5.3.1 第2课时 导数的四则运算法则(课件PPT)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

一元函数的导数及其应用 5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 第2课时　函数单调性的综合问题 第五章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 通过对单调性的学习，进一步掌握导数在研究函数单调性方面的应用． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 D 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 C 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(22) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 综合应用1：含参数的函数的单调性问题 [例1] 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数f(x)的单调性． 函数f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝ ＝，a＞0. 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1. ①当0<a<1时，>1， ②当a＝1时，＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ③当a>1时，0<<1，∴当x∈(0，)和(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(，1)时，f′(x)<0. ∴函数f(x)在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减． ∴当x∈(0，1)和(， ＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(1，)时，f′(x)<0. ∴函数f(x)在(0，1)和(，＋∞)上单调递增，在(1，)上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和(，＋∞)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减． [变式探究] 将本例函数改为f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)，讨论其单调性． 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f′(x)＝.令f′(x)＞0，得x＞1. 令f′(x)＜0，得0＜x＜1. ∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②当a＞0时， f′(x)＝. ∵a＞0，∴－＜0. 令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得0＜x＜1. ∴f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, ＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 含参数函数单调性问题的解题策略 在讨论含有参数的函数单调性时，若f′(x)中的参数导致无法判断f′(x)的正负时，需要对参数进行分类，分类的标准： (1)按导函数是否有零点分大类； (2)在大类中再按导数零点的大小分小类； (3)在小类中再按零点是否在定义域中分类． [练1] (2025·福州高二期中)讨论函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1的单调性． 由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a， 令f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3×a＝4(1－3a). ①当a≥时，Δ≤0，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增； ②当a<时，令f′(x)＝0， 即3x2－2x＋a＝0， 解得x1＝，x2＝， 令f′(x)>0，则x<x1或x>x2； 令f′(x)<0，则x1<x<x2. 所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a<时，f(x)在(－∞，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减． 综合应用2：由函数的单调性求参数问题 [例2] 已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围． f′(x)＝3x2－a. 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞， 0]. [变式探究1] 函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1, 1)，求实数a的值． 由本例可知，a>0且f(x)的单调递减区间为(－，)， 所以＝1，即a＝3. [变式探究2] 函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1, 1)上为减函数，求实数a的取值范围． 由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1, 1)上恒成立，得a≥3x2在(－1, 1)上恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3， 即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1, 1)上为减函数． 已知f(x)在区间(a，b)上的单调性， 求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． [练2] (2025·河西区高二期末)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内是单调函数，则实数k的取值范围是 (　　) A．[1，) B．[，＋∞) C．[1，2) D．[，2) ∵f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝4x－＝. 令f′(x)>0，解得x>， 令f′(x)<0，解得0<x<， ∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． 又f(x)在(k－1，k＋1)内是单调函数， ∴(k－1，k＋1)⊆(，＋∞)或(k－1，k＋1)⊆(0，)(此情况不可能)， ∴k－1≥，解得k≥. 1．知识清单 (1)含参数的函数的单调性问题． (2)由函数的单调性求参数问题． 2．方法归纳：分类讨论、逻辑推理． 3．常见误区：利用导数法解决取值范围问题时忽略等号是否满足，忽略定义域的限制． 1．(2024·汕头高二检测)若函数y＝x＋a ln x在区间[1，＋∞)内单调递增，则a的取值范围是 (　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．[－2，＋∞) D．[－1，＋∞) 由y＝x＋a ln x，得y′＝1＋. 因为函数y＝x＋a ln x在区间[1，＋∞)内单调递增， 所以有y′≥0在[1，＋∞)上恒成立，即1＋≥0在[1，＋∞)上恒成立． 因为x∈[1，＋∞)，所以由1＋≥0，得x＋a≥0，即a≥－x. 因为x∈[1，＋∞)，所以－x∈(－∞，－1]，于是有a≥－1，故选D. 2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝3，对任意x∈R，f′(x)＜3，则f(x)＞3x＋6的解集为 (　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 设g(x)＝f(x)－(3x＋6)，g′(x)＝f′(x)－3＜0，所以g(x)在R上为减函数，又因为g(－1)＝f(－1)－3＝0，所以根据单调性知，g(x)＞0的解集是(－∞，－1). 3．(2025·眉山高二期中)已知函数f(x)＝ln x＋(a∈R).讨论f(x)的单调区间． 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－＝. ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a>0，由f′(x)>0得x∈(a，＋∞)，由f′(x)<0得x∈(0，a)， 所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a). $$