课时梯级训练(17) 导数的几何意义(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(17)　导数的几何意义 1．如果函数y＝f(x)的图象在点A(3, a)处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，那么f′(3)＝ (　　) A．2 B．－ C．－2 D． C　解析：因为在点A(3，a)处的切线与2x＋y＋1＝0平行，所以曲线在A点处的切线斜率f′(3)＝－2. 2．函数y＝(x－1)2的导数是 (　　) A．－2 B．(x－1)2 C．2(x－1) D．2(1－x) C　解析：y′＝ ＝ ＝ ＝2x－2＝2(x－1). 3．某汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则其路程s关于时间t的函数图象的大致形状是 (　　) B　解析：由汽车加速行驶，随着t的增大，速度在不断增大，根据导数的几何意义知v＝s′(t)，从而s′(t)在不断增大，即曲线上的各点的切线斜率不断增大．只有B中图象满足此规律．故选B. 4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是 (　　) A．(1, 1) B．(－1, 1) C．(1，1)或(－1，－1) D．(2, 8)或(－2，－8) C　解析：因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1). 5．已知函数y＝f(x)，若f′(x0)>0，则曲线y＝f(x)在点(x0, f(x0))处切线的倾斜角的范围是________________________________________________________________________． 答案：(0，)　解析：f′(x0)>0，说明y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率大于0，故倾斜角为锐角． 6．曲线y＝x3－2在点(1, －)处切线的倾斜角为________． 答案：　解析：∵y′＝ ＝[x2＋xΔx＋(Δx)2]＝x2， ∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角为. 7．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程． 解：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－＝－， ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝－， ∴f(x)＝(x<0)，∴f(－1)＝－1.又f′(－1) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2， ∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0. 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值． 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)， ∴a＋b＋c＝1.① ∵y′＝ ＝ ＝ ＝ (2ax＋b＋aΔx) ＝2ax＋b， ∴y′|x＝2＝4a＋b＝1.② 又曲线过点Q(2，－1)，∴4a＋2b＋c＝－1.③ 联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9. 9．设 ＝－2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的倾斜角是 (　　) A． B． C． D． C　解析：因为 ＝[＋] ＝[＋] ＝2f′(2)＝－2，所以f′(2)＝－1，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为－1，故所求切线的倾斜角为. 10．(2025·北京丰台区高二期中)如图，已知函数f(x)图象关于直线x＝对称，直线l是曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线，则 ＝________. 答案：－1　解析：直线l过点(－2，0)，(0，2)，则直线l的斜率k＝＝1， 故f′(0)＝1，函数f(x)图象关于直线x＝对称，则 ＝f′(1)＝－1. 11．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 答案：　解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2.设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝ ＝2x＝1，解得x＝，所以切点为P(，)，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝＝. 12．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号). 答案：②　解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合． 13．求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程． 解：∵ ＝ ＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2. 设切点的坐标为(x0, 2x0－x)， ∴切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0). 又∵切线过点(－1, －2)， ∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)， 即2x＋3x＝0，解得x0＝0或x0＝－. ∴切点的坐标为(0, 0)或(－，). 当切点为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x； 当切点为(－，)时，切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0. 综上可知，过点(－1, －2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0. 14．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：∵＝＝2x＋Δx， ∴y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. 设切点为P(x0, y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0.由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0). 又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1， ∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)， 即x－2x0＋a－1＝0. ∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$