22.2 相似三角形的性质 同步练习---2025-2026学年沪科版九年级上册数学

22.2相似三角形的性质 一、常考类型 考点1 相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. （2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长比等于相似比 （4）相似三角形的面积比等于相似比的平方 【例1】如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝3，A′D′＝4，则的值为（　　） A．9：16 B．16：9 C．4：3 D．3：4 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高， ∴AB：A′B′＝AD：A′D′＝3：4， ∴， 故选：D． 【例2】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则下列结论错误的是（　　） A．△ABC和△DEF的周长比是1：4 B．边AB和边DE上的高之比是1：2 C．△ABC和△DEF的面积比是1：4 D．边BC和边EF上的中线之比是1：2 【解答】解：A、△ABC和△DEF的周长比是1：2，说法错误，故选项符合题意； B、边AB和边DE上的高之比是1：2，说法正确，故选项不符合题意； C、△ABC和△DEF的面积比是1：4，说法正确，故选项不符合题意； D、边BC和边EF上的中线之比是1：2，说法正确，故选项不符合题意． 故选：A． 【例3】如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在坐标轴上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 　 　 ． 【解答】解：根据题意可以分①△BCP∽△BAO，②△ACP∽△ABO，③△ACP∽△AOB三种情况进行讨论如下： ①△BCP∽△BAO 此时：， 因为BO＝6， 进而得出BP＝3， ∴P（0，3）， ②△ACP∽△ABO 此时：， 因为OA＝8， 进而得出AP＝4， ∴P（4，0）， ③△ACP∽△AOB ∵， ∴， 此时：， 进而得出， ∴， ∴ 此时P也可能是AB的垂直平分线与y轴的交点， 即为过C（4，3）和（，0）的直线与y轴的交点， 设直线的解析式为y＝kx+b， 将（4，3）和（，0）代入可得： ， 解得， 故P（0，）． 故答案为：（0，3）或（4，0）或或（0，）． 考点2 相似三角形的判定与性质 【例4】如图，DE∥FG∥BC，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵DE∥FG， ∴， 故A不符合题意； ∵DE∥FG∥BC， ∴， 故B不符合题意； 假设AD＝DF＝FBAB，ADAF，则AFAB， ∵DE∥FG， ∴△ADE∽△AFG， ∴； ∵FG∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴， ∴， ∴这一结论不一定成立， 故C符合题意； ∵FG∥BC， ∴， ∴， 故D不符合题意， 故选：C． 【例5】如图，△ABC与△DEF的顶点均在正方形网格的格点上，则∠DEF的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 【解答】解：由题意得：∠ABC＝90°+45°＝135°，AC，AB＝2，BC， DF＝5，DE，EF， ∴，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF＝135°， 故选：D． 【例6】如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段AB于点P，若使点P能够把线段AB分成1：2两部分，则这个点可以是（　　） A．D B．E C．F D．G 【解答】解：设方格纸的边长为1，，， ∴AF＝2BC， 如图，连接BC，AF，连接CF交AB与P， ∵BC∥AF，AF＝2BC， ∴△BCP∽△AFP， ∴， 可得到AP：PB＝1：2，满足条件； 同理，将点C与D连接，BC与AD不平行，也不能得到AP：PB＝1：2，不满足条件； 同理，将点C与E连接，BC与AE不平行，也不能得到AP：PB＝1：2，不满足条件； 同理，将点C与G连接，BC∥AG，得到AP：PB＝1：1，不满足条件， 故选：C． 【例7】在两条直角边长分别是20和15的直角三角形的内部作矩形ABCD，如果AB、AD分别在两条直角边上（如图所示），AD：AB＝1：2，那么矩形ABCD的面积是 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD：AB＝1：2， ∴AB＝DC＝2AD，DC∥AF， ∴△EDC∽△EAB， ∴， ∵AF＝20，AE＝15， ∴ED＝15﹣AD， ∴， 解得AD＝6， ∴AB＝12， ∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝72， 故答案为：72． 考点3 相似三角形的应用 （1）测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. （2）测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 【例8】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2，若火焰的像高为3cm，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．12cm 【解答】解：∵火焰的像高y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数， 设反比例函数解析式为，将x＝6，y＝2代入得： ， 解得：k＝12， ∴反比例函数解析式为， 当y＝3时，得：， 解得：x＝4， ∴小孔到蜡烛的距离为4cm， 故选：C． 【例9】如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，使CD⊥AB，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，CD＝12m，那么河宽AB为（　　） A．8m B．12m C．6m D．24m 【解答】解：∵∠CAD＝60°，∠BCA＝30°， ∴∠B＝∠CAD﹣∠BCA＝30°＝∠BCA， ∴AB＝AC， Rt△ACD中， ∵∠CAD＝60°，CD＝12m， ∴∠ACD＝30°， ∴ADACAB，∠ACD＝∠B， ∵∠ADC＝∠CDB， ∴△ADC∽△CDB， ∴， ∴， 解得AB＝8m． 故选：A． 【例10】如图，小明在A时测得某树的影长为10m，在B时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A． B．8m C．6m D． 【解答】解：如图： 由题意得：EF＝4m，DF＝10m，CF⊥DE， ∴∠CFE＝∠CFD＝90°， ∴∠ECF+∠CEF＝90°， ∵AD⊥BE， ∴∠ECD＝90°， ∴∠ECF+∠DCF＝90°， ∴∠CEF＝∠DCF， ∴△CFE∽△DFC， ∴， ∴CF2＝DF•EF＝10×4＝40， ∴CF＝2或CF＝﹣2（舍去）， ∴树的高度为2米， 故选：D． 【例11】如图，水平地面上放置盛有液体的容器，CD是液面线，经测量，AB＝8cm，AD＝5cm，把长为12cm的木棍EF的一端F探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分GF的长为　 　 cm． 【解答】解：由题意可知，DG∥BF， ∴△ADG∽△ABF， ∴． ∵AB＝8cm，AD＝5cm，EF＝AF＝12cm，则AG＝AF﹣GF＝12﹣GF， ∴， 解得：GF（cm）． 故答案为：． 考点4 作图--相似变换 【例12】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 故选：D． 【例13】在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD． ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠CBD， ∴△BAD∽△CBD． 根据作图痕迹可知， A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意； B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意； C选项中，BD是AC的垂线，符合题意； D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意． 故选：C． 【例14】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　 ． 【解答】解：如图，△EFC即为所求，面积1×1． 故答案为：． 二、课时练习 1.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE．若△ADE与△ABC相似，则∠ADE＝（　　） A．50° B．60° C．50°或60° D．60°或70° 【解答】解：由条件可知∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵△ADE与△ABC相似，∠DAE＝∠A， ∴∠ADE＝∠B＝70°或∠ADE＝∠C＝60°， 故选：D． 2.如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm， ∴（相似三角形的对应边的比等于周长比）， 则， 故选：A． 3.如果△ABC∽△DEF（其中顶点A、B、C依次与顶点D、E、F对应），那么下列等式中，不一定成立的是（　　） A．∠A＝∠D B． C．AB＝DE D． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴，，∠A＝∠D， ∴， 故AB，DE不一定相等，故选项C符合题意； 选项A，B，D不符合题意； 故选：C． 4.身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（　　） A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米 【解答】解：设旗杆高度为h， 由题意得， 解得：h＝16米． 故选：C． 5.如图，▱ABCD中，点G在DA的延长线上，直线GC交AB于点E，交BD于点O．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△GOD∽△COD，△DOC∽△BOE， ∴，， ∴． 故选：A． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE长为（　　） A．2 B． C． D．5 【解答】解：在矩形ABCD中， ∵M是边BC的中点，BC＝3，AB＝2， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AMB， ∵∠DEA＝∠B＝90°， ∴△ABM∽△DEA， ∴， 即， ∴． 故选：B． 7.如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【解答】解：由题意可得：BE＝BD﹣DE＝10，∠AEB＝∠CED，DE＝2，CD＝1.6， ∵∠EDC＝∠ABE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， ∴AB＝8， 即塔高AB为8米， 故选：D． 8.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列结论错误的是（　　） A．若S1＝S3，则点P在边AD的中垂线上 B．若S1＝S2，则S3＝S4 C．若S1＝2S3，点P在线段BD上，则S4＝2S2 D．若点P在∠BAD的角平分线上，则 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC， A、∵S1＝S3，AB＝CD， ∴点P到AB，CD的距离相等， ∵BA⊥AD，CD⊥AD， ∴点P在边AD的中垂线上， 故A选项结论正确，不符合题意； B、如图1，过点P作PE⊥AB，延长EP交CD于点F，过点P作PH⊥BC，延长HP交AD于点G， 则四边形ABHG，EFCB为矩形， 设AB＝GH＝DC＝a，AD＝EF＝BG＝b，PE＝h1，PH＝h2， ∴PF＝b﹣h1，PG＝a﹣h2， ∵S1＝S2， ∴ah1＝bh2， ∵， ∵ab﹣ah1＝ab﹣bh2， ∴S3＝S4， 故B选项结论正确，不符合题意； C、如图，点P在线段BD上时， ∵S1＝2S3， ∴PE＝2PF， ∵AB∥CD， ∴△BEP∽△DFP， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DHP∽△BGP， ∴， ∴， 故C选项结论错误，符合题意； D、若点P在∠BAD的角平分线上， 则点P到AB的距离与点P到AD的距离相等，设为h， ∴， ∴， 故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 9.如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC、BE交于点F，若FG∥BC．若S△AEF：S△BFC＝1：9，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝8，AC＝10， ∴AD∥CB，∠D＝90°， ∴CB＝AD6， ∵AE∥CB，S△AEF：S△BFC＝1：9， ∴△AEF∽△BFC， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵FG∥BC， ∴△AFG∽△ACB， ∴， ∴FGCB6， 故选：C． 10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2BF；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：延长BE、CD交于点H， ∵四边形ABCD是矩形，E是AD边的中点， ∴∠EAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC，AB＝DC， ∴∠EAF＝∠ACB，∠ABE＝∠H，AE＝DEADBC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EFA＝90°， ∴∠EFA＝∠ABC， ∴△AEF∽△CAB， 故①正确； 在△AEB和△DEH中， ， ∴△AEB≌△DEH（AAS）， ∴AB＝DH， ∴DC＝DHCH， ∵∠CFH＝90°， ∴DFCH， ∴DF＝DC， 故③正确； ∵∠EAB＝∠ABC＝90°，∠EBA＝∠ACB＝90°﹣∠BCE， ∴△EAB∽△ABC， ∴， ∴AE•BC＝AB2， ∴BC2＝AB2， ∴BC2＝2AB2， ∴BCAB或BCAB（不符合题意，舍去）， 故④正确； ∵∠BFC＝∠ABC＝90°，∠BCF＝∠ACB， ∴△BFC∽△ABC， ∴ ∴CF•BF•BFBF≠2BF， 故②错误， 故选：C． 11.如果两个相似三角形的面积之比为4：9，较小的三角形的周长是100cm，那么另一个的三角形的周长为　 　 cm． 【解答】解：由条件可知两个相似三角形的相似比为2：3， 因为较小的三角形的周长是100cm， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 12.如图，已知△ABC∽△DEF，则△ABC与△DEF的面积比是　 　 ． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，根据三角形相似的性质可得： ， 即，， ∵c（a+c）＝b（a+b），c（b+c）＝a（a+b），即c2+ac＝b2+ab，c2+bc＝a2+ab， ∴c2﹣b2+ac﹣ab＝0，c2﹣a2+bc﹣ab＝0， ∴（c+b）（c﹣b）+a（c﹣b）＝0，（c+a）（c﹣a）+b（c﹣a）＝0， ∴（c﹣b）（c+b+a）＝0，（c﹣a）（c+a+b）＝0， 由题意可得：c﹣b＝0，c﹣a＝0， ∴c＝b，c＝a， ， 故答案为：． 13.如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12折叠纸片，使点A落在BC边上点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．若△BDE与△ABC相似．则折痕EF的长度等于　 　 ． 【解答】解：若△BDE与△ABC相似，则∠BED＝90°或∠BDE＝90°， ①当∠BED＝90°时，∵∠A＝90°， ∴DE∥AC， ∴， 由折叠的性质得，DE＝AE，∠AEF＝∠DEF， ∴， 解得：AE， ∵DE∥AC， ∴∠AFE＝∠DEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴EFAE； ②当∠BDE＝90°时， 由折叠的性质得，∠EDF＝∠A＝90°， 则点F与点C重合， ∵∠A＝90°，AB＝9，AC＝12， ∴BC15， ∵∠A＝∠EDB＝90°，∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∴， ∴DE＝4， ∴AE＝4， ∴EF4， 综上所述，折痕EF的长度等于或4， 故答案为：或4． 14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论，①∠AED＝67.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△EFB＝2S△OGF；④，其中正确的是 　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O， ∴∠ADC＝∠BAD＝90°，CD＝AD＝AB，OD＝OB，CA＝DB，AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝90°，OA＝OB＝ODDB， ∴∠ODA＝∠OAD＝∠OAB＝∠OBA＝45°， 由折叠得FG＝AG，FE＝AE，∠FDE＝∠ADE∠ODA＝22.5°， ∴∠AED＝∠FDE+∠OBA＝67.5°，∠AGE＝∠ADE+∠OAD＝67.5°， 故①正确； ∴∠AED＝∠AGE， ∴AG＝AE， ∴FG＝FE＝AG＝AE， ∴四边形AEFG是菱形， 故②正确； ∵∠DFE＝∠DAE＝90°， ∴∠BFE＝90°， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°， ∴FB＝FE， ∵FG∥AB， ∴∠OGF＝∠OAB＝∠OBA＝∠OFG， ∴OF＝OG， ∴FE＝FGOF， ∴S△EFBFB•FEFE2（OF）2＝OF2， ∵S△OGFOF•OGOF2， ∴2S△OGF＝OF2， ∴S△EFB＝2S△OGF， 故③正确； ∵∠CDG＝∠ADC﹣∠FDE＝67.5°，∠CGD＝∠AGE＝67.5°， ∴CG＝CD＝DA， ∵CD∥AE， ∴， 故④正确， 故答案为：①②③④． 15.如图，点E是正方形ABCD边CD的中点，点F是边AD延长线上一点，DE＝DF，连结CF、AE，AE的延长线交CF于点G，AE、BD交于点H，则∠AGF＝　 　 ，　 　 ． 【解答】解：∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDF＝90°． 又DE＝DF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）． ∴∠DAE＝∠DCF． ∵∠DAE+∠DEA＝90°，且∠DEA＝∠CEG， ∴∠DCF+∠CEG＝90°． ∴∠AGF＝90°． ∵AB∥CD，AD∥BC ∴△ABH∽△EDH． ∵AB＝2DE， ∴， ∴设HE＝x，则AH＝2x，AE＝AH+HE＝3x． ∵AD＝2DE， 设正方形的边长为2m，则CE＝ED＝m． ∴， ∴， ∵∠ADE＝∠CGE＝90°，∠AED＝∠CEG， ∴△ADE∽△CGE， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90°，． 16.在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH． 【解答】解：（1）如图1，△ADE即为所求． （2）如图2，△FGH即为所求． 17.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AE＝18，AC＝8时，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ACD＝∠BCA， ∵∠ACD＝∠ABE， ∴∠BCA＝∠ABE， ∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB； （2）解：∵△ABC∽△AEB， ∴， ∵AE＝18，AC＝8， ∴， ∴AB2＝144， ∴AB＝12． 18.如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 【解答】解：设运动了t秒． 根据题意得：AP＝2t cm，CQ＝3t cm，则AQ＝AC﹣CQ＝（15﹣3t）cm， 当△APQ∽△ABC时，， 即， 解得， 当△APQ∽△ACB时，， 即， 解得， ∵其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动， ∴P点运动时长最多为秒，Q点运动时长最多为15÷3＝5秒， ∴， ∵，， ∴， 故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是秒． 19.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC、BD，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与AC交于点E，△ADE∽△DBC． （1）请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明； （2）求证：点E是线段AC的黄金分割点． 【解答】（1）解：∠ADB＝2∠DBC， 理由：∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵△ADE∽△DBC， ∴∠ADE＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠ADE＝∠DBC， 即∠ADB＝2∠DBC； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠CAB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠DEC＝∠ACB＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠CAB＝60°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴DE＝CE＝CD， ∵△ADE∽△DBC， ∴， ∴， ∴点E是线段AC的黄金分割点． 20.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在边BC上，满足∠BAE＝∠ACB．连接AE交BD于点F，过点F作FG∥BC交CD于点G． （1）求证：AF＝AD； （2）求证：△DFG∽△FBA； （3）若BE＝2EF，求的值． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵FG∥BC， ∴∠FGA＝∠ACB， ∵∠BAE＝∠ACB， ∴∠BAE＝∠ACB＝∠FGA， ∵∠AFD＝∠BAE+∠ABD，∠ADB＝∠CBD+∠ACB， ∴∠AFD＝∠ADB， ∴AF＝AD； （2）证明：∵FG∥BC， ∴∠CBD＝∠DFG， ∴∠ABD＝∠DFG，∠BAE＝∠FGD， ∴△DFG∽△FBA； （3）∵∠BFE＝∠AFD＝∠ADF，∠ABD＝∠EBD， ∴△BEF∽△BAD， ∴， 又由（1）可得AD＝AF， ∴． 由（2）知△DFG∽△FBA， 故． 21.数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD． （1）初步探究，如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB； （2）尝试应用，如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）解：设AD＝m， ∵点D为AB中点， ∴AD＝BD＝m，AB＝2m， 由（1）得△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AD•AB＝m×2m＝2m2， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵BC＝4， ∴， ∴CD的长是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2相似三角形的性质 一、常考类型 考点1 相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. （2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长比等于相似比 （4）相似三角形的面积比等于相似比的平方 【例1】如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝3，A′D′＝4，则的值为（　　） A．9：16 B．16：9 C．4：3 D．3：4 【例2】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则下列结论错误的是（　　） A．△ABC和△DEF的周长比是1：4 B．边AB和边DE上的高之比是1：2 C．△ABC和△DEF的面积比是1：4 D．边BC和边EF上的中线之比是1：2 【例3】如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在坐标轴上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 　 　 ． 考点2 相似三角形的判定与性质 【例4】如图，DE∥FG∥BC，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【例5】如图，△ABC与△DEF的顶点均在正方形网格的格点上，则∠DEF的度数为（　　） A．105° B．115° C．125° D．135° 【例6】如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段AB于点P，若使点P能够把线段AB分成1：2两部分，则这个点可以是（　　） A．D B．E C．F D．G 【解答】解：设方格纸的边长为1，，， ∴AF＝2BC， 【例7】在两条直角边长分别是20和15的直角三角形的内部作矩形ABCD，如果AB、AD分别在两条直角边上（如图所示），AD：AB＝1：2，那么矩形ABCD的面积是 　　 ． 考点3 相似三角形的应用 （1）测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. （2）测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 【例8】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2，若火焰的像高为3cm，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．12cm 【例9】如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，使CD⊥AB，测得∠CAD＝60°，∠BCA＝30°，CD＝12m，那么河宽AB为（　　） A．8m B．12m C．6m D．24m 【例10】如图，小明在A时测得某树的影长为10m，在B时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A． B．8m C．6m D． 【例11】如图，水平地面上放置盛有液体的容器，CD是液面线，经测量，AB＝8cm，AD＝5cm，把长为12cm的木棍EF的一端F探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分GF的长为　 　 cm． 考点4 作图--相似变换 【例12】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例13】在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　） A．B．C．D． 【例14】如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是 　　 ． 二、课时练习 1.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE．若△ADE与△ABC相似，则∠ADE＝（　　） A．50° B．60° C．50°或60° D．60°或70° 2.如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则（　　） A． B． C． D． 3.如果△ABC∽△DEF（其中顶点A、B、C依次与顶点D、E、F对应），那么下列等式中，不一定成立的是（　　） A．∠A＝∠D B． C．AB＝DE D． 4.身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（　　） A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米 5.如图，▱ABCD中，点G在DA的延长线上，直线GC交AB于点E，交BD于点O．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE长为（　　） A．2 B． C． D．5 7.如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），把一面镜子放置在水平地面E处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的D点（即DE＝2）刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12米，若小涵眼睛离地面距离CD为1.6米，则凉亭高AB（　　）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 8.如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列结论错误的是（　　） A．若S1＝S3，则点P在边AD的中垂线上 B．若S1＝S2，则S3＝S4 C．若S1＝2S3，点P在线段BD上，则S4＝2S2 D．若点P在∠BAD的角平分线上，则 9.如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC、BE交于点F，若FG∥BC．若S△AEF：S△BFC＝1：9，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2BF；③DF＝DC；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11.如果两个相似三角形的面积之比为4：9，较小的三角形的周长是100cm，那么另一个的三角形的周长为　 　 cm． 12.如图，已知△ABC∽△DEF，则△ABC与△DEF的面积比是　 　 ． 13.如图，已知三角形纸片ABC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12折叠纸片，使点A落在BC边上点D处，折痕为EF（点E在AB上，点F在AC上）．若△BDE与△ABC相似．则折痕EF的长度等于　 　 ． 14.如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论，①∠AED＝67.5°；②四边形AEFG是菱形；③S△EFB＝2S△OGF；④，其中正确的是 　 　 ． 15.如图，点E是正方形ABCD边CD的中点，点F是边AD延长线上一点，DE＝DF，连结CF、AE，AE的延长线交CF于点G，AE、BD交于点H，则∠AGF＝　 　 ，　 　 ． 16.在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点△FGH． 17.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AE＝18，AC＝8时，求AB的长． 18.如图，△ABC中，AB＝7厘米，AC＝15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 19.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC、BD，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与AC交于点E，△ADE∽△DBC． （1）请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明； （2）求证：点E是线段AC的黄金分割点． 20.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在边BC上，满足∠BAE＝∠ACB．连接AE交BD于点F，过点F作FG∥BC交CD于点G． （1）求证：AF＝AD； （2）求证：△DFG∽△FBA； （3）若BE＝2EF，求的值． 21.数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD． （1）初步探究，如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB； （2）尝试应用，如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$