1.3正方形的性质与判定第2课时（教学设计）数学北师大版九年级上册

1.3 正方形的性质与判定（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》第三节“正方形的性质与判定”第2课时，内容包括：正方形的判定定理和中点四边形。 2.内容解析 本节课内容是在学生学习了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定以及三角形中位线定理之后的深化拓展。正方形的判定定理是基于平行四边形、矩形、菱形的性质，进一步明确了成为正方形所需满足的特定边、角及对角线条件，完善了正方形概念体系。通过对正方形判定的探究，渗透了从一般到特殊的归纳思想，以及将四边形问题转化为三角形问题的转化思想。正方形的判定定理是对特殊平行四边形判定的综合运用，而中点四边形的学习建立在对各类四边形性质和判定充分理解的基础上，对中点四边形的研究则体现了类比思想，引导学生通过对比不同原四边形的中点四边形特征总结规律。为后续更复杂的几何图形研究奠定基础，起到承上启下的作用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握正方形的判定定理并能灵活运用，同时理解中点四边形的形状与原四边形对角线的位置和数量关系之间的联系。 1.教学目标 （1）通过探究和应用正方形的判定定理，能准确判断一个四边形是否为正方形并解决相关几何问题，发展逻辑推理素养和几何直观素养； （2）通过研究中点四边形与原四边形对角线的关系，能分析不同中点四边形的形状特征，发展空间观念和数学抽象素养。 2.目标解析 （1）可依据矩形、菱形的特性，熟练选用合适的判定定理，对给定四边形是否为正方形作出准确判定；在解决与正方形相关的证明、计算等几何问题时，能清晰梳理推理过程，借助图形直观分析边角及对角线关系，逻辑连贯地得出结论。 （2）能运用三角形中位线定理，分析任意四边形、矩形、菱形、正方形等原四边形的对角线的位置（垂直与否）和数量（相等与否）关系，进而准确推断出其中点四边形的形状；可从具体实例中抽象出 “中点四边形形状由原四边形对角线关系决定” 的规律，并用简洁的语言或符号进行概括，在脑海中构建不同四边形与其中点四边形的空间关联。 学生在之前的学习中，已经系统掌握了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定方法，对三角形中位线定理的内容及应用也有了一定了解，能够结合这些知识解决一些简单的几何问题，对特殊平行四边形的边、角、对角线特征有初步的认知框架。不过，由于正方形是特殊的矩形和菱形，学生在理解其与矩形、菱形的从属关系时，容易出现概念混淆，比如在判断 “有一个角是直角的平行四边形是正方形” 这类错误表述时，可能难以快速辨析，对 “既是矩形又是菱形的四边形是正方形” 这一本质定义的理解不够深入。在综合运用判定定理时，面对复杂的几何图形，学生往往难以准确筛选出有效的条件，比如在给定对角线关系的矩形或菱形中，不能迅速关联到对应的判定定理，推理过程缺乏条理性。对于中点四边形的学习，虽然学生知道三角形中位线平行且等于第三边的一半，但将其与原四边形对角线的位置（垂直与否）和数量（相等与否）关系联系起来时，存在思维断层，难以从具体的图形实例中抽象出一般性规律，尤其是面对非特殊四边形的中点四边形时，容易忽略对角线的作用而仅凭直观感受下结论，同时在复杂图形中准确识别中点四边形与原四边形的对应关系也存在一定困难。 1.针对学生理解正方形与矩形、菱形从属关系易混淆的问题，可借助集合关系图直观呈现三者与平行四边形的包含关系，通过对比 “矩形 + 邻边相等 = 正方形”“菱形 + 直角 = 正方形” 的具体实例，强化对本质定义的认知，同时设计辨析题，引导学生结合图形分析错误原因。​ 2.对于综合运用判定定理时条件筛选困难的情况，采用 **“条件 — 图形 — 结论” 联动训练 **：先给出不同图形（含矩形、菱形及对角线特征），让学生标注已知条件，再对应匹配判定定理；通过典型例题示范推理过程，要求学生用 “因为…… 所以…… 根据……” 的句式表述，逐步培养逻辑条理性。 3.面对中点四边形与原四边形对角线关系关联断层的问题，从动手操作切入：让学生画出不同四边形及其中点四边形，测量原四边形对角线和中点四边形边角，记录数据后小组讨论规律；结合三角形中位线定理，用几何画板动态演示原四边形对角线变化时中点四边形的形状改变，直观验证 “对角线相等→中点四边形邻边相等”“对角线垂直→中点四边形内角为直角” 的结论，再通过分层练习（从特殊到一般四边形）巩固认知。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确理解正方形与矩形、菱形的从属关系并灵活运用正方形判定定理解决复杂问题，清晰把握中点四边形形状与原四边形对角线位置和数量关系的内在联系并据此分析其形状。 1.复习回顾 “上节课我们学习了正方形的定义和性质，请同学们回忆： （1） 正方形的定义是什么？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. （2） 正方形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的一般性质外，还有哪些独特性质？” 边：四条边相等； 角：正方形的四个角都是直角； 对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分.； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（4条对称轴）。 （设计意图：聚焦上一节正方形的性质，强化学生对正方形特征的记忆，为本节课探究其判定定理提供性质层面的支撑，使学生明确 “性质” 与 “判定” 的逻辑关联。） （教学建议：在学生回答问题时，对于表述不完整或不准确的地方，教师要及时纠正和补充。表格可以提前准备好框架，出示正方形图形辅助提问，对学生回答中的遗漏点，用 “还有补充吗？”“从对角线角度再想想” 等引导性语言提示，确保复习全面。） 2.情景引入 提问：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样才能剪出一个正方形? 提示：只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形. 追问：你能说出你的理由吗？如何判定一个四边形是正方形呢？ （设计意图：从具体图形入手，通过直观图形引发学生对正方形判定条件的初步猜想，符合 “观察 — 猜想 — 验证” 的探究思路，能够激发学生的学习兴趣和探究欲望，让学生主动参与到新知识的学习中来。） （教学建议：让学生结合图形自主思考，鼓励用矩形、菱形的定义尝试解释自己的判断。给学生充足的思考时间，让他们自由表达想法，对于不同的观点，引导学生进行辩论，在辩论中加深对问题的理解，教师不急于给出答案，而是适时引导。） 探究点1　正方形的判定 1.定义法 类比平行四边形、矩形和菱形,正方形的定义也是判定正方形的一种方法. 定义法： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 练一练 1.下列说法中，依据正方形的定义能判定一个平行四边形是正方形的是（ C ）​ A. 对角线互相平分的平行四边形​ B. 一组对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形​ C. 一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形​ D. 对角线相等且互相垂直的平行四边形 2.议一议 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴进行交流. 猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形. 验证猜想： （1）求证：有一组邻边相等的矩形是正方形. 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义). （2）求证：对角线互相垂直的矩形是正方形. 如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC平分BD. ∵AC⊥BD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形). （3）求证：有一个角是直角的菱形是正方形. 如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=90°. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC. ∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义). （4）求证：对角线相等的菱形是正方形. 如图,已知菱形ABCD的对角线为AC,BD,AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵AB=BA,BD=AC, ∴△ABD≌△BAC, ∴∠DAB=∠CBA. ∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠CBA=180°, ∴∠DAB=∠CBA=90°, ∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 归纳总结： 正方形的判定定理： 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形. 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形. 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 定理4：对角线相等的菱形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. （设计意图：让学生经历定理的形成过程，注重培养学生的逻辑推理能力。在讨论和推导过程中，让学生深刻理解正方形判定定理的由来，不仅知其然，更知其所以然，同时拓展结论能够开阔学生的思维。） （教学建议：按照问题链引导讨论，每个问题都让学生充分发表自己的见解，结合矩形和菱形的性质进行分析。对于拓展结论，让学生仿照定理推导过程自主证明，在证明过程中，教师巡回指导，对有困难的学生给予提示，如引导学生从对角线的性质入手，加深对结论的理解。） 练一练 2.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：    AB=AD(答案不唯一) ,可使它成为正方形.  3.如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB=AD，②AC=BD，③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是　②　.(填序号)  探究点2　中点四边形 1.做一做 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正方形（如图），以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明． 任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。 证明：连接正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD，交于点 O。​ 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC.​ 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC； ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD.​ 在△ABD中，∵ A1、D1 分别是 AB、AD 的中点， ∴ A1D1∥BD，且 A1D1=BD.​ ∴ A1B1=A1D1 ，A1B1⊥A1D1. ∴四边形A1B1C1D1是正方形.（正方形的定义） 2.议一议 （1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ （2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？ 新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关. 当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形; 当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形; 当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时，新四边形是正方形. 归纳总结： 中点四边形：决定中点四边形的形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系。 （设计意图：通过具体图形操作，让学生直观感知中点四边形与原四边形对角线的关系，注重培养学生的实践能力和归纳总结能力。在操作过程中，让学生亲身体验知识的形成过程，提高学习的积极性和主动性。） （教学建议：可以提供一致的网格纸，让学生按要求规范画图，确保图形的准确性。在测量过程中，指导学生正确使用测量工具，记录准确的数据。对于表格中的空白处，引导学生小组合作完成填写，每个小组推选代表分享小组的发现和结论，其他小组进行补充和完善，培养学生的合作精神和表达能力。） 练一练 4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( C ) AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC 典例分析 例1：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. （教师引导，学生分析） 根据BF∥CE，CF∥BE可判定四边形BECF是平行四边形，再根据矩形的性质和角平分线的性质可得到∠EBC和∠ECB的度数，进而判断出四边形BECF的一个角是直角且一组邻边相等，从而证明四边形BECF是正方形. 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形BECF是平行四边形. 又∵ 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴ ∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴ BE＝CE，∠BEC＝90°， ∴ 四边形BECF是菱形. 又∵ ∠BEC＝90°， ∴ 四边形BECF是正方形. 例2：已知：如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF. 求证:矩形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠ADE=90°, ∴∠ABF+∠AFB=90°. ∵AE⊥BF, ∴∠DAE+∠AFB=90°, ∴∠ABF=∠DAE. 在△ABF和△DAE中, ∵∠ABF=∠DAE,∠BAF=∠ADE=90°,BF=AE, ∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. （设计意图：例题是判定定理的直接应用，通过讲解例题，展示 “判定定理 — 应用” 的逻辑，帮助学生掌握解题规范，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。例题的选择具有代表性，能够涵盖本节课的重点知识，让学生学会举一反三。） （教学建议：让学生先尝试按例题的格式自主书写证明过程，给学生足够的时间独立完成。教师在学生完成后，对照步骤点评，强调 “∵∴” 的推理格式，指出学生在证明过程中存在的问题，如逻辑不清晰、步骤不完整等。对于典型错误，进行集体讲解，让学生明确正确的证明方法。） 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 3.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　 　）. A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 4.顺次连接矩形各边的中点，所得的四边形一定是 （　 　） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． 6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______________(只填写序号)． 7.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分∠ABC , P是BD上一点,过点P作PM⊥AD , PN⊥CD ,垂足分别为M，N. (1) 求证：∠ADB=∠CDB; (2) 若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形. 参考答案 1.D　 2.D 3.A 4.B 5.AB=BC(答案不唯一) 6.②③或①④ 7.证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠ABD=∠CBD. ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB. （2）∵∠ADC=90°， 又∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形. （设计意图：练习紧扣本节课知识点，通过练习巩固判定定理和中点四边形规律，检测学生对内容的掌握程度。不同类型的练习能够满足不同层次学生的需求，让学生在练习中查漏补缺，巩固所学知识。） （教学建议：让学生独立完成练习，教师巡视指导；练习后进行讲解，对易错点重点强调，让学生及时纠正错误。） (设计意图：课堂小结能帮助学生梳理本节课的知识脉络，巩固所学内容，培养学生的归纳总结能力。同时，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足，为后续学习做好准备。) (教学建议：小结时，可采用提问的方式引导学生回顾，也可让学生以小组为单位进行总结，然后选代表发言，培养学生的合作交流能力。) 1.必做题：习题1.8第1-3题。 2.探究性作业：习题1.8第4题。 1.3正方形的性质与判定第2课时 1.正方形的判定 （1） 定义法； （2） 判定定理. 2.中点四边形 3.例题区：（学生板演区域） 本节课教学中，通过集合图和辨析题有效帮助学生厘清了正方形与矩形、菱形的从属关系，但部分学生对判定定理的灵活运用仍显生涩，后续需增加变式训练强化条件关联能力。中点四边形教学中，动手操作与几何画板演示结合，直观性较强，但少数学生对 “对角线关系决定中点四边形形状” 的抽象概括不足，需在例题讲解中更注重引导学生用数学语言总结规律。整体来看，学生参与度较高，但逻辑推理的严谨性仍需提升，后续教学可通过小组互查推理过程、规范证明步骤书写等方式进一步夯实基础。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$