19.8 第1课时 直角三角形的性质（锐角互余与斜边中线）(3大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

19.8 第1课时 直角三角形的性质（锐角互余与斜边中线） 知识点 直角三角形性质定理 （1） 直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 因为“三角形三个内角的和等于 180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90° （2） 直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 题型一、直角三角形的两个锐角互余 解题技巧提炼 直角三角形的两个锐角互余 1．把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．取一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕，若，则等于（    ）    A．100° B．108° C．118° D．120° 3．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．在直角三角形中，两个锐角的度数比为，则较大的锐角度数为 ． 5．直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则其中较大的锐角的度数为 ． 6．下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 7．如图，在中，，分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 ． 8．若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（　　） A．37 B．53 C．26° D．63° 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 解题技巧提炼 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 9．直角三角形斜边上的高与中线分别是和，则它的面积是 ． 10．如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　） ①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，中，，点为的中点，点在上，且，相交于点，若，则等于 ． 13．已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 14．如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    题型三、等腰三角形的性质与直角三角形的性质综合运用 解题技巧提炼 等腰三角形的性质与直角三角形的性质综合运用两种思路： （1） 一般直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作为条件，结合等边对等角得到角度关系进行证明求解． （2） 等腰三角形“等角对等边”作为条件，得到边的关系，在运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明求解. 15．在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 16．如图，中，，，是上一点（不与重合），于，求证：． 17．在四边形中，，E是的中点． (1)如图①，点F为中点． ①求证：； ②若，则的面积为______； (2)如图②，若，延长交于点F，且，求的度数为______． 18．如图1，在中，于点，于点． (1)若，求证：； (2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 19．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是线段CA延长线上一点，连接BE，过点C作CD⊥BE交于点D，过点A作AF⊥CD交于点F； (1)求证：BD＝CF； (2)若点M是AB的中点，连接MF，MD，求证：FM⊥MD． 20．已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰    (1)若点A的横坐标是 求线段的长； (2)连，若P为上一点，过点P作 垂足为Q，且 求证： (3)在（2）下，连， 若 ，求点P到x轴的距离的长． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.8 第1课时 直角三角形的性质（锐角互余与斜边中线） 知识点 直角三角形性质定理 （1） 直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 因为“三角形三个内角的和等于 180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90° （2） 直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 题型一、直角三角形的两个锐角互余 解题技巧提炼 直角三角形的两个锐角互余 1．把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，直角三角形两个锐角互余．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故选：B． 2．取一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕，若，则等于（    ）    A．100° B．108° C．118° D．120° 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折变换的性质可得，然后利用平角等于180º列式计算即可得解． 【详解】∵，纸片是长方形， ∴， 由翻折的性质得，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 3．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形角的性质．根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 4．在直角三角形中，两个锐角的度数比为，则较大的锐角度数为 ． 【答案】/75度 【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案． 【详解】设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为， 则， 解得：， 则较大的一个锐角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 5．直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则其中较大的锐角的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：中，，依题意设， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 6．下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质． 根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两 边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形 是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x， ；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D． 【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意； B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意； C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意； D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意； 故选：B． 7．如图，在中，，分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 ． 【答案】/55度 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，求出，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出．本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，分别是的高和中线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（　　） A．37 B．53 C．26° D．63° 【答案】B 【分析】设两个锐角分别为x、y，然后根据直角三角形两锐角互余列出一个方程，再根据题意列出方程另一个方程，解方程组即可． 【详解】解：设两个锐角分别为x、y， 根据题意得，， ①+②得，2x=106°， 解得x=53°， ①-②得，2y=74°， 解得y=37°， 所以方程组的解为， 故较大的一个锐角的度数是53°． 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余的性质，根据题意列出方程组是解题的关键． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 解题技巧提炼 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 9．直角三角形斜边上的高与中线分别是和，则它的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了直角三角形的性质和面积求法，解题关键是根据斜边中线求出斜边长； 根据斜边中线等于斜边一半求出斜边长，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线是， ∴直角三角形斜边长是， 三角形的面积为， 故答案为：30． 10．如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　） ①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误． 【详解】∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， ∴∠DCB+B=90°， ∵∠A+∠B=90， ∴∠DCB=∠A， ∴①正确； ∵CE是RtABC斜边AB上的中线， ∴EA=EC=EB， ∴∠ACE=∠A， ∴∠DCB=∠A， ∴∠DCB=∠ACE， ∴②正确； ∵EC=EB， ∴∠B=∠BCE， ∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90， ∴∠B= ∠ACD， ∴∠ACD= ∠BCE， ∴③正确； ∵BC与BE不一定相等， ∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等， ∴④不正确； ∴正确的个数为3个， 故答案为C. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 12．如图，中，，点为的中点，点在上，且，相交于点，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解． 【详解】解：中，，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据、分别是、边上的高，可得和都是直角三角形，又因为点是边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的三线合一可证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：和都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可得：，根据平角的定义可得，等量代换可证结果． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接、， 、分别是、边上的高， ， 在和中，点是斜边的中点， ，， ， 是等腰三角形， 点为底边的中点， ． （2）解：． 理由如下： 在中，， 由（1）可知， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质和等腰三角形的性质．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线三线合一． 14．如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明． 【详解】证明：， ，， ， 在和中 又点、分别是、的中点 ， ． 题型三、等腰三角形的性质与直角三角形的性质综合运用 解题技巧提炼 等腰三角形的性质与直角三角形的性质综合运用两种思路： （1） 一般直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作为条件，结合等边对等角得到角度关系进行证明求解． （2） 等腰三角形“等角对等边”作为条件，得到边的关系，在运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明求解. 15．在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论； （2）根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论； （3）根据，于是得到，推出是等腰三角形，结合垂直，得结论． 【详解】（1）证明：在中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形， 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键． 16．如图，中，，，是上一点（不与重合），于，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确做出辅助线构造等边三角形是解题关键．取中点，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可证明，再证明，易得为等边三角形，即可证明结论． 【详解】证明：取中点，连接，如图， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 17．在四边形中，，E是的中点． (1)如图①，点F为中点． ①求证：； ②若，则的面积为______； (2)如图②，若，延长交于点F，且，求的度数为______． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用等腰三角形的性质即可得到； ②利用四边形内角和定理求得，利用等边对等角结合三角形的外角性质求得，利用三角形的面积公式求解即可； （2）先证明，可得，，可证得  ，设的度数为，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，然后根据，可得，从而得到，进一步计算即可求解． 【详解】（1）①证明：∵，E是的中点， ∴， ∵点F为中点， ∴； ②∵四边形中，， ∴， ∵，E是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （2）解：在和中，， ∵， ， ，， 又， ， 设的度数为， ∵在中，，E是AC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 18．如图1，在中，于点，于点． (1)若，求证：； (2)如图2，点为边上的中点，连接、、，试判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接根据证明两三角形全等即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线即可得证； （3）根据三角形的外角性质得出，在△中，根据三角形的内角和求出，即可证明△是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在与中， ， ； （2）解：是等腰三角形；理由如下： 点为边上的中点， 在与中，，， ， 是等腰三角形； （3）如图2，设与交于点，连接， ，，， ， ，， ，即， ， ，，， 在△中，， ，即， ， 是等边三角形， ， 的周长是． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是线段CA延长线上一点，连接BE，过点C作CD⊥BE交于点D，过点A作AF⊥CD交于点F； (1)求证：BD＝CF； (2)若点M是AB的中点，连接MF，MD，求证：FM⊥MD． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，再根据ASA证明，最后由全等三角形的对应边相等解题； （2）连接CM，由直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明，继而证明，最后利用全等三角形的对应角相等解题． 【详解】（1）证明： 又 （2）连接CM M是AB的中点， CM=AM=BM= 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 20．已知平面直角坐标系，点，点C为x轴负半轴上一动点，连，以为斜边作等腰    (1)若点A的横坐标是 求线段的长； (2)连，若P为上一点，过点P作 垂足为Q，且 求证： (3)在（2）下，连， 若 ，求点P到x轴的距离的长． 【答案】(1)16 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明，得，则可得的长； （2）①过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，由（1）知，四边形是正方形，得，由此即可计算的度数； ②延长交轴于点，易得，从而证明，即可证明结论成立； （3）过点作轴垂线与延长线交于点，过点作轴平行线交于，由平行线的性质得，由（2）知，得；首先证明，得；由，，，可得；则，得是等腰直角三角形，从而可由求解． 【详解】（1）解：如图1，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，      则，； ； 为等腰三角形，， ， ， ， ， ，； ，， ，； ，点的横坐标是， ，， ， ， ； （2）证明：如图2，延长交轴于点，   ， ， ； ， ； 由（1）知，， ， ， ； ， ∵， ， ； （3）解：过点作轴垂线与延长线交于点，过点作轴平行线交于，如图3所示，则，   ； ，， ； 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，且， ， ， 由由（2）知， ∴ ∴， 即是等腰直角三角形， ∵点P到x轴的距离 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用这些知识，构造辅助线得到全等三角形是解题的关键与难点． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$