1.3正方形的性质与判定第2课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 1.3 正方形的性质与判定 第2课时 第一章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1.掌握正方形的判定定理，并解决相关问题;（重点） 2.熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断;（难点） 3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用. 知识回顾 1.正方形的定义： 有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形. 邻边 2.正方形的性质： （1）正方形的四个角都是 ； （2）正方形的四条边 ； （3）正方形的对角线 ，互相 ，且每条对角线 . 垂直平分 直角 相等 直角 平行 相等 3.正方形的对称性： 正方形即是 图形，也是 图形，它有 条对称轴. 平分一组对角 中心对称 轴对称 4 情境引入 问题：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样才能剪出一个正方形? 只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形. 你能说出你的理由吗？如何判定一个四边形是正方形呢？ 新知探究 探究一：正方形的判定 类比平行四边形、矩形和菱形,正方形的定义也是判定正方形的一种方法. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 几何语言： 定义法： A B C D ∟ 新知探究 1.下列说法中，依据正方形的定义能判定一个平行四边形是正方形的是（ ）​ A. 对角线互相平分的平行四边形​ B. 一组对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形​ C. 一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形​ D. 对角线相等且互相垂直的平行四边形 C 新知探究 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？ 议一议 有一组邻边相等的矩形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形. 请证明你的结论，并与同伴进行交流. 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形. 新知探究 1.求证：有一组邻边相等的矩形是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC平分BD. ∵AC⊥BD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形). 新知探究 如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 2.求证：对角线互相垂直的矩形是正方形. 如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=90°. 求证:四边形ABCD是正方形. 新知探究 3.求证：有一个角是直角的菱形是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC. ∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 新知探究 如图,已知菱形ABCD的对角线为AC,BD,AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 4.求证：对角线相等的菱形是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵AB=BA,BD=AC, ∴△ABD≌△BAC, ∴∠DAB=∠CBA. ∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠CBA=180°, ∴∠DAB=∠CBA=90°, ∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 新知探究 正方形的判定定理： 知识归纳 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 新知探究 知识归纳 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 定理4：对角线相等的菱形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 正方形的判定定理： 3.如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB=AD，②AC=BD，③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　　　.(填序号)  2.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：    　　 　　　　,可使它成为正方形.  新知探究 ② AB=AD(答案不唯一) 新知探究 探究二：中点四边形 做一做 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正方形（如图），以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明． 任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。 提示：连接正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD。​利用三角形的中位线定理证明.方法不唯一. 新知探究 证明：连接正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD，交于点 O。​ 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC.​ 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC； ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD.​ 在△ABD中，∵ A1、D1 分别是 AB、AD 的中点， ∴ A1D1 ∥BD，且 A1D1 =BD.​ ∴ A1B1=A1D1 ，A1B1⊥A1D1. ∴四边形A1B1C1D1是正方形.（正方形的定义） O 矩形 新知探究 议一议 （1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜， 再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ 对角线垂直 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形. 菱形 平行四边形 对角线相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形. 对角线不垂直也不相等 以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形. 新知探究 （2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关 系？有怎样的关系？ 新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关. 当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形; 当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形; 当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时，新四边形是正方形. 新知探究 中点四边形: 知识归纳 决定中点四边形的形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( ) AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC 新知探究 C 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 例1 典例分析 证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°. ∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC. ∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 在△EBC中, ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 典例分析 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠ADE=90°, ∴∠ABF+∠AFB=90°. ∵AE⊥BF, ∴∠DAE+∠AFB=90°, ∴∠ABF=∠DAE. 已知：如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF. 求证:矩形ABCD是正方形. 例2 在△ABF和△DAE中, ∵∠ABF=∠DAE,∠BAF=∠ADE=90°,BF=AE, ∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 巩固练习 基础巩固题 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D D 3.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　A　）. A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 巩固练习 基础巩固题 A 4.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （　 　） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 B 巩固练习 基础巩固题 5.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B C D O 6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______________(只填写序号)． ②③或①④ 巩固练习 基础巩固题 7.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M，N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠ABD=∠CBD. ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB. 巩固练习 基础巩固题 （2）∵∠ADC=90°， 又∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形. C A B D P M N 课堂小结 正方形的性质与判定2 正方形的判定方法:定义法 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 正方形的判定定理 中点四边形 决定中点四边形的形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系. 作业布置 1.必做题：习题1.8第1-3题。 2.探究性作业：习题1.8第4题。 感谢聆听! $$