第一单元 长方体和正方体（易错思维训练）数学苏教版六年级上册

第一单元 长方体和正方体（易错思维训练） 1．如图，一个长方体蛋糕盒，底面是边长30厘米的正方形，高25厘米。做这样一个蛋糕盒至少需要（ ）平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要（ ）分米的彩带。 【答案】48 24 【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据分别代入公式解答；100平方厘米＝1平方分米，据此换算单位。 长方体蛋糕盒的2个长、2个宽、4个高、打结处的长度合起来就是彩带的长度。据此解答即可。10厘米＝1平方分米，据此换算单位。 【解答】（30×30＋30×25＋30×25）×2 ＝（900＋750＋750）×2 ＝2400×2 ＝4800（平方厘米） 4800平方厘米＝48平方分米 2×30＋2×30＋4×25＋20 ＝60＋60＋100＋20 ＝220＋20 ＝240（厘米） 240厘米＝24分米 所以，做这样一个蛋糕盒至少需要48平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要24分米的彩带。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 2．如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】700 1000 【分析】看图可知，正方形纸板的边长包含2条高和2条宽，宽是高的2倍，根据和倍问题的解题方法，正方形边长÷（1＋1＋2＋2）＝高，高×2＝宽，正方形边长－高×2＝长，据此确定长方体的长、宽、高。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【解答】高：30÷（1＋1＋2＋2） ＝30÷6 ＝5（厘米） 宽：5×2＝10（厘米） 长：30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 表面积：（20×10＋20×5＋10×5）×2 ＝（200＋100＋50）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 体积：20×10×5＝1000（立方厘米） 它的表面积是700平方厘米，体积是1000立方厘米。 【点评】关键是掌握和倍问题的解题方法，先确定长、宽、高，再灵活运用长方体表面积和体积公式。 3．如图，11个棱长为1分米的小正方体木块摆放在地面上，组成一个“2”字，现要在“2”字的表面（与地面接触的面除外）涂上油漆，需涂油漆的面共 平方分米。 【答案】35 【分析】通过观察，与上面平行的小正方形面有11个，与正面平行的小正方形面有（7×2）个，与侧面平行的小正方形面有（5×2）个，将所有小正方形面相加，即可求出总共需要喷漆的面，再乘每个小正方形面的面积即可。 【解答】与上面平行：11个； 与正面平行：7×2＝14（个） 与侧面平行：5×2＝10（个） 需喷油漆的面共： （11＋14＋10）×（1×1） ＝35×1 ＝35（平方分米） 需涂油漆的面共35平方分米。 【点评】解答本题的关键是计算出小正方形面的总个数，注意总个数不包括底面。 4．一个长方体木块，从上部和底部分别截去高为4cm的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了160cm2，原来长方体的体积是（ ）dm3。 【答案】0.325 【分析】根据题意可知，从上部和底部分别截去高为4cm的长方体，就相当于从上部截去高为8cm的长方体。减少的表面积是高为8cm的长方体的侧面积，且长方体的底面是正方形，所以截去的长方体的侧面相当于是4个完全一样的长方形，则增加的表面积÷4＝一个侧面的面积，一个侧面的面积÷8＝原来长方体的底面边长，所以原来长方体的高是底面边长加上8cm，最后根据长方体的体积公式求体积即可。 【解答】减少的长方体的高：4＋4＝8（cm） 一个侧面面积：160÷4＝40（cm2） 底面边长：40÷8＝5（cm） 原来长方体体积：5×5×（5＋8） ＝5×5×13 ＝325（cm3） ＝0.325（dm3） 原来长方体的体积是0.325dm3。 【点评】本题考查长方体的表面积和体积，需掌握长方体的表面积和体积计算公式。解答本题的关键是求出长方体底面边长。 5．两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是（ ）dm2。 【答案】256 【分析】大正方体与小正方体接触的面如图，画两条辅助线如图，将大正方方体一个面平均分成8份，小正方体一个面占4份，即大正方体一个面是小正方体一个面的2倍，小正方体一个面的面积×2＝大正方体一个面的面积，大正方体一个面的面积×6＝大正方体表面积，大立体图形的表面积＝大正方体表面积＋小正方体4个面的面积，据此列式计算。 【解答】16×2×6＋16×4 ＝192＋64 ＝256（dm2） 这个大立体图形的表面积是256dm2。 【点评】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式，看懂大正方体一个面的面积和小正方体一个面的面积之间的关系，先确定大正方体一个面的面积。 6．一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降（ ）厘米。  【答案】2.5 【分析】设B升高了x厘米，则A下降了（4－x）厘米；B 升高部分的体积等于A下降部分的体积；根据长方体体积公式：体积＝底面积×高；A下降部分的体积是：15×（4－x）立方厘米；B升高部分的体积是：25x立方厘米；列方程：15×（4－x）＝25x，解方程，即可解答。 【解答】解：设B升高了x厘米；则A下降了（4－x）厘米。 15×（4－x）＝25x 15×4－15x＝25x 25x＋15x＝60 40x＝60 x＝60÷40 x＝1.5 A下降：4－1.5＝2.5（厘米） 【点评】本题考查方程的实际应用，利用A下降部分的体积等于B升高部分的体积，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 7．一只蚂蚁在棱长12厘米的正方体顶点A处，它只能沿着正方体的棱爬行，并且每条棱最多只能经过一次，蚂蚁最多能爬行（ ）厘米。    【答案】108 【分析】从A出发沿着棱前进，移动到每个顶点的时候都有两种选择，每次选择都避开返回已走过顶点的棱即可，画出图形解答即可。 【解答】如图：    最多走过9条棱， 12×9＝108（厘米） 蚂蚁最多能爬行108厘米。 【点评】本题主要考查了最大与最小，数形结合是本题解题的关键。 8．有一个长方体玻璃鱼缸（如图所示）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，鱼缸内有（ ）立方厘米的水，水与玻璃接触的面积是（ ）平方厘米。 【答案】1500 650 【分析】第一空，由题可知长方体的长、宽、高分别为15厘米、10厘米、20厘米，一组相对的面出现正方形的面为侧面，因为宽的长度最小，水面涨到10厘米的时候刚好出现一个正方形，这时候水占用长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高可得水的体积为15×10×10＝1500立方厘米；第二空，水与玻璃接触的面：前面和后面面积共为15×10×2＝300平方厘米；左面和右面面积共为10×10×2＝200平方厘米；底面面积为15×10＝150平方厘米，最后几个面相加可得面积为300＋200＋150＝650平方厘米。 【解答】水的体积： 15×10×10＝1500（立方厘米） 表面积： 15×10×2＋10×10×2＋15×10 ＝300＋200＋150 ＝650（立方厘米） 【点评】此题为长方体表面积与体积的变型应用，要思考什么时候才能形成正方形为解题的关键点，这里要抓住最短边来解题，因为水在上升过程中，高度最先达到最短边的长度，这时候正方形就出来了；其次在算水与玻璃表面积的时候，需要注意水并没有接触到顶面，所以最顶面的面积是不算的。 9．如图所示不是正方体表面展开图的是（    ）。 A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据正方体展开图的11种形式，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断即可。 正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【解答】由分析可知： A是”结构，所以是正方体表面展开图； B是“”结构，所以是正方体表面展开图； C是“”结构，所以是正方体表面展开图； D是凹字形，会出现重叠现象，所以不是正方体表面展开图。 故选：D 【点评】本题考查正方体的展开图，意在培养学生的观察能力和空间想象能力；注意只要有“田”字形、“凹”字形的一定不是正方体的展开图。 10．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】D 【分析】根据正方体的特征可知，相对的面不相邻；因为骰子只能向前，不能后退，所以有四种翻转路径，分四种情况讨论。 【解答】如图： 路径一：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到位置②处，2点在下，则5点在上；滚动到③处，3点在下，则4点在上。 路径二：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到④处，3点在下，则4点在上；滚动到③处，2点在下，则5点在上。 路径三：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到③处，4点在下，则3点在上。 路径四：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到①处，5点在下，则2点在上；滚动到②处，4点在下，则3点在上；滚动到③处，1点在下，则6点在上。 所以最后朝上的可能性有3、4、5、6点，而不会出现1、2点。 故答案为：D 【点评】本题考查正方体的特征，学生可以动手进行实物操作，培养学生的空间观念。 11．张叔叔找来一些铁棒准备焊长方体框架，长度是5分米的铁棒有5根，长度是6分米的铁棒有8根，长度是7分米的铁棒有3根，长度是8分米的铁棒有7根，他可以焊（    ）种不同形状的长方体框架。（每条三棱上只用一根铁棒） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，组成长方体的长、宽、高各需要4根，则每4根长度相同的铁棒为一组，要求有3组，其中5分米的铁棒有一组，6分米的铁棒有两组，8分米的铁棒有一组，7分米的铁棒不够4根故舍弃，从满足条件的四组中任意选择三组组成长方体。 【解答】由分析可知，从满足条件长方体有三组即： （1）5分米、6分米和8分米； （2）5分米、6分米和6分米； （3）8分米、6分米和6分米。 故答案为：B 【点评】本题关键是利用长方体的特征对铁棒进行合理的分配。 12．下图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．96 B．116 C．128 D．132 【答案】B 【分析】观察图可知：最后得到的立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋两个小正方体4个侧面面积的和，将数值代入正方体表面积公式中计算即可。 【解答】最后得到的立方体图形的表面积： 42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方厘米） 故答案为：B 【点评】本题考查正方体表面积公式的应用，关键要理解求得是哪几个面的面积和。 13．一张长方形纸，长28厘米，把它对折再对折，打开后围成一个高12厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，面积是（    ）。 A．49平方厘米 B．21平方厘米 C．9平方厘米 D．无法确定 【答案】A 【分析】要使得对折两次展开后可以围成一个高12厘米的长方体的侧面，那么两次对折的方向一致，长方体的侧面的一条边是7厘米，一条边是12厘米，底面是边长为7厘米的正方形。 【解答】（厘米） （平方厘米） 底面积是49平方厘米，故答案选A。 【点评】在长方体中，如果四个侧面是完全相同的长方形，那么底面是正方形。 14．一个长方体的底面周长是20厘米，左面面积是20平方厘米，前面面积是30平方厘米，则下面面积是（    ）平方厘米 A．20 B．30 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，左面面积＝宽×高，前面面积＝长×高，据此找出长宽高的关系，分别求出它们的长度，下面面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【解答】根据题意可知，在长方体中，（长＋宽）×2＝20（厘米），宽×高＝20（平方厘米），长×高＝30（平方厘米），由此可知： 宽×高＋长×高 ＝高×（长＋宽） ＝20＋30 ＝50（平方厘米） 因为长＋宽＝20÷2＝10（厘米） 所以高＝50÷10＝5（厘米） 宽：20÷5＝4（厘米） 长：30÷5＝6（厘米） 则下面的面积＝长×宽＝6×4＝24（平方厘米） 故选择：C 【点评】此题考查有关长方体表面积的计算，明确每个面的计算方法，先求出长方体的高是解题关键。 15．如图，把这个长方体切成两个小长方体，下面说法不正确的是（    ）。 A．体积不变，表面积增加40平方厘米 B．体积不变，表面积增加48平方厘米 C．体积不变，表面积增加50平方厘米 D．体积不变，表面积增加60平方厘米 【答案】C 【分析】由于切割的方向不同，表面积增加的多少也不相同，分情况讨论。 【解答】 按第①种方法切，增加的表面积是（平方厘米）； 按第②种方法切，增加的表面积是（平方厘米）； 按第③种方法切，增加的表面积是（平方厘米）； A、B、D正确，C错误，故答案选C。 【点评】长方体每切一次，增加两个面，每拼接一次，减少两个面。 16．有10、8、5的小棒若干根，用橡皮泥做成不同的长方体或正方体框架（每条棱只用一根小棒），一共可以做（    ）种。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】正方体的棱长相等，每种棱长都可以组成一个正方体，可以组成3种，长方体的长、宽、高可以不同，列举出所有可能，最后加起来即可得解。 【解答】如果搭成正方体，有三种搭法，也就是棱长分别为10、8、5； 如果搭成长方体，长宽高可以分别为：（10，8，5）；（10，8，8）；（10，5，5）；（10，10，8）；（10，10，5）；（8，8，5）；（8，5，5）；有7种搭法。 所以总共3＋7＝10（种） 故答案为：D。 【点评】本题主要考查长方体正方体棱的关系，正方体每条棱都相等，长方体的长宽高可以不同。 17．求下图的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】表面积：216平方分米； 体积：208立方分米 【分析】根据题意，去掉小正方体，表面积不变；体积就是原来大正方体的体积减去去掉的小正方体的体积，据此列式解答。 【解答】表面积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方分米） 体积： 6×6×6－2×2×2 ＝216－8 ＝208（立方分米） 18．如图：正方体的三个面上有不同的图案，请你在图2这个正方体展开图相应的面上画出这三个图案。 【答案】 【分析】正方体上的3个图案两两相邻，所以在正方体展开图上面，这3个图案不能处在相对的位置。 【解答】展开后可以是如图所示的形式，且中间一行的“○”和“×”可以整体向左移动，也是可以的； 或者也可以是如下的形式，此时“◇”和“×”可以整体向右移动，也是可以的。 【点评】本题考查的是正方体的展开图，对于空间想象能力的要求比较高，可以动手实践，进行求证。 19．张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 【答案】先把2本字典最大的面拼在一起，再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起；1440平方厘米 【分析】 要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 答：需要牛皮纸的面积是1440平方厘米。 【点评】解答本题的关键是先把2本字典拼成一个长方体，再把拼后的两个长方体的最大面拼在一起，进而利用长方体表面积公式进行解答。 20．一个长方体木块，如果它的高减少3分米，那么就成为一个正方体，这是它的表面积减少72平方分米。求原来长方体的表面积。 【答案】288平方分米 【分析】根据题意，长方体木块的高减少3分米，表面积减少72平方分米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是3分米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上3分米，求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据计算，求出原来长方体的表面积。 【解答】原来长方体的长、宽是： 72÷4÷3 ＝18÷3 ＝6（分米） 原来长方体的高是：6＋3＝9（分米） 原来长方体的表面积： （6×6＋6×9＋6×9）×2 ＝（36＋54＋54）×2 ＝144×2 ＝288（平方分米） 答：原来长方体的表面积是288平方分米。 【点评】本题考查长方体表面积公式的应用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。 21．在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】 如图，将正方体分成高AB和高BC两个长方体部分，流出的水的体积是高BC部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，乘2是高BC部分的容积；正方体容器的容积－高BC部分的容积＝高AB部分的容积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出AB的长。 【解答】10×10×10＝1000（立方厘米） 20×20×20－1000×2 ＝8000－2000 ＝6000（立方厘米） 6000÷（20×20） ＝6000÷400 ＝15（厘米） 答：图中线段AB的长是15厘米。 【点评】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 22．在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 【答案】486个 【分析】根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×（棱长－2），可得大正方体的棱长；接下来再根据一面涂色的小正方体的个数＝正方体的面数×（棱长－2）即可得到答案。 【解答】正方体的棱长： 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（厘米） 只有一面涂红色： ＝ ＝（个） 答：只有一面涂色的小正方体有486个。 【点评】本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×（棱长－2），求出大正方体的棱长。 23．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】根据题意，长方体内水的体积不变，以容器的右侧面为底竖直摆放，也就是改变水的底面为宽和高围成的长方形，根据：水的体积＝长×宽×高，水的高＝水的体积÷（高×宽）计算出结果即可，宽未知可以用字母代替计算。 【解答】设长方体容器的宽为b厘米。 20×b×6÷（10×b） ＝120b÷10b ＝12（厘米） 答：此时容器内水高12厘米。 【点评】此题考查了长方体的体积运用，关键能灵活运用等体积变形知识以及字母表示数进行解答。 24．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 【答案】6750毫升 【分析】根据题意，裁剪一块长方形铁皮焊接成一个底面是正方形的无盖长方体，则少上面，共有5个面，且底面是正方形，4个侧面完全相同。 从图中可知，把长方形的长边平均分成两半，这样左右两边都是边长为30厘米的正方形，左边的正方形作为长方体的底面，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积； 把右边的正方形再平均分成4个小长方形，这4个小长方形作为长方体的侧面，用30÷4即可求出长方体的高； 最后根据公式V＝Sh，以及进率：1立方厘米＝1毫升，求出这个无盖长方体容器的容积。 【解答】正方形的边长：60÷2＝30（厘米） 长方体的高：30÷4＝7.5（厘米） 长方体的体积： 30×30×7.5 ＝900×7.5 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6750毫升 答：这个长方体容器的容积是6750毫升。 【点评】本题考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，找出长方体容器的底面积和高是解题的关键。 25．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？ 【答案】54平方分米；18立方分米；46个 【分析】（1）边长1分米的正方形面积是1平方分米，相对的面小正方形的个数相等，观察正面、上面和右面小正方形的个数，将正面、上面和右面小正方形的个数相加并乘2，是这个几何体表面小正方形总个数，即表面积； （2）棱长1分米的正方体体积是1立方分米，共有4层，确定每层小正方体个数并相加，是小正方体总个数，即体积； （3）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出棱长4分米大正方体中小正方体的个数，减去现有小正方体的个数即可。 【解答】（10＋7＋10）×2×（1×1） ＝27×2×1 ＝54（平方分米） （1＋2＋5＋10）×（1×1×1） ＝18×1 ＝18（立方分米） 4×4×4－18 ＝64－18 ＝46（个） 答：这个拼摆而成的几何体的表而积是54平方分米，体积是18立方分米，至少要再摆上46个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体。 【点评】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。 26．下图是一个无盖的玻璃鱼缸的其中两个面。 （1）做这个鱼缸最多要用多少平方分米的玻璃？ （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，塑胶条长多少分米？ （3）这个鱼缸最多能盛水多少升？ 【答案】（1）128平方分米 （2）18分米 （3）120升 【分析】从图中可知，这个无盖的玻璃鱼缸是一个长方体，三条棱长分别是6分米、5分米和4分米。 （1）求做一个无盖玻璃鱼缸需要玻璃的面积，即是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和； 这个长方体中面积最大的面是（6×5），最小的面是（5×4），要使做这个鱼缸用的玻璃面积最多，那么让面积最小的面做鱼缸的底面，少上面也就是缺少最小的面，这样鱼缸用的玻璃面积最多； 由此可知，这个长方体鱼缸的长是5分米、宽是4分米、高是6分米；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和即可。 （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，求塑胶条的长度，就是求长5分米、宽4分米的长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算求解。 （3）求这个鱼缸最多能盛水多少升，就是求这个鱼缸的容积，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”，即可求解。 【解答】（1）5×4＋5×6×2＋4×6×2 ＝20＋60＋48 ＝128（平方分米） 答：做这个鱼缸最多要用128平方分米的玻璃。 （2）（5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（分米） 答：塑胶条长18分米。 （3）5×4×6＝120（立方分米） 120立方分米＝120升 答：这个鱼缸最多能盛水120升。 【点评】（1）明确无盖玻璃鱼缸缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，要使长方体的表面积最大，那么用面积最小的面做底面，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 （2）本题考查长方形周长公式的运用。 （3）本题考查长方体体积（容积）公式的运用以及体积、容积单位的换算。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 长方体和正方体（易错思维训练） 1．如图，一个长方体蛋糕盒，底面是边长30厘米的正方形，高25厘米。做这样一个蛋糕盒至少需要（ ）平方分米硬纸板；如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来，打结处长20厘米，那么一共需要（ ）分米的彩带。 2．如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 3．如图，11个棱长为1分米的小正方体木块摆放在地面上，组成一个“2”字，现要在“2”字的表面（与地面接触的面除外）涂上油漆，需涂油漆的面共 平方分米。 4．一个长方体木块，从上部和底部分别截去高为4cm的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了160cm2，原来长方体的体积是（ ）dm3。 5．两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是（ ）dm2。 6．一块橡皮泥模型（如图）由长方体A和长方体B组成。长方体A上面的面积是15平方厘米，长方体B上面的面积是25平方厘米，长方体A比长方体B高4厘米。如果从A上端取一部分橡皮泥补到B上，使得A、B两长方体一样高。A的高度将下降（ ）厘米。  【答案】2.5 7．一只蚂蚁在棱长12厘米的正方体顶点A处，它只能沿着正方体的棱爬行，并且每条棱最多只能经过一次，蚂蚁最多能爬行（ ）厘米。    8．有一个长方体玻璃鱼缸（如图所示）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，鱼缸内有（ ）立方厘米的水，水与玻璃接触的面积是（ ）平方厘米。 9．如图所示不是正方体表面展开图的是（    ）。 A．   B．   C．   D．   10．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．1 11．张叔叔找来一些铁棒准备焊长方体框架，长度是5分米的铁棒有5根，长度是6分米的铁棒有8根，长度是7分米的铁棒有3根，长度是8分米的铁棒有7根，他可以焊（    ）种不同形状的长方体框架。（每条三棱上只用一根铁棒） A．2 B．3 C．4 D．5 12．下图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是（    ）平方厘米。 A．96 B．116 C．128 D．132 13．一张长方形纸，长28厘米，把它对折再对折，打开后围成一个高12厘米的长方体的侧面，如果要为这个长方体配一个底面，面积是（    ）。 A．49平方厘米 B．21平方厘米 C．9平方厘米 D．无法确定 14．一个长方体的底面周长是20厘米，左面面积是20平方厘米，前面面积是30平方厘米，则下面面积是（    ）平方厘米 A．20 B．30 C．24 D．36 15．如图，把这个长方体切成两个小长方体，下面说法不正确的是（    ）。 A．体积不变，表面积增加40平方厘米 B．体积不变，表面积增加48平方厘米 C．体积不变，表面积增加50平方厘米 D．体积不变，表面积增加60平方厘米 16．有10、8、5的小棒若干根，用橡皮泥做成不同的长方体或正方体框架（每条棱只用一根小棒），一共可以做（    ）种。 A．4 B．6 C．8 D．10 17．求下图的表面积和体积。（单位：分米） 18．如图：正方体的三个面上有不同的图案，请你在图2这个正方体展开图相应的面上画出这三个图案。 19．张华要给希望小学的孩子们寄去4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，请你设计出最省纸的包装方法，并计算出需要牛皮纸的面积。（接头处忽略不计） 20．一个长方体木块，如果它的高减少3分米，那么就成为一个正方体，这是它的表面积减少72平方分米。求原来长方体的表面积。 21．在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 22．在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 23．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 24．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 25．下图是由棱长1分米的正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的几何体的表面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？至少要再摆上多少个这样的正方体就可以拼摆成一个棱长为4分米的大正方体？ 26．下图是一个无盖的玻璃鱼缸的其中两个面。 （1）做这个鱼缸最多要用多少平方分米的玻璃？ （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，塑胶条长多少分米？ （3）这个鱼缸最多能盛水多少升？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$