专题1.2.4 绝对值（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.2.4 绝对值 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：绝对值的定义 1 知识点梳理02：绝对值的性质 2 知识点梳理03：绝对值的运算 2 知识点梳理04：绝对值在数轴上的应用 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：绝对值的几何意义 2 考点2：求一个数的绝对值 4 考点3：绝对值非负性 5 考点4：绝对值的其他应用 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 14 知识点梳理01：绝对值的定义 1.几何定义： 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。例如，在数轴上表示5的点到原点的距离是5个单位长度，所以|5| = 5；表示 -3的点到原点的距离是3个单位长度，所以|-3| = 3。特别地，|0| = 0，因为0到原点的距离就是0。 2.代数定义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：当a > 0时，|a| = a；当a = 0时，|a| = 0；当a < 0时，|a| = -a。 例如：|7| = 7（因为7是正数，其绝对值是它本身）；|-4| = -（-4）= 4（因为-4是负数，其绝对值是它的相反数）。 知识点梳理02：绝对值的性质 1.非负性： 任何数的绝对值都是非负的，即|a| ≥ 0。这是因为绝对值表示的是距离，距离不可能是负数。 例如：| -2.5| = 2.5 ≥ 0，|3| = 3 ≥ 0 等。 2.互为相反数的两个数绝对值相等： 若a与b互为相反数，那么|a| = |b|。 例如：3与 -3互为相反数，|3| = | -3| = 3。 3.绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数： 若|a| = |b|，则a = b或a = -b。 例如：|5| = | -5|，这里5和 -5的绝对值相等，但它们互为相反数；又比如|4| = |4|，此时两个数相等。 知识点梳理03：绝对值的运算 1.化简绝对值： 根据绝对值的代数定义来化简。 例如：化简| -8|，因为 -8 < 0，所以| -8| = -（-8）= 8；化简|9|，因为9 > 0，所以|9| = 9。 2.含有绝对值的式子的运算： 先化简绝对值，再按照常规的有理数运算规则进行计算。 比如：计算| -3| + 5，先化简| -3| = 3，然后计算3 + 5 = 8； 又如：计算2 - | -4|，先化简| -4| = 4，然后计算2 - 4 = -2。 知识点梳理04：绝对值在数轴上的应用 1.比较大小： 在数轴上，右边的数总比左边的数大，而绝对值大的负数反而小。 例如：比较 -5和 -2的大小，先看它们的绝对值，| -5| = 5，| -2| = 2，虽然5 > 2，但因为是负数，所以 -5 < -2。 2.确定点与原点的距离及点之间的相对位置： 通过绝对值可以知道一个数所对应的点到原点的距离，进而确定不同点之间在数轴上的相对位置关系。 例如：已知点A表示的数为 -3，点B表示的数为2，那么| -3| = 3说明点A到原点的距离是3个单位长度，|2| = 2说明点B到原点的距离是2个单位长度，且可以知道点B在原点右侧，点A在原点左侧，点B比点A更靠近原点。 考点1：绝对值的几何意义 【典例精讲】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【思路引导】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 【变式训练1】（23-24七年级上·广东河源·期中）把，0，3，，表示在数轴上，并观察数轴，直接写出绝对值小于的所有整数． 【答案】见解析，绝对值小于的所有整数为，，0，1，2 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数、绝对值，在数轴上正确表示出有理数是解题的关键．在数轴上正确表示出有理数，观察数轴，再根据绝对值的定义即可得出绝对值小于的所有整数． 【规范解答】解：在数轴上表示如下： 观察数轴可得，绝对值小于的所有整数为，，0，1，2． 【变式训练2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)在数轴上标出见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，数轴的应用，解题的关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （）先化简，再在数轴上确定表示各数的点的位置，然后在数轴上表示即可； （）右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【规范解答】（1）解：，， 在数轴上标出这些数如图， （2）解：由右边的数总比左边的数大， ∴． 考点2：求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 2 /0.5 【思路引导】本题主要考查相反数的概念，绝对值的概念等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点 【规范解答】解：的相反数是2；的绝对值是． 故答案：2；． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【思路引导】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 根据绝对值的代数意义判断即可． 【规范解答】∵ ∴，即a是非负数． 故选：C． 【变式训练2】（2025·海南·一模）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．先根据数轴确定点A所表示的数，再求绝对值即可． 【规范解答】解：由数轴可知，点A所表示的数是， 的绝对值是1 数轴上点A所表示的数的绝对值是1, 故选：C． 考点3：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级下·河南信阳·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【答案】(1)，，； (2)①；②． 【思路引导】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方，解题的关键是： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得，，，求出a，b的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为，当点B与点A相遇时，根据可求得，进而可求解． 【规范解答】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离是 ， 故答案为：，，； （2）解：①秒时，点对应的数为， 故答案为：； 点以每秒个单位长度的速度向左运动， 秒时，点对应的数为， 当点与点相遇时，则， 解得， 当时，点在点的右侧， ， 答：点与点之间的距离． 【变式训练1】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【规范解答】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 【答案】(1)，，数轴上标出、两点见解析 (2)或 【思路引导】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据非负数的性质求出、的值，再在数轴上标出、两点即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式可得，，结合即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ，， 解得：，， 数轴上标出、两点如下： （2） 、两点对应的数分别为和，点对应的数为， ，， ， ， 解得：或． 考点4：绝对值的其他应用 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数） ，，，，，． 请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值知识进行说明． 【答案】的足球质量好一些，见解析 【规范解答】本题考查了正数和负数，绝对值的性质，熟记正数和负数的意义是解题的关键． 求出各球记录的质量的绝对值，然后选择绝对值最小的为质量最好． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 质量检测结果是的足球质量好一些． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【答案】(1)周正 (2)李嘉，见解析 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质： （1）找出直径超过的零件，即可得出答案； （2）通过比较绝对值，得出，可知张琪同学加工的零件直径比标准直径误差最小，得出答案． 【规范解答】（1）∵零件直径比标准直径可以有的误差， 而， ∴周正同学加工的零件不符合标准； （2）∵， ∴李嘉同学加工的零件直径比标准直径误差最小， ∴李嘉的最好． 【变式训练2】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某仓库管理员连续 7 次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这 7 次进库、出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱．那么在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的搬运费均为 10 元，则这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 【答案】(1)在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱200台 (2)这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共1550 元 【思路引导】本题考查了正负数、有理数运算、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握正负数、有理数运算的性质，从而完成求解． （1）根据正负数和有理数运算的性质，通过记录数据加减计算，即可得到答案； （2）根据绝对值的性质，先求解记录数据的绝对值之和，再乘以10即可得到答案． 【规范解答】（1）∵ 又∵出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱 ∴在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱数量为：台． （2）根据题意，这 7 次进库、出库的冰箱搬运费为元． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数． 【规范解答】解：， 因此，的绝对值为5， 故选：A． 2．（2023·青海·中考真题）的绝对值是 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的性质．根据绝对值的定义即可求解． 【规范解答】的绝对值是， 故答案为：3． 3．（2018·山东日照·中考真题）的相反数是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是绝对值和相反数的概念．根据绝对值、相反数的定义即可得出答案． 【规范解答】解：根据绝对值的定义， ， 根据相反数的定义， 5的相反数是． 故选：A． 4．（2022·湖南邵阳·中考真题）的绝对值是（    ） A． B．2022 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值，利用绝对值的定义判断，解题的关键是掌握绝对值的定义． 【规范解答】解：． 故选：B． 5．（2024·湖北·中考真题）写出一个大于的数是 ． 【答案】0(答案不唯一) 【思路引导】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即可写出答案，答案不唯一． 【规范解答】解：比大的数如：0， 故答案为：0(答案不唯一)． 基础夯实 1．（24-25七年级上·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值、有理数等概念，逐一分析各选项的正确性，结合绝对值、有理数等概念进行判断． 【规范解答】解：A. 0既不是正数也不是负数，正确； B. 当时，表示非零数的绝对值，必大于0，正确； C. 绝对值是它本身的数是非负数（包括0和正数），但选项仅提到“正数”，忽略了0，错误； D. 有理数包括整数和分数（含有限小数、无限循环小数），正确． 故选：C． 2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，距离越大，绝对值越大，进行判断即可． 【规范解答】解：由图可知，表示数的点到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是； 故选A． 3．（2025·山西运城·模拟预测）在工业生产中，大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某工厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确度最高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题词考查正负数的应用，求一个数的绝对值，绝对值的意义，熟练掌握正负数的应用和绝对值的意义是解题的关键． 分别 求出各项的绝对值，再比较大小，根据绝对值的意义可得绝对值越小的，精确度越高得出答案即可． 【规范解答】解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴精确度最高的是． 故选：D． 4．（24-25九年级下·云南·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值的实际意义，掌握绝对值的意义解题的关键． 根据绝对值的意义，即可解题． 【规范解答】解：由题意可得各数的绝对值分别为，，，， ， 最接近标准质量的是， 故选：D． 5．（24-25七年级上·青海西宁·阶段练习）已知整数同时满足下列两个条件，写出一个符合条件的的值： ． ①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于3且小于5． 【答案】 【思路引导】本题考查在数轴上表示有理数，绝对值的意义，根据题意，得到，写出一个符合条件的一个m的值即可． 【规范解答】解：由题意，得， ∴符合条件的m的值为； 故答案为： 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 【答案】 2 【思路引导】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【规范解答】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 7．（24-25七年级上·广东惠州·期中）绝对值不大于5的整数有 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的含义，明确“不大于”的意思是小于等于，然后找出满足条件的整数． 根据绝对值的定义，找出绝对值不大于5的所有整数即可． 【规范解答】解：绝对值不大于5的所有整数为：， 故答案为． 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 【规范解答】解： ，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，10，，，， 正整数集：； 负数集：； 分数集：； 非负有理数集：． 【答案】10， ；，，； ，， ；，0，10，， 【思路引导】本题考查有理数的分类，求绝对值，多重符号的化简，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．利用有理数的相关概念分类即可． 【规范解答】解：， 正整数集的是：； 负数集的是：； 分数集的是：； 非负有理数集的是：． 10．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 【答案】④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧ 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据正分数、整数、负数、非负有理数的定义进行分类解答即可． 【规范解答】解：，， 正分数集合：{④，⑦，⑧…}； 整数集合：{①，②，⑤，…}；； 负数集合：{①，⑨，⑩，…}；； 非负有理数集合：{②，④，⑤，⑦，⑧，…}；． 故答案为：④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧． 培优拔高 11．（24-25七年级上·北京东城·期末）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置得到，然后一一判断即可，掌握绝对值与数轴上点的特征是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可知， ， ，故A错误 ，故B正确； ， 那么当，时，，，，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义进行判断即可． 【规范解答】解：的绝对值是， 故选：B． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．符号不同的两个有理数互为相反数 B．任何有理数都小于或等于它的绝对值 C．任何有理数都大于或等于它的相反数 D．如果一个数的相反数等于它的绝对值，那么这个数一定是负数 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数、相反数以及绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键； 根据相反数，绝对值的意义，逐一判断即可解答； 【规范解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故该选项不符合题意； B、任何有理数都小于或等于它的绝对值，故该选项符合题意； C、任何正有理数都大于或等于它的相反数，故该选项不符合题意； D、如果一个数的相反数等于它的绝对值，那么这个数一定是负数或，故该选项不符合题意； 故选：B 14．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【思路引导】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【规范解答】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如果，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【规范解答】解： ， ， ； 故答案为：． 16．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接 ． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值，根据数轴上点的位置，绝对值的意义解题即可． 【规范解答】解：∵，且靠近，且远离， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值的意义，根据题意先求得出和之间的整数，再求绝对值大于并且小于等于的整数即可求解． 【规范解答】解：根据图中数据，可得墨迹盖住的整数是：，，，，． 其中满足绝对值大于并且小于等于的整数有，，共2个， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【思路引导】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【规范解答】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 【答案】作图见解析， 【思路引导】本题考查用数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，首先将各个数化简，然后在数轴上确定各数的位置，再根据“在数轴上表示的数，左边的总比右边的小”，最后用“＜”号把它们连接起来．解题的关键是正确确定各数位置． 【规范解答】解：∵，， 则在数轴上表示各数如图所示： 用“”连接起来如下： ． 20．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知一组数：3.5，0，，， (1)画一条数轴，并把这些数用数轴上的表表示出来； (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“<”连接）； 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，能正确在数轴上表示各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）根据有理数与数轴上的点一一对应的关系即可表示出来． （2）根据数轴即可比较大小． 【规范解答】（1）解：（1），，， 将数用数轴上的点表示，如图所示， （2）解：将这些数按从小到大的顺序排列为． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2.4 绝对值 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：绝对值的定义 1 知识点梳理02：绝对值的性质 2 知识点梳理03：绝对值的运算 2 知识点梳理04：绝对值在数轴上的应用 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：绝对值的几何意义 2 考点2：求一个数的绝对值 3 考点3：绝对值非负性 3 考点4：绝对值的其他应用 4 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 6 基础夯实 6 培优拔高 7 知识点梳理01：绝对值的定义 1.几何定义： 在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。例如，在数轴上表示5的点到原点的距离是5个单位长度，所以|5| = 5；表示 -3的点到原点的距离是3个单位长度，所以|-3| = 3。特别地，|0| = 0，因为0到原点的距离就是0。 2.代数定义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：当a > 0时，|a| = a；当a = 0时，|a| = 0；当a < 0时，|a| = -a。 例如：|7| = 7（因为7是正数，其绝对值是它本身）；|-4| = -（-4）= 4（因为-4是负数，其绝对值是它的相反数）。 知识点梳理02：绝对值的性质 1.非负性： 任何数的绝对值都是非负的，即|a| ≥ 0。这是因为绝对值表示的是距离，距离不可能是负数。 例如：| -2.5| = 2.5 ≥ 0，|3| = 3 ≥ 0 等。 2.互为相反数的两个数绝对值相等： 若a与b互为相反数，那么|a| = |b|。 例如：3与 -3互为相反数，|3| = | -3| = 3。 3.绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数： 若|a| = |b|，则a = b或a = -b。 例如：|5| = | -5|，这里5和 -5的绝对值相等，但它们互为相反数；又比如|4| = |4|，此时两个数相等。 知识点梳理03：绝对值的运算 1.化简绝对值： 根据绝对值的代数定义来化简。 例如：化简| -8|，因为 -8 < 0，所以| -8| = -（-8）= 8；化简|9|，因为9 > 0，所以|9| = 9。 2.含有绝对值的式子的运算： 先化简绝对值，再按照常规的有理数运算规则进行计算。 比如：计算| -3| + 5，先化简| -3| = 3，然后计算3 + 5 = 8； 又如：计算2 - | -4|，先化简| -4| = 4，然后计算2 - 4 = -2。 知识点梳理04：绝对值在数轴上的应用 1.比较大小： 在数轴上，右边的数总比左边的数大，而绝对值大的负数反而小。 例如：比较 -5和 -2的大小，先看它们的绝对值，| -5| = 5，| -2| = 2，虽然5 > 2，但因为是负数，所以 -5 < -2。 2.确定点与原点的距离及点之间的相对位置： 通过绝对值可以知道一个数所对应的点到原点的距离，进而确定不同点之间在数轴上的相对位置关系。 例如：已知点A表示的数为 -3，点B表示的数为2，那么| -3| = 3说明点A到原点的距离是3个单位长度，|2| = 2说明点B到原点的距离是2个单位长度，且可以知道点B在原点右侧，点A在原点左侧，点B比点A更靠近原点。 考点1：绝对值的几何意义 【典例精讲】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【变式训练1】（23-24七年级上·广东河源·期中）把，0，3，，表示在数轴上，并观察数轴，直接写出绝对值小于的所有整数． 【变式训练2】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 考点2：求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期中）的相反数是 ；的绝对值是 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期中）若，则a是（    ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 【变式训练2】（2025·海南·一模）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（   ） A． B． C．1 D．2 考点3：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级下·河南信阳·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【变式训练1】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【变式训练2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 考点4：绝对值的其他应用 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）正式足球比赛所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数） ，，，，，． 请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值知识进行说明． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）有5名学生参加技能大赛，他们在规定的时间内按要求加工同一种零件．零件质量要求是：零件直径比标准直径可以有的误差．其中超过标准长度的用正数表示，不足标准长度的用负数表示．现将5名学生的加工结果（单位：）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 (1)以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ (2)以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 【变式训练2】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某仓库管理员连续 7 次对进库、出库的冰箱台数进行统计，将进库的冰箱台数记作正数，出库的冰箱台数记作负数．记录如下表（单位：台）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这 7 次进库、出库前，仓库管理员结算仓库有 219 台冰箱．那么在这 7 次进库、出库后，仓库存有冰箱多少台？ (2)若每台冰箱进库或出库的搬运费均为 10 元，则这 7 次进库、出库的冰箱搬运费共多少元？ 1．（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 2．（2023·青海·中考真题）的绝对值是 ． 3．（2018·山东日照·中考真题）的相反数是（　　） A． B．5 C． D． 4．（2022·湖南邵阳·中考真题）的绝对值是（    ） A． B．2022 C． D． 5．（2024·湖北·中考真题）写出一个大于的数是 ． 基础夯实 1．（24-25七年级上·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．当时，总是大于0 C．绝对值是它本身的数是正数 D．有理数不是整数就是分数 2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 3．（2025·山西运城·模拟预测）在工业生产中，大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某工厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确度最高的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·云南·阶段练习）中考所用的排球重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·青海西宁·阶段练习）已知整数同时满足下列两个条件，写出一个符合条件的的值： ． ①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于3且小于5． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 7．（24-25七年级上·广东惠州·期中）绝对值不大于5的整数有 8．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，10，，，， 正整数集： 负数集： 分数集： 非负有理数集： 10．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 培优拔高 11．（24-25七年级上·北京东城·期末）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．符号不同的两个有理数互为相反数 B．任何有理数都小于或等于它的绝对值 C．任何有理数都大于或等于它的相反数 D．如果一个数的相反数等于它的绝对值，那么这个数一定是负数 14．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如果，那么 ． 16．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接 ． 17．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）嘉淇在写作业的时候，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图所示的数据，则墨迹遮盖的整数中满足绝对值大于并且小于等于的整数有 个． 18．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 20．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知一组数：3.5，0，，， (1)画一条数轴，并把这些数用数轴上的表表示出来； (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“<”连接）； 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$