专题01 有理数的巧算（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题01 有理数的巧算 1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，把每一个分数化为小数计算可得和为即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，…… ∴ ∴， 故选C． 2．（24-25七年级下·浙江金华）对于，规定． （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，将代入计算即可； （2）根据新定义，得，求出，然后将分组得，再计算即可． 【详解】解：（1）∵对于，规定， ∴当时，得： ， 故答案为：； （2）∵对于，规定， ∴， ， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25七年级·上海）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了有理数的除法，以及分数的简便运算．首先把代分数转化为假分数，可得：原式，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，根据分数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级下·北京）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的运算规律的探究．设，则，可求出，从而得到，则原式可变形为，即可求解． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ 5．（24-25七年级上·重庆）． 【答案】333 【分析】本题考查了乘法分配律的应用；原式中有共同的因数，则原式可化为，则可求解． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·重庆）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用有理数乘法运算律成为解题的关键． 直接运用有理数乘法运算律以及有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）【阅读理解】，，， 【实践应用】（1）①计算_____； ②计算_____； 【拓展应用】（2）计算的值 【答案】（1）①；②； （2） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为 及巧妙利用裂项相消法是解题的关键 （1）①根据题中所给示例即可解决问题； ②根据题中所给示例即可解决问题； （2）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② =     = 故答案为：． （2） …… 原式 8．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）【阅读】 ；；； 将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出规律即可； （2）根据（1）中的规律计算即可得解； （3）首先得出， 再进行计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴； （2） ； （3） ． 1．（2024八年级·全国·竞赛）为求的值，可令，则，因此，即．仿照以上方法，可得 ． 【答案】 【分析】设，则，得到即可得到答案．本题考查了有理数的混合运算，数字类规律，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】 【分析】根据原式的特点进行拆项，再进行加减运算即可得到答案，找到运算规律是解题的关键． 【详解】解；原式 ． 故答案为： 3．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，乘法和解一元一次方程，根据裂项求和进行简便运算即可，将所求式子用裂项相消的方法进行正确的分解是解题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 4．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的灵活运算，由于，，原式可化为，根据相同两数的差为0即可解答． 【详解】 ． 故答案为：0 5．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则；先根据绝对值的意义去掉绝对值，然后根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 6．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则．先两边乘以得：，然后两式相减得，求出S的值即可． 【详解】解：， 两边乘以得：， 两式相减得， 所以． 7．（19-20七年级上·湖北恩施·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键． 【详解】解：原式． 8．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是掌握整体代换的思想． 设，，代入把原式变形，进一步计算即可求解． 【详解】解：设：，， 则原式， ， ， 原式． 9．（2024七年级·全国·竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用来表示，用来表示．现有99个分数：，，，，，． (1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于； (2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0？若能，求出满足条件的9个分数；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）本题考查了对题干的理解，以及有理数的加法运算，根据用来表示，将化为2个分子为1的分数相加，再继续分解下一个分数，得到4个分子为1的分数相加，即可解题． （2）本题考查有理数的加减运算，以及分数的规律，根据 ，将此式再减去1加上，即可解题． 【详解】（1）解：可以用来表示， ， ， ， ， ∴． （类似的去分解也可）． （2）解：∵ ， ∴， ∴． 10．（2024七年级·全国·竞赛）贝贝为了计算的值，作了如下探究： ，， ，将这三个等式的两边相加， 得到． (1)请帮贝贝计算的值； (2)请直接写出的值，_______． (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值． ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据变化规律将算式展开后即可求解； （）根据变化规律将算式展开后即可求解； （）通过类比找出变化规律“”，依此规律将算式展开后即可得出结论； 本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，利用类比的数学思想解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ∴； （2）同上理： ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）， ， ， ， ， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数的巧算 1．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）计算：的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华）对于，规定． （1） ． （2） ． 3．（24-25七年级·上海）计算：． 4．（24-25七年级下·北京）计算： 5．（24-25七年级上·重庆）． 6．（24-25七年级上·重庆）． 7．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）【阅读理解】，，， 【实践应用】（1）①计算_____； ②计算_____； 【拓展应用】（2）计算的值 8．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）【阅读】 ；；； 将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 1．（2024八年级·全国·竞赛）为求的值，可令，则，因此，即．仿照以上方法，可得 ． 2．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 3．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解是 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 5．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 6．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 7．（19-20七年级上·湖北恩施·阶段练习）计算：． 8．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 9．（2024七年级·全国·竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用来表示，用来表示．现有99个分数：，，，，，． (1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于； (2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0？若能，求出满足条件的9个分数；若不能，说明理由． 10．（2024七年级·全国·竞赛）贝贝为了计算的值，作了如下探究： ，， ，将这三个等式的两边相加， 得到． (1)请帮贝贝计算的值； (2)请直接写出的值，_______． (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值． ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$