△ABC是直角三角形 【例2】如图，在中，，于点D，，则的度数是 ． 【答案】60 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：60． 【例3】如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图中有3个直角三角形，分别是，， (2)，理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）由题中已知条件，是高，可以得到、、都是直角． （2）由（1）得到，，是直角三角形，且、、是直角，所以，由此可以得到． 【详解】（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，； （2） ∆，，是直角三角形，且、、是直角， ，， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形高的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键． 【跟踪训练】 1．在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是关键． 根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是． 故选：D． 2.一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 【答案】/36度 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质及一元一次方程的应用，解题时注意：在直角三角形中，两个锐角互余．根据比例设两锐角分别为，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设两锐角分别为，由题意得 解得， 所以这个直角三角形的最小锐角度数为． 故答案为：． 3.直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　） A．65° B．50° C．55° D．60° 【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数． 解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°， ∴∠3=90°﹣35°=55°， 又∵a∥b， ∴∠2=∠3=55°， 故选：C． 4．如图，在△ABC中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角的个数，直角三角形两锐角互余，注意同一角由多种表示法，不能遗漏也不能重复，先确定直角，在找互余两角是解题关键．根据直角三角形两个锐角互余，找出直接与相加的角，或与的等角相加等于的角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角有三个，分别为，，，不与互余． 故选择． 题型02：锐角互余的三角形是直角三角形 【例4】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的△ABC不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的△ABC是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的△ABC是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的△ABC是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，△ABC不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，△ABC是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， △ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，△ABC是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【例5】如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴∠B=90°， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 2．已知△ABC的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； 题型03：利用“斜边的中线等于斜边的一半”进行有关计算 【例6】如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 故答案为： ． 【例7】如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿及在竹竿滑动过程中的情况是（　　） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【跟踪训练】 1．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，根据直角三角形斜边上中线的性质可直接求解． 【详解】解：由题意得，点是的中点，， ， 即，两点间的距离为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，D在上，且，，则 ． 【答案】/105度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点E，连接，根据垂直定义可得：，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得：，然后利用三角形的外角性质可得，再根据等量代换可得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 【答案】不变 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据题意知，是直角△AOB斜边上的中线，则，长度不变． 【详解】解：如图，连接， 根据题意知，点P是直角△AOB斜边的中点， 则是直角△AOB斜边上的中线，则， 由于的长度不变，则的长度不变． 故答案为：不变． 题型04：利用“斜边的中线等于斜边的一半”进行有关证明 【例8】如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    【答案】；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、中线的定义以及直角三角形的判定等知识点，利用中线的定义，可得出，结合，可得出，根据等边对等角可得出，，利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出，再利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”，即可得证．根据各角之间的关系，找出是解题的关键． 【详解】证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（中线的定义）． ∵， ∴． ∴（等边对等角）， 同理，， ∵（三角形内角和等于）， ∴， ∴是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）． 故答案为：；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形． 【例9】如图，已知的两条高为BE、CF，M、N分别为BC、EF的中点． 判断：MN与EF的位置关系并证明． 【答案】MN⊥EF，理由见解析 【分析】（1）连接EM、FM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】解：MN⊥EF． 理由：连接ME，MF． ∵CF是AB边的高， ∴CF⊥AB， ∴∠BFC=90°． ∵点M是BC的中点， ． 同理， ． ∴ME=MF． 又∵点N为EF的中点， ∴MN⊥EF． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键． 【例10】如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，准确识图，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据得，再根据得，则，进而得，由此可以得出结论； （2）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴    ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 即M是的中点 ， （2）证明：∵，M是的中点， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1.如图所示，已知CD是△ABC的AB 边上的中线，且CD=AB，求证：△ABC是直角三角形. 证明：∵CD=AB=AD=BD， ∴ ∠1=∠A, ∠2=∠B. ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°, ∠ACB=∠1+∠2, ∴ ∠A+∠B+∠1+∠2=180°. ∴ 2(∠A+∠B)=180°. ∴ ∠A +∠B=90° ∴ △ABC是直角三角形. 2.如图，已知，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点．求证：MN⊥BD．A B C D M N 【答案】见解析． 【解析】联结、． ，M分别是AC中点 （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半） ， 是中点， （等腰三角形三线合一）． 【点睛】考查直角三角形斜边中线性质及等腰三角形三线合一性质的综合运用． 3.已知：如图在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE， DG⊥CE，垂足为点G．A B C D E G 求证：∠AEC=3∠DCE． 【答案】见解析 【解析】联结ED ∵AD是BC边上的高，CE是AB上的中线， ∴ ∵DC=BE，∴，∴ ∴ ∵，∴，∴ ∴ 4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果； （2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接． ，点M、点N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ． （2）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ∴cm， 答：的长是． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接是解题的关键． 题型05：含30度角的直角三角形的有关计算 【例11】等腰三角形的顶角为，腰长为6，则它底边上的高等于（　　） A．3 B．8 C．9 D．7 【答案】A 【分析】过点A作，垂足为D，利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答． 【解析】解：如图：过点A作，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴底边上的高为3， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【例12】已知直角三角形斜边上的高线为2，斜边上的中线长3，则直角三角形的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再利用三角形面积公式即可求解． 【解析】∵直角三角形斜边的中线为3， ∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半， ∴该直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形斜边上的高线为2， ∴直角三角形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的知识，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键． 【例13】如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可． 【解析】∵，平分， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【例14】如图，在△ABC中，，，于点，交于点，如果，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：中，，， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又， ． 【例15】如图，在中，，的垂直平分线交于D，垂足为E，若，． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)6 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．熟练掌握中垂线的性质、含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，得，即可求得的度数，由三角形外角的性质即可求得答案； （2）求出，继而求得，得到，即可求得答案． 【详解】（1）∵的垂直平分线交于D，垂足为E， ∴， ∴， ∴； （2）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1.在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 2.如图，在中，，若，，则的长为 ． 【答案】10 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据三角形的内角和定理求出，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 3.如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据含角的直角三角形的性质求得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再根据等边对等角得到，最后根据即可得解． 【详解】解：， 为直角三角形， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 是等腰三角形，即， ， 4.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，角三角形内角和定理，含角的直角三角形，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得出，即可得到，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据含角直角三角形得到，由角平分线的性质得到答案． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，平分， ∴． 题型06：含30度角的直角三角形的有关证明 【例16】已知：如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：．A B C D N M 【答案】见解析． 【解析】连接BD ∵BA=BC，∠B=120°， ∴ ∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴， ∴ ∵∠B=120°，∴ ∵，，∴ ∵，∴ 【例17】如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结 DF,求证:AC=DF。 【答案】见解析. 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出结论． 【详解】 证明：如图，连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE,∠EDB=90°， ∴∠EAB=∠EBA=15°， ∴∠AEC=30°， Rt△EDB中,∵F是BE的中点， ∴DF=BE， Rt△ACE中,∵∠AEC=30°， ∴AC=AE， ∴AC=DF. 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键. 【跟踪训练】 1.已知如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB上一点， 且BD =AB．求证：CD⊥AB． A B C D E 【答案】见解析 【解析】取AB的中点E，连接CE ∵，BD =AB， ∴，∴ ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴ ∵∠ACB=90°，，∴，∴ ∵，，∴CD⊥AB． 2.如图，在中，，是的中点，交于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边对等角，得，根据三角形内角和性质得，再结合交于点．是的中点，得是的垂直平分线，则，，运用度角所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵交于点．是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， ∵， ∴． 题型07：直角三角形的性质综合 【例18】已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解． 作出图形，分①点是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点是底角顶点，在外部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是，③点是底角顶点，在内部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可． 【详解】解：①如图1，点是顶点时．   ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在中，， ∴； ②如图2，点是底角顶点，且在外部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3，点是底角顶点，且在内部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，底角的度数为或或． 【例19】如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 【答案】2或4或8 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； 【详解】解：由题意，， ①如图1中，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴． ③如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8． 故答案为：2或4或8． 【跟踪训练】 1.如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点C与E重合，交于点H，若，，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】由翻折得到 ，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案． 【详解】解：由翻折得 ，， 在长方形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 2. 如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（   ） A．1 B．1或 C．1或2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 分两种情况讨论为直角三角形的情况，再结合路程公式求解即可． 【详解】解：点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，，， ，， 当时， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， 点M从B到A所需时间为，点N从C到B所需时间为， ； 和均满足， 的值为1或， 故选B． 一、选择题 （2024-25存志中学八年级期末）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是( ) A．40° B．50° C．60° D．140° 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数． 解：∵AB∥CD，∠1=40°， ∴∠3=∠1=40°， ∵DB⊥BC， ∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°． 故选B． （2024-25进华中学八年级期末）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ） A．17° B．34° C．56° D．124° 【分析】由平行线的性质得出∠DCE=∠A，再由直角三角形的性质求解 解：∵AB∥CD， ∴∠DCE=∠A=34°， ∵∠DEC=90°， ∴∠D=90°﹣∠DCE=90°﹣34°=56°． 故选C． （2024-25上汇中学八年级期末）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ） A．140° B．160° C．170° D．150° 【分析】利用直角三角形的性质求解 解：∵∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°． 故选B （2024-25上海实验中学八年级期末）如图，如果CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠A=50°，那么∠CDB等于（   ） 版权所有 A．100°     B.110°     C.120°     D.130° 【分析】首先依据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到DC=DA，接下来，再依据等边对等角的性质得到∠DCA=∠A=50°，最后，依据三角形的外角的性质进行计算即可.【来源：21·世纪·教育·网】 解：∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°， ∴DC=DA， ∴∠DCA=∠A=50°， ∴∠CDB=∠DCA+∠A=100°， 故答案为：A． 5．（2024-25闵行区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　） ①∠DCB=∠A； ②∠DCB=∠ACE； ③∠ACD=∠BCE； ④∠BCE=∠BEC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误． 【详解】 ∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， ∴∠DCB+B=90°， ∵∠A+∠B=90， ∴∠DCB=∠A， ∴①正确； ∵CE是RtABC斜边AB上的中线， ∴EA=EC=EB， ∴∠ACE=∠A， ∴∠DCB=∠A， ∴∠DCB=∠ACE， ∴②正确； ∵EC=EB， ∴∠B=∠BCE， ∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90， ∴∠B= ∠ACD， ∴∠ACD= ∠BCE， ∴③正确； ∵BC与BE不一定相等， ∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等， ∴④不正确； ∴正确的个数为3个， 故答案为C. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 6．（2024上·上海·期中）如图，在四边形中，，点分别是对角线的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接，根据中点的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，根据“边边边”可证，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，点分别是对角线的中点， ∴在中，是斜边的中线，则， 在中，是斜边的中线，则， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴， ∴，故选项正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题 7.（2024-25建平中学八年级期末）在直角三角形中，一个锐角为57°，则另一个锐角为　 　． 【分析】利用直角三角形的两锐角互余可求得答案． 解：∵直角三角形的两锐角互余， ∴另一锐角=90°﹣57°=33°， 故答案为：33°． 8.（2024-25延安中学八年级期末）在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是________，________． www-2-1-cnjy-com 【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，再根据等边对等角求出∠ACD=∠A，然后求出∠BCD即可．21*cnjy*com 解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴CD=AD=BD， ∴∠ACD=∠A=30°， ∴∠BCD=90°﹣30°=60°． 故答案为：30°，60°． 9.（2024-25上海课时练习）如果一个三角形的一边中线等于这边的一半，这个三角形为________三角形． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线定理即可得到答案． 解：答案为：直角． 10.（2024-25上海课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，AC=10,则BD=________。 【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°， ∵D为AC的中点，AC=10 ∴BD=5；故答案为5. 11.（2024-25上海课时练习）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=　　　　　　度．【来源：21cnj*y.co*m】 【分析】如图，连接两交点，根据两直线平行，同旁内角互补和直角三角形两锐角互余的性质 解：如图，连接两交点， 根据矩形两边平行，得 ∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 又矩形的角等于90°， ∴∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°． 故答案为：90． 12.（2024-25华育中学月考）在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是 ________ ​ 【出处：】 【分析】根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR．【版权所有：21教育】 解：连接AP， 在Rt△ASP和Rt△ARP中， PR=PS，PA=PA， 所以Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以①AS=AR正确； 因为AQ=PQ， 所以∠QAP=∠QPA， 又因为Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以∠PAR=∠PAQ， 于是∠RAP=∠QPA， 所以②PQ∥AR正确； ③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为：①②． 13.．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）在中，若，于，，，则 ． 【答案】8 【分析】先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图所示， 在中， ，，， ，， 又在中，， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半． 14．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）如图，在中，，于H，如果,那么 度． 【答案】60 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为60． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键． 15．（2024-25上宝中学月考）若中，，且最长边为，则最短边长为______. 【答案】5 【分析】 根据比例可设分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和为180°，求得各角的度数，再根据直角三角形中30°所对直角边为斜边的一半即可得解. 【详解】 ∵， ∴设分别为k、2k、3k， ∵k+2k+3k=180°， ∴k=30°， ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∵最长边为， ∴最短边长=. 故答案为：5. 【点睛】 本题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半. 16．（2024-25华育中学期末）等腰三角形的底角为15°，腰长为24cm，则这个三角形的面积为____________． 【答案】144 cm2 【分析】 过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，求出CD的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】 设△ABC的顶角为∠BAC，如图， 过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D， ∵AB=AC，∠B=15°， ∴∠B=∠BCA=15°， ∴∠DAC=∠B+∠BCA=30°， 在Rt△ACD中，CD=AC=12(cm)， ∴S△ABC=AB•CD=×24×12=144(cm2)， 故答案为：144 cm2． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解得此题的关键是作出辅助线构造含30度角的直角三角形． 17．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是 ° 【答案】35 【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即， ∴， 解得， 另一个锐角， ∴这个直角三角形的较小内角的度数为． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 18．（2022上·上海虹口·八年级校考期中）在中，，，，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交于点M，交于点N，那么 ． 【答案】8 【分析】根据折叠的性质得到，，再利用三角形的外角定理得，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出，即可得到． 【详解】解：如图， ∵三角形折叠，得点B与点A重合，折痕交于点M，交于点N， ∴，， ∴， 而，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的性质，30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 19．（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，然后利用角的和差关系可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握含度角的直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 20．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 21．（23-24八年级上·上海青浦·期末）中，，，作线段的垂直平分线交于D，交于E，，则 ．    【答案】1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，连接，由线段垂直平分线的性质可求出，进而得，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接，    ∵作线段的垂直平分线交于D， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：1． 22．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知，在中，，，垂足为H，，且，那么 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出，进而求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 23．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 【答案】 【详解】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，求出已知方程的解，确定出等腰直角三角形斜边上的高，利用三线合一得到此高为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出斜边的长，熟练掌握性质是解题的关键． 【解答】解：方程， ， 解得：或（舍去）， ∴等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，为了测量塔的高度，现选取两个测量点A和B（点A、B、C在一条直线上），测得，．如果，那么塔高 （结果用含字母的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握直角三角形中所对的直角边为斜边的一半成为解题的关键． 先根据三角形的外角的性质可得，进而得到，由等腰三角形的判定可得，最后根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为． 3、 解答题 25．（2024上·宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 【分析】利用证明，即可解决问题． 【详解】证明： ， ． ∵点E、F分别是、的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键． 26．（2024上·徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出即可证明． 【详解】（1）如图：连接、， 、分别是、边上的高， ,， 在与中， M是线段的中点， ,， ， 是等腰三角形， 又因为N是线段的中点， ； （2）在中，， ， 由（1）可知： ， ，， ， ， ， 由（1）可知是等腰三角形， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，等边三角形的证明；掌握基本性质是解题的关键． 27．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图是等边三角形，M，N分别在，上，且，，交于点E，于D． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）先由等边三角形的性质得到，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，再求出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28.已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长． 【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE； （2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD=AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD=∠BDC=30°，进而可得出结论．21·cn·jy·com （1）证明：∵点E是CD的中点， ∴DE=CE． ∵AB∥CF， ∴∠BAF=∠AFC． 在△ADE与△FCE中， ∵， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）解：由（1）得，CD=2DE， ∵DE=2， ∴CD=4． ∵点D为AB的中点，∠ACB=90°， ∴AB=2CD=8，AD=CD=AB． ∵AB∥CF， ∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°， ∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°， ∴BC=AB=×8=4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$