巧用“奇穿偶回”速解新高考全国卷一类函数题讲义-2026届高三数学二轮复习

巧用“奇穿偶回”速解新高考全国卷一类函数题 1、 方法梳理 1. 定义：函数有零点，且为重根.当为奇数时，函数的图像在处图像穿过轴,如图1-1；当为偶数时，函数的图像在处图像不穿过轴而回头，如图1-2.我们把这种性质称之为函数图像的“奇穿偶回”性质.借助这个性质可以快速作出函数的草图，借助图像的形秒解象2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题和2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题这类函数问题. 2. 图例 ，零点1处图像“回”,零点-1处图像“穿” （2） ，零点1处图像“回”,零点2处图像“穿” （3),零点0处图像“回”,零点1处图像“穿” 二、高考中应用 例1．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 例2．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题）若是函数的极值点，则___________ 三、专项训练 1．若不等式对任意恒成立，则 . 2．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________． 3．设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 4．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5．已知e为自然对数的底数，设函数，则（ ） A．当时，在处取到极小值 B．当时，在处取到极大值 C．当时，在处取到极小值 D．当时，在处取到极大值 2、 应用举例 例1.若不等式对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 例2.若不等式对任意恒成立，则 . 例3.(2012年浙江理）设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________． 例.设，若对任意，都有，则= ，____________. 例4、 已知函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图像关于点成中心对称 B.的图像关于直线对称 C.的最大值为 D.既是奇函数，又是周期函数 例5.已知函数，，当时，，则 实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例6．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巧用“奇穿偶回”速解新高考全国卷一类函数题 1、 方法梳理 1. 定义：函数有零点，且为重根.当为奇数时，函数的图像在处图像穿过轴,如图1-1；当为偶数时，函数的图像在处图像不穿过轴而回头，如图1-2.我们把这种性质称之为函数图像的“奇穿偶回”性质.借助这个性质可以快速作出函数的草图，借助图像的形秒解象2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题和2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题这类函数问题. 2. 图例 ，零点1处图像“回”,零点-1处图像“穿” （2） ，零点1处图像“回”,零点2处图像“穿” （3),零点0处图像“回”,零点1处图像“穿” 二、高考中应用 例1．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【分析】根据奇穿偶回，即可得，代入可得最值. 【解析】由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； ，对恒成立，当时，当时 的图像向下不可能穿过轴而是体现“回”的性质 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 例2．（2025年新高考全国Ⅱ卷数学第13题）若是函数的极值点，则___________ 【分析】由极值的定义可知，函数在左右两侧的函数值必定同号，即函数的图像不可能穿过而是体现“回”的性质，是的二重根，可求解，再代入即可求解. 【解析】由题意有， 是的极值点 函数在左右两侧的函数值必定同号 当时，当时 函数的图像不可能穿过而是体现“回”的性质 是的二重根 得， 所以. 故答案为：. 评析：利用奇穿偶回解上述两道全国Ⅱ卷的高考题，可以说是秒解，拿到试卷正式开考前5分钟口算就可以解决的问题，象2025年第13题根本不用求导，2024年的第8题不用分类讨论了. 三、专项训练 1．若不等式对任意恒成立，则 . 分析：由奇穿偶回，必为两重根， 2．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________． 分析：由奇穿偶回为两重根，代入得 3．设，若为函数的极大值点，则（ ） A. B. C. D. 分析：奇穿偶回得或,故选D 4．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 分析：利用奇穿偶回画图可知，当时，在处取得极大值，当时，在处取得极小值，故选A． 5．已知e为自然对数的底数，设函数，则 A．当时，在处取到极小值 B．当时，在处取到极大值 C．当时，在处取到极小值 D．当时，在处取到极大值 分析：利用奇穿偶回画图可知，当时，和都是一重根，在处无极值；当时，为的二重根，显然在处取到极小值．故选C 2、 应用举例 例1.若不等式对任意的恒成立，则（ ） A. B. C. D. 例2.若不等式对任意恒成立，则 . 例3.(2012年浙江理）设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________． 例.设，若对任意，都有，则= ，____________. 例4、 已知函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图像关于点成中心对称 B.的图像关于直线对称 C.的最大值为 D.既是奇函数，又是周期函数 例5.已知函数，，当时，，则 实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例6．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第8题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $$