1.2.4绝对值（教学设计）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“绝对值”核心知识点，通过回顾相反数概念，引导学生在数轴上标注3与-3并测量距离，从相反数的等距现象自然过渡到绝对值，以数轴为学习支架构建前后知识脉络。 其特色在于遵循“情境-操作-抽象-应用”认知规律，通过画数轴测距离培养几何直观（数学眼光），归纳代数意义发展推理意识（数学思维），结合数轴解决|x|=2等问题体现模型意识（数学语言）。助力学生突破|a|与-a的理解难点，为教师提供分层练习与清晰教学流程，提升课堂效率。

1.2.4 绝对值 教学设计 1.教学内容 本节选自义务教育教科书《数学》七年级上册（人教版）第一章 有理数 1.2《有理数及其大小比较》——1.2.4 绝对值。 2.内容解析 “绝对值”是在数轴背景下研究数与原点距离而形成的概念。教材先由“相反数”导入，通过“ 与 ”在数轴上的等距现象，引发学生对“距离”这一几何直观的关注；再通过画数轴、测距离，提炼出“数到原点的距离”这一本质特征，形成 的符号表示及“非负性”属性。随后，教材借助具体数值计算，由表及里地总结出 时 ； 时 ； 时 。接着，利用数轴进一步拓展四条性质：绝对值与远近、等于本身/相反数的数的范围、 的两个解、互为相反数的绝对值相等。内容设计体现了“从情境—操作—抽象—应用”的认知规律：先感知、再归纳、再应用，既突出了绝对值的几何意义，又实现了向代数意义的过渡，符合七年级学生的认知发展特点。本节的教学重点是绝对值的概念及其三段式代数表达；难点在于正确区分 与 ，以及灵活运用绝对值性质解决简单问题。 1.教学目标 •理解绝对值的几何意义，掌握绝对值的表示方法，能准确求出一个有理数的绝对值。 •能根据数的正负性正确写出绝对值的结果，理解 、、 三种情形的适用条件。 •经历从具体实例到抽象概念的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力。 2.目标解析 •通过数轴操作与数值计算，形成“数的绝对值是其到原点距离、恒非负” 的认识，正确书写并计算 ； •借助“画数轴—测距离—列表—归纳”过程，引导学生用几何直观支撑代数抽象；通过多元练习巩固“由条件判断符号、由符号写绝对值”。 •在探索“距离不分正负”的过程中感受数学抽象的意义，体会“数形结合”的方法价值，增强学习兴趣与逻辑思维能力。 3.重点难点 • 教学重点：绝对值的定义及符号表示。 • 教学难点： 与 的区别及使用条件。 七年级学生已初步掌握整数、分数、小数的意义和运算，能在数轴上表示有理数，了解相反数概念，对“距离”具有直观体验。但 1.对符号与大小的区分易混淆，常把 误认为一定为负数； 2.抽象接受能力有限，需要直观操作辅助； 3.解决含绝对值的简单方程或范围问题缺乏经验。因此教学中应充分利用数轴、动手测量与多媒体演示，强化数形结合；通过分层练习和情境化问题帮助学生理解三段式定义的本质并迁移应用。 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 上节课我们学习了相反数，回顾一下：什么叫做互为相反数？请举例说明。 相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如： 1. 5 和-5互为相反数； 2. 和-互为相反数； 3. 0 的相反数是0。 4. a 的相反数记作-a；a可以是正数、0、负数. 注：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点距离相等 新课引入 互为相反数的两个数（除0以外）只有符号不同，那么它们在数轴上的位置有什么共同特征呢？ 请大家在练习本上画一条数轴，并在数轴上标出表示3和-3的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少。 表示3的点到原点的距离是3 表示-3的点到原点的距离也是3 这两个距离有什么关系呢？这就是今天我们要学习的主题——绝对值. 【设计意图】通过“生活情境 → 旧知迁移 → 直观操作”，激活学生经验，凸显“距离”这一新概念的必要性，明确学习方向，激发探究兴趣。 探究点1：绝对值的几何意义 1.讨论交流 请同学们再画一条数轴，并在数轴上标出表示10和-10的点，观察这两个点到原点的距离分别是多少？ 在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 他们到原点的距离都相等 表示10的点到原点的距离是10； 表示-10的点到原点的距离也是10 可以发现，无论是3和-3还是10和-10，每组相反数到原点的距离都相等. 2.思考交流 ①设 a 表示一个数，−a 与a到原点的距离都相等吗？ 可以发现，无论a取什么数， -a与a到原点的距离都相等. 绝对值的概念 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”. 因为距离不可能是负数，所以|a|为非负数，即|a|≥0 a可以是正数、0、负数 ②0的绝对值是多少呢？为什么？ 表示0的点就是原点 因为原点到原点的距离是0，所以|0|=0. 请大家再观察数轴，比较-2.5和2这两个数，它们的绝对值分别是多少？在数轴上如何体现？ 观察到-2.5到原点的距离是2.5，2到原点的距离是2，因此|-2.5|=2.5，|2|=2. 也就是说|a|是非负数， 即|a|≥0. 3.新知巩固 如图，在数轴上与表示−2的点距离2个单位长度的点表示的数是（   ） A．0 B．−4 C．0或−4 D．2 【分析】先设该点表示的数为a，根据两点之间的距离得|a−(−2)|=2，求出解即可． 解：设该点表示的数为a，根据题意，得 |a−(−2)|=2， 解得a=0或a=−4， 所以该点表示的数是0或−4． 【设计意图】通过“画—量—比”三步，引导学生由直观图形上升到“”符号表示，实现从感性到理性的过渡。 探究点2　绝对值的代数意义 1.探究思考 一个数的绝对值与这个数本身有什么关系呢？ 例：尝试求出下列各数的绝对值. |5|=?,|3.2|=?,|0|=?,|−3|=?,|−0.5|=?,|−|=? 解：|5|=5,|3.2|=3.2,|0|=0,|-3|=3,|-0.5|=0.5,|−|= 在以上的例题中，正数的绝对值有什么特点？0的绝对值又有什么特点？负数的呢？ 2.知识小结 由以上例子可以发现： ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0 用字母表示数后，可以用含字母的式子表达一般规律： （1）如果a是正数，那么|a|=a； （2）如果a是0，那么|a|=0； （3）如果a是负数，那么|a|=-a。 3.思考探究 当a是负数时，|a|=−a，这里的”−a”表示什么？ 绝对值的代数意义可以简记为： 由此可知，当a是负数时，|a|=−a，这里的”−a”表示的是a的相反数，是一个正数，而不是负数。 例如，当a=−3时，|a|=|−3|=−(−3)=3。 不能误认为“−a”就是负数。 4.新知巩固 下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【分析】根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确. 所以选A 【设计意图】通过“例—归纳—反思—辨析”四步，让学生体会绝对值与符号的对应关系，避免把“”误判为负数，培养代数抽象与逻辑推理能力。 探究点3：绝对值的性质深化 1.绝对值大小与数轴上点的位置关系 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值是越大还是越小？离原点越远呢？ |a|越来越小，最小时|a|=0 在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小； 离原点越远，这个数的绝对值越大。 2.绝对值等于本身或相反数的数的范围 ①如果一个数的绝对值等于它本身，即|a|=a，那么这个数a是什么数？一定是正数吗？ 观察绝对值的代数意义可知： 正数的绝对值等于它本身，0的绝对值也等于0（即它本身），所以绝对值等于它本身的数是非负数，即a≥0。 ②如果一个数的绝对值等于它的相反数，即|a|=−a，那么这个数a是什么数？一定是负数吗？ 如：|-3|=3,|-0.5|=0.5,|−|= 因此负数的绝对值等于它的相反数，而0的绝对值是0，0的相反数也是 0,所以0也满足|a|=−a。 因此，绝对值等于它的相反数的数是非正数，即a≤0。 注：0既满 足|a|=a,也满足|a|=−a,因为0的相反数就是它本身。 3.绝对值为正数的数有两个且互为相反数 如果|x|=2，那么x等于多少？有几个解？请结合数轴说明. 观察数轴可知：|-2|=2，|2|=2 数轴上到原点距离等于2的点有两个，分别在原点的左右两侧 表示的数是2和-2，所以x=2或x=−2，即x=±2。 注意：解题时不能只写出一个解而遗漏另一个解. 4.互为相反数的两个数绝对值相等 如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值有什么关系？反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数有什么关系？ 若a与b互为相反数，即a=-b，则|a|=|b| 教师总结： 1.互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等. 2.反过来，如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数 即若|a|=|b|，则a=b或a=−b 5.新知巩固 一个有理数 a，满足 a 的相反数等于 a 的绝对值，则 a 可以是_____．（写出一个即可） 【分析】设 a的相反数为 −a，a的绝对值为 |a|，则 −a=|a|，得出a≤0，即可得出答案. 解：设 a 的相反数为 −a，a 的绝对值为 |a|， ∴−a=|a|， ∵|a|≥0， ∴−a≥0，即 a≤0， 当 a≤0 时，|a|=−a，等式成立， ∴a 可以是任何非正有理数，例如 0， 故答案为：0（答案不唯一）． 6.例题讲解 （1）写出1，−0.5，−的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【分析】对于（2），一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小. 解：(1)|1|=1,|−0.5|=0.5,|−|=; (2)因为在点A,B,C,D中，点C离原点最近，所以在有理数a,b, c,d 中，c 的绝对值最小. 【设计意图】这一环节通过“图形—符号—性质”链条，引导学生多视角理解绝对值，同时借助多层练习促进迁移和应用，培养数形结合思想。 1.点M在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离小于4，则点M表示的数可以是（   ） A．6 B．3 C．−3.8 D．−6 【分析】到原点的距离表示该数的绝对值．根据数轴上点的特点进行解答即可 解：点M在数轴上表示的数为负数，且点M到原点的距离小于4，则点M表示的数大于−4， ∴点M表示的数可以是−3.8． 故选：C． 2.关于|1−a|的说法不正确的是（ ） A. 1与a的差的绝对值 B. 1到a的距离 C. a到1的距离 D. 1与a的差的相反数 解：A、|1−a|表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、|1−a|表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、|1−a|表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为−(1−a)，而当1−a≥0时，|1−a|=1−a 当1−a<0时，|1−a|=−(1−a)，原说法错误，符合题意； 3.计算：−|−(−2)−2|=___________． 【分析】先计算括号内的负负得正，得到2，然后计算绝对值内的差值为0，绝对值为0，最后取负得0． 解：计算：−(−2)=2，则原式变为 −|2−2|， 计算绝对值内：2−2=0，故 |0|=0， 最后取负：−0=0. 4. 若|x|=−x，则x一定是（ ） A．负数  B．正数  C．非负数  D．非正数 解：∵ |x|=−x， 当x>0时，|x|=x，不满足条件； 当x=0时，|0|=0=−0，满足条件； 当x<0时，|x|=−x，满足条件； ∴ x≤0，即x为非正数 5.已知|−a|=a−，请写一个符合条件的整数a=_______． 【分析】根据绝对值的意义，得到a−≥0，进而得到a≥，写出一个整数a的值即可． 解：∵|−a|=a−≥0， ∴a≥， ∴符合条件的一个整数a=3； 故答案为：3（答案不唯一） 6．小贝认为：若有理数 a，b 满足 |a|>|b|，则 a>b．小贝的观点正确吗？请说明理由． 解：小贝的观点不正确． 理由如下： 因为当 a=−2,b=−1 时，|−2|>|−1| 但是 −2<−1， 所以若 |a|>|b| 则 a>b 不一定成立 所以小贝的观点不正确． 7．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且A、B两点之间的距离可以表示为AB，则AB=|a−b|（或|b−a|）． （1）求|5−(−3)|=___； （2）|x−4|+|x+3|的最小值是多少？ 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键. 解：（1）∵|5−(−3)|表示5，−3所对应的点之间的距离， ∴|5−(−3)|=|5+3|=|8|=8 （2）|x−4|+|x+3|可以看作x对应的点到4和−3对应的点的距离之和， 当x<−3时，则x−4<0，x+3<0， ∴|x−4|+|x+3|=−(x−4)−(x+3)=−x+4−x−3=−2x+1 ∵x<−3， ∴−2x+1>7； 当−3≤x≤4时，则x−4≤0，x+3≥0， ∴|x−4|+|x+3|=−(x−4)+(x+3)=−x+4+x+3=7； 当x>4时，则x−4>0，x+3>0， ∴|x−4|+|x+3|=(x−4)+(x+3)=x−4+x+3=2x−1， ∵x>4， ∴2x−1>7； ∴|x−4|+|x+3|的最小值为7 【设计意图】巩固练习按“判断—选择—计算—填空—反驳”阶梯递进，满足由易到难、由点到面的训练原则。 主板书 1.2.4 绝对值 探究点1：绝对值的几何意义 探究点2　绝对值的代数意义 探究点3：绝对值的性质深化 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $