1.3 正方形的性质与判定（分层作业）数学北师大版九年级上册

1.3 正方形的性质与判定 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，利用正方形的性质，由可证，依据全等三角形的对应角相等，可得，由三角形的外角性质可得到的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，, 在和中， ， ； ， 又， ， ， ， ， ， 故选：A． 【题型2根据正方形的性质求线段长】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先证四边形是矩形，再根据可进一步证四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∴四边形是矩形 由折叠可得： ∴四边形是正方形 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质．熟记相关定理内容是解题关键． 2．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，是的中位线，然后根据中位线的性质定理解答即可． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线． ，即． ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义与性质，掌握三角形的中位线性质定理是解题的关键． 3．（八年级下·四川成都·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，DE=1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE'，连接EE'，则EE'的长度为(      ) A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解． 【详解】根据旋转的性质得到：BE′=DE=1， 在直角△EE′C中：EC=DC-DE=2，CE′=BC+BE′=4． 根据勾股定理得到：EE′= ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，牢记相关的性质和定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ）      A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，先根据正方形的性质结合已知条件证明，进而证明，得，，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵，， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ． 故选：D． 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 证明和全等得，对于选项、C、，无法证明即可，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，故选项A成立，符合题意； 无法证明、、， 故选：A 6．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是4，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明得到，进而得到四边形的面积等于的面积，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积是4， ∴的面积是4， 故选：A． 7．（2024·福建南平·二模）已知正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握图形的旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由旋转性质可证明，从而；设，则可得，由勾股定理建立方程即可求得x． 【详解】由旋转的性质可得：，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 设， 则， ， 在中，由勾股定理得： 解得： 故选B． 8．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 9．（2023·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【详解】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（2020·广东佛山·二模）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE= ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得BF=DE=1，S△AFB=S△ADE，可求AD=4，由勾股定理可求AE的长． 【详解】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， ∴BF=DE=1，S△AFB=S△ADE， ∴S正方形ABCD=S四边形AECF=16， ∴AD=4， ∴AE= 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，求出AD的长是本题的关键． 【题型3正方形的判定】 1.（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理． 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形四边形的判定，关键是掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：B． 【题型4 正方形的性质与判定综合】 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到，若，． (1)求的长度； (2)与的位置关系如何？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】考查了旋转的性质，正方形的性质， （1）根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解； （2）根据旋转可得，然后求出，判断出． 【详解】（1）解：四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到， ，， ； （2）解：、的位置关系为：．理由如下： 延长交于一点H 按顺时针方向旋转后得到， ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， 1．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在正方形中，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），连接，作的垂直平分线，分别交、于点E、F． (1)如图1，若，当点P是中点时，求的长； (2)试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）连接，过点D作交于点H，设，根据线段垂直平分线的性质得，则，根据点P是中点得，在中，由勾股定理可求出，则，证明四边形是平行四边形得，再证明和全等得，进而得，由此可得的长； （2）过点D作交于点M，证明四边形是平行四边形得，再证明和全等得，由此可得出线段、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：连接EP，过点D作交于点H，如图1所示： 四边形是正方形，且， ，，， 设， 是AP的垂直平分线， ， ， 点P是中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 是的垂直平分线， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）线段、、之间的数量关系是：，理由如下： 过点D作交于点M，如图2所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， 是的垂直平分线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，在直角三角形中，，的外角和的平分线，交于点O，过点O作，垂足分别是E和D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点F，先证明四边形是矩形，再根据角平分线性质得出，证明矩形是正方形，即可得出结论； （2）延长到点G，使，连接，证明，得出，证明，得出，设，得出．根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点O作于点F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，平分， ∴， 同理可得， ∴， ∴矩形是正方形， ∴． （2）解：如图2，延长到点G，使，连接． 由（1）可知四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， 设， ∴． 在中，， ∴， 解得 （舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，作出辅助线． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）综合与实践 【主题】黄金矩形 【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等． 素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。 【操作步骤】 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【问题解决】设． (1)求证：矩形是黄金矩形． (2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，二次根式的混合运算，理解黄金矩形定义，灵活运用所学知识解决问题是解答的关键． （1）根据正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理得到、，再根据黄金矩形的定义即可证得结论； （2）由（1）可求得，再根据黄金矩形的定义即可得出结论. 【详解】（1）证明：根据题意可得，，， ∴， 根据勾股定理可得， ∴ ∴ ∴ ∴矩形是黄金矩形． （2）证明：由（1）知，，， ∴ ， ∴ ， 故矩形是黄金矩形． 4．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请完成下列问题： (1)连接，若，，则_____，_____； (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，请探究线段，，之间的等量关系，并证明； (3)如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，F，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用正方形的性质，证明，由全等三角形的性质得到，则，再利用勾股定理即可解答； （2）连接，延长，交于点，连接，证明，得到，推出，得到，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点， ， ， ， 连接， ∵正方形， ， ， ， ， 在中，， ． （2）解：，理由如下： 连接， ∵矩形的中心是矩形的一个顶点， ， 延长，交于点，连接， ∵， ， 又 ∵， ， ， ， ∴是的中垂线， ， ， ． （3）解：设， 当点在线段上时： ， ， ， 由（2）可知：， ， 解得：， ； ②当点在线段的延长线上时：如图， 此时， 过点作，延长交于点，连接， 同（2）法可证：， ， 又， ， 解得：， ； 综上：线段的长度为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）正方形纸片中，，． (1)将正方形对折，使点与点重合．展开铺平，折痕为．将边沿翻折得到，延长交于．求证：为的三等分点． (2)若，点为射线上一动点，连接，将沿翻折得．直线与直线交于点．若，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为或 【分析】（1）根据正方形和折叠的性质得到，，设，，，，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解； （2）第一种情况，同（1）可得，当点在上时，，设，则，，在中，，代入计算；第二种情况，如图所示，点在线段的延长线上时，，则，设，则，，在中，，代入计算；由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，折叠的性质， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， 设， ∴，，， 在中，， ∴， 解得，，即， ∴为的三等分点； （2）解：第一种情况，同（1）可得，当点在上时，，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在线段的延长线上时，，则， ∵折叠， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 1.（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 2．（2023·江苏·中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形． （4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：． （2）如图（2），连接，    设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是1阶奇妙矩形． （3）用正方形纸片进行如下操作（如图）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 矩形是2阶奇妙矩形，    理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴矩形是2阶奇妙矩形． （4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，    设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的边长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．      特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析 【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可； （2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形； （3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：连接，，，如图，    ∵四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P恰为的中点； （2）是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形，都是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）的形状不改变， 延长至点M，使，连接，    ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∵点P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设交于点H，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 正方形的性质与判定 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2根据正方形的性质求线段长】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，，现将其沿对折，使得点B落在边上的点处，折痕与边交于点E，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 2．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 3．（八年级下·四川成都·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，DE=1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得△ABE'，连接EE'，则EE'的长度为(      ) A． B．4 C．3 D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ）      A．12 B．8 C．6 D．4 5．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是4，则的面积为（    ） A．4 B．2 C． D． 7．（2024·福建南平·二模）已知正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 8．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 9．（2023·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 10．（2020·广东佛山·二模）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE= ． 【题型3正方形的判定】 1.（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 2．（九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 正方形的性质与判定综合】 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是正方形，绕着点顺时旋转得到，若，． (1)求的长度； (2)与的位置关系如何？请说明理由． 1．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在正方形中，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），连接，作的垂直平分线，分别交、于点E、F． (1)如图1，若，当点P是中点时，求的长； (2)试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，在直角三角形中，，的外角和的平分线，交于点O，过点O作，垂足分别是E和D． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（24-25八年级下·广东江门·期中）综合与实践 【主题】黄金矩形 【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等． 素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计． 素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。 【操作步骤】 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【问题解决】设． (1)求证：矩形是黄金矩形． (2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形． 4．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请完成下列问题： (1)连接，若，，则_____，_____； (2)如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，请探究线段，，之间的等量关系，并证明； (3)如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，F，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）正方形纸片中，，． (1)将正方形对折，使点与点重合．展开铺平，折痕为．将边沿翻折得到，延长交于．求证：为的三等分点． (2)若，点为射线上一动点，连接，将沿翻折得．直线与直线交于点．若，求的长． 1.（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 2．（2023·江苏·中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 3．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．      特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$