课时梯级训练(16) 导数的概念(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(16)　导数的概念 1．若函数f(x)在x＝1处的导数为2，则 ＝ (　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 A　解析：因为函数f(x)在x＝1处的导数为2， 所以 ＝f′(1)＝2.故选A. 2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝ (　　) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 C　解析：f′(0)＝ ＝ ＝ (Δx－3)＝－3. 3．(2024·聊城高二期中)正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为 (　　) A．8 B．7 C． D．1 B　解析：正方体的棱长从1增加到2时， 正方体的体积平均膨胀率为V′＝＝＝7. 4．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为 (　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 AB　解析：f′(x0)＝ ＝ ＝[3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x＋1＝4. 解得x0＝±1. 5．(2024·六安高二期末)已知函数y＝2x，则函数在区间[1，3]上的平均变化率为________． 答案：3　解析：设y＝f(x)＝2x，所以＝＝＝3. 6．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝________． 答案：－1　解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝ ＝ ＝－1. 7．若函数f(x)在x＝0处的导数等于－2，则 ＝________． 答案：－1　解析：由已知得f′(0)＝－2，则 ＝ ＝ f′(0)＝－1. 8．若函数f (x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求实数a的值． 解：∵f (1＋Δx)－f (1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx， ∴f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2， ∴a＝1. 9．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为y＝c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c′(1)与c′(2)，并说明它们的实际意义． 解：设x＝1时产量的改变量为Δx，则＝＝＝－2Δx＋3， c′(1)＝ ＝ (－2Δx＋3)＝3， 设x＝2时产量的改变量为Δx， 则＝＝＝－2Δx－1， c′(2)＝ ＝ (－2Δx－1)＝－1. c′(1)的实际意义为当产量为1 000台时，多生产1千台旋切机大约多获利3万元； c′(2)的实际意义为当产量为2 000台时，多生产1千台旋切机大约少获利1万元． 10．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x).假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且＝10，＝1，则这些数据说明后10天与前10天比较 (　　) A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小 D　解析：平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的． 11．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 答案：[x3，x4]　解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，， 结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 12．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义． 解：根据导数的定义，得 f′(100)＝ ＝ ＝ ＝ (＋)＝[＋]＝＋＝0.105. f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2. 13．(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门现对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示． 下列四个结论正确的是 (　　) A．在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C．在[t2, t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D．在[t1, t2]，[t2, t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同 ACD　解析：在t1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；甲、乙两曲线在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f′(t2)不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；根据平均变化率公式可知，在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率都是，故C正确；在[t1, t2]时间段，甲血管中药物浓度的平均变化率是，在[t2, t3]时间段，甲血管中药物浓度的平均变化率是，显然不相等，故D正确． 14．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状．如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为f(x)＝求开始加热后第15 min和第4 h沥青温度变化的瞬时速度，并说明它们的意义． 解：∵15 min＝0.25 h，且当0≤x≤1时，f(x)＝80x2＋20， ∴＝ ＝ ＝＝40＋80Δx. ∴ ＝ (40＋80Δx)＝40. 又当1<x≤8时，f(x)＝－(x2－2x－244)， ∴当x＝4时， ＝ ＝＝－(6＋Δx)， ∴ ＝[－(6＋Δx)] ＝－×6＝－. 在第15 min与第4 h时，沥青温度变化的瞬时速度分别为40 ℃/h与－ ℃/h，它说明在第15 min附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速度上升；在第4 h附近，沥青的温度大约以 ℃/h的速度下降． 学科网（北京）股份有限公司 $$